高中数学《函数模型及其应用》学案12 苏教版必修1

用心 爱心 专心1 函数模型及其应用函数模型及其应用 一 一 课标要求课标要求 1 利用计算工具 比较指数函数 对数函数以及幂函数增长差异 结合实例体会直线 上升 指数爆炸 对数增长等不同函数类型增长的含义 2 收集一些社会生活中普遍使用的函数模型 指数函数 对数函数 幂函数 分段函 数等 的实例 了解函数模型的广泛应用 二 二 命题走向命题走向 函数应用问题是高考的热点 高考对应用题的考察即考小题又考大题 而且分值呈上 升的趋势 高考中重视对环境保护及数学课外的的综合性应用题等的考察 出于 立意 和创设情景的需要 函数试题设置问题的角度和方式也不断创新 重视函数思想的考察 加大函数应用题 探索题 开放题和信息题的考察力度 从而使高考考题显得新颖 生动 和灵活 预测 2011 年的高考 将再现其独特的考察作用 而函数类应用题 是考察的重点 因 而要认真准备应用题型 探索型和综合题型 加大训练力度 重视关于函数的数学建模问 题 学会用数学和方法寻求规律找出解题策略 1 题型多以大题出现 以实际问题为背景 通过解决数学问题的过程 解释问题 2 题目涉及的函数多以基本初等函数为载体 通过它们的性质 单调性 极值和最 值等 来解释生活现象 主要涉计经济 环保 能源 健康等社会现象 三 三 要点精讲要点精讲 1 解决实际问题的解题过程 1 对实际问题进行抽象概括 研究实际问题中量与量之间的关系 确定变量之间的 主 被动关系 并用 x y 分别表示问题中的变量 2 建立函数模型 将变量 y 表示为 x 的函数 在中学数学内 我们建立的函数模型 一般都是函数的解析式 3 求解函数模型 根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函 数知识求得函数模型的解 并还原为实际问题的解 这些步骤用框图表示 2 解决函数应用问题应着重培养下面一些能力 1 阅读理解 整理数据的能力 通过分析 画图 列表 归类等方法 快速弄清数 据之间的关系 数据的单位等等 2 建立函数模型的能力 关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函 数 建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式 注意不要忘记 实际问题函数模型 实际问题的解 函数模型的解 抽象概括 还原说明 运用函数性质 用心 爱心 专心2 考察函数的定义域 3 求解函数模型的能力 主要是研究函数的单调性 求函数的值域 最大 小 值 计算函数的特殊值等 注意发挥函数图象的作用 四 四 典例解析典例解析 题型 1 正比例 反比例和一次函数型 例 1 2009 山东卷理 本小题满分 12 分 两县城 A 和 B 相距 20km 现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧上选择一点 C 建 造垃圾处理厂 其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关 对城 A 和城 B 的总 影响度为城 A 与城 B 的影响度之和 记 C 点到城 A 的距离为 x km 建在 C 处的垃圾处 理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y 统计调查表明 垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选 地点到城 A 的距离的平方成反比 比例系数为 4 对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的 距离的平方成反比 比例系数为 k 当垃圾处理厂建在的中点时 对城 A 和城 B 的总 影响度为 0 065 1 将 y 表示成 x 的函数 11 讨论 1 中函数的单调性 并判断弧上是否存在一点 使建在此处的垃圾处理 厂对城 A 和城 B 的总影响度最小 若存在 求出该点到城 A 的距离 若不存在 说明理 由 解法一 1 如图 由题意知 AC BC 22 400BCx 22 4 020 400 k yx xx 其中当10 2x 时 y 0 065 所以 k 9 所以 y 表示成 x 的函数为 22 49 020 400 yx xx 2 22 49 400 y xx 422 322322 89 2 188 400 400 400 xxx y xxxx 令 0y 得 422 188 400 xx 所以 2 160 x 即4 10 x 当04 10 x 时 422 188 400 xx 即 0y 所以函数为单调减函数 当4 620 x 时 422 188 400 xx 即 0y 所以函数为单调增函数 所以当4 10 x 时 即当 C 点到 城 A 的距离为4 10时 函数 22 49 020 400 yx xx 有最小值 解法二 1 同上 2 设 22 400mxnx 则400mn 49 y mn 所以 494914911 13 13 12 40040040016 mnnm y mnmnmn 当且仅当 A B C x 用心 爱心 专心3 49nm mn 即 240 160 n m 时取 下面证明函数 49 400 y mm 在 0 160 上为减函数 在 160 400 上为增函数 设 0 m1 m2 160 则 12 1122 4949 400400 yy mmmm 1212 4499 400400mmmm 2112 1212 4 9 400 400 mmmm m mmm 21 1212 49 400 400 mm m mmm 1212 21 1212 4 400 400 9 400 400 mmm m mm m mmm 因为 0 m1 m24 240 240 9 m1m2 9 160 160 所以 1212 1212 4 400 400 9 0 400 400 mmm m m mmm 所以 1212 21 1212 4 400 400 9 0 400 400 mmm m mm m mmm 即 12 yy 函数 49 400 y mm 在 0 160 上为减函数 同理 函数 49 400 y mm 在 160 400 上为增函数 设 160 m1 m2 400 则 12 1122 4949 400400 yy mmmm 1212 21 1212 4 400 400 9 400 400 mmm m mm m mmm 因为 1600 m1 m2 400 所以 4 12 400 400 mm 9 160 160 所以 1212 1212 4 400 400 9 0 400 400 mmm m m mmm 所以 1212 21 1212 4 400 400 9 0 400 400 mmm m mm m mmm 即 12 yy 函数 49 400 y mm 在 160 400 上为增函数 所以当 m 160 即4 10 x 时取 函数 y 有最小值 用心 爱心 专心4 所以弧上存在一点 当4 10 x 时使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响 度最小 命题立意 本题主要考查了函数在实际问题中的应用 运用待定系数法求解函数解析式 的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题 2 某地区 1995 年底沙漠面积为 95 万公顷 为了解该地区沙漠面积的变化情况 进行 了连续 5 年的观测 并将每年年底的观测结果记录如下表 根据此表所给的信息进行预测 1 如果不采取任何措施 那么到 2010 年底 该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷 2 如果从 2000 年底后采取植树造林等措施 每年改造 0 6 万公顷沙漠 那么到哪一年 年底该地区沙漠面积减少到 90 万公顷 观测时间1996 年 底 1997 年 底 1998 年 底 1999 年 底 2000 年 底 该地区沙漠比原有面积增 加数 万公顷 0 20000 40000 60010 79991 0001 解析 1 由表观察知 沙漠面积增加数 y 与年份数 x 之间的关系图象近似地为一 次函数 y kx b 的图象 将 x 1 y 0 2 与 x 2 y 0 4 代入 y kx b 求得 k 0 2 b 0 所以 y 0 2x x N 因为原有沙漠面积为 95 万公顷 则到 2010 年底沙漠面积大约为 95 0 5 15 98 万公顷 2 设从 1996 年算起 第 x 年年底该地区沙漠面积能减少到 90 万公顷 由题意得 95 0 2x 0 6 x 5 90 解得 x 20 年 故到 2015 年年底 该地区沙漠面积减少到 90 万公顷 点评 初中我们学习过的正比例 反比例和一元一次函数的定义和基本性质 我们要 牢固掌握 特别是题目中出现的 成正比例 成反比例 等条件要应用好 例 2 2009 湖南卷理 本小题满分 13 分 某地建一座桥 两端的桥墩已建好 这两墩相距m米 余下工程只需要建两端桥墩之间 的桥面和桥墩 经预测 一个桥墩的工程费用为 256 万元 距离为x米的相邻两墩之间 的桥面工程费用为 2 x x 万元 假设桥墩等距离分布 所有桥墩都视为点 且不考 虑其他因素 记余下工程的费用为y万元 试写出y关于x的函数关系式 用心 爱心 专心5 当m 640 米时 需新建多少个桥墩才能使y最小 解 设需要新建n个桥墩 1 1 m nxm x 即n 所以 2 mm xx x xx y f x 256n n 1 2 x 256 1 256 2256 x m xm x 由 知 2 33 22 2 2561 512 22 mm fxmxx x x 令 0fx 得 3 2 512x 所以x 64 当 0 x 64 时 fx0 f x在区间 64 640 内为增函数 所以 f x在x 64 处取得最小值 此时 640 119 64 m n x 故需新建 9 个桥墩才能使y最小 题型 2 二次函数型 例 3 一辆中型客车的营运总利润 y 单位 万元 与营运年数 x x N 的变化关系 如表所示 则客车的运输年数为 时该客车的年平均利润最大 A 4 B 5 C 6 D 7 x 年468 cbxaxy 2 万元 7117 解析 表中已给出了二次函数模型 cbxaxy 2 由表中数据知 二次函数的图象上存在三点 4 7 6 11 8 7 则 887 6611 447 2 2 2 cba cba cba 解得 a 1 b 12 c 25 即 2512 2 xxy 用心 爱心 专心6 而取 的条件为x x 25 即 x 5 故选 B 点评 一元二次函数是高中数学函数中最重要的一个模型 解决此类问题要充分利用 二次函数的结论和性质 解决好实际问题 例 4 2009 福州八中 某造船公司年造船量是 20 艘 已知造船x艘的产值函数为 R x 3700 x 45x2 10 x3 单位 万元 成本函数为 C x 460 x 5000 单位 万元 又在经 济学中 函数 f x 的边际函数 Mf x 定义为 Mf x f x 1 f x 求利润函数 P x 及边际利润函数 MP x 提示 利润 产值成本 问年造船量安排多少艘时 可使公司造船的年利润最大 求边际利润函数 MP x 单调递减时 x 的取值范围 并说明单调递减在本题中的实际 意义是什么 解 P x R x C x 10 x3 45x2 3240 x 5000 x N N 且 1 x 20 MP x P x 1 P x 30 x2 60 x 3275 x N N 且 1 x 19 9 12 3032409030 2 xxxxxP 当 0 x 12 时 xP 0 当 x 12 时 xP 0 x 12 P x 有最大值 即年造船量安排 12 艘时 可使公司造船的年利润最大 MP x 30 x2 60 x 3275 30 x 1 2 3305 所以 当 x 1 时 MP x 单调递减 x 的取值范围为 1 19 且 x N N MP x 是减函数的实际意义 随着产量的增加 每艘船的利润在减少 例 5 2008 湖南理 21 已知函数有三个极值点 432 19 42 f xxxxcx I 证明 275c II 若存在实数 c 使函数在区间上单调递减 求的取值范围 xf 2a a a 解 I 因为函数有三个极值点 432 19 42 f xxxxcx 所以有三个互异的实根 32 390fxxxxc 设则 32 39 g xxxxc 2 3693 3 1 g xxxxx 当时 在上为增函数 3x 0 g x g x 3 用心 爱心 专心7 当时 在上为减函数 31x 0 g x g x 3 1 当时 在上为增函数 1x 0 g x g x 1 所以函数在时取极大值 在时取极小值 g x3x 1x 当或时 最多只有两个不同实根 3 0g 1 0g 0g x 因为有三个不同实根 所以且 0g x 3 0g 1 0g 即 且 2727270c 1 390c 解得且故 27 c 5 c 275c II 由 I 的证明可知 当时 有三个极值点 275c f x 不妨设为 则 123 xxx 123 xxx 123 fxxxxxxx 所以的单调递减区间是 f x 1 x 23 x x 若在区间上单调递减 xf 2a a 则 或 2a a 1 x 2a a 23 x x 若 则 由 I 知 于是 2a a 1 x 1 2ax 1 3x 5 a 若 则且 由 I 知 2a a 23 x x 2 ax 3 2ax 2 31 x 又当时 32 39 fxxxxc 27c 2 3 3 fxxx 当时 5c 2 5 1 fxxx 因此 当时 所以且275c 3 13 x 3 a 23 a 即故或反之 当或时 31 a 5 a 31 a 5 a 31a 总可找到使函数在区间上单调递减 27 5 c xf 2a a 综上所述 的取值范围是 a 5 3 1 题型 3 分段函数型 例 6 2009 福建省 已知某企业原有员工 2000 人 每人每年可为企业创利润 3 5 万元 为应 对国际金融危机给企业带来的不利影响 该企业实施 优化重组 分流增效 的策略 分流 用心 爱心 专心8 出一部分员工待岗 为维护生产稳定 该企业决定待岗人数不超过原有员工的 5 并且每年 给每位待岗员工发放生活补贴 O 5 万元 据评估 当待岗员工人数 x 不超过原有员工 1 时 留岗员工每人每年可为企业多创利润 1 x100 81 万元 当待岗员工人数 x 超过原有员工 1 时 留岗员工每人每年可为企业多创利润 O 9595 万元 为使企业年利润最大 应安排多 少员工待岗 解 设重组后 该企业年利润为 y 万元 2000 1 20 当 0 x 20 且 x N 时 y 2000 x 3 5 1 x100 81 0 5x 5 x x 324 9000 81 x 2000 5 x 100 当 20 x 100 且 x N 时 y 2000 x 3 5 0 9595 0 5x 4 9595x 8919 N 10020 89199595 4 N 200 81 9000 324 5 xxx xx x x y 且 且 当 0 x 20 时 有 y 5 x x 324 9000 81 5 2324 9000 81 8820 81 当且仅当 x x 324 即 x 18 时取等号 此时 y 取得最大值 当 20 x 100 时 函数 y 4 9595x 8919 为减函数 所以 y0 3 分 故 1 f xf x 单调递减 当7x 时 掌握程度的增长量 1 f xf x 总是下降 6 分 2 由题意可知 0 1 15ln 6 a a 0 85 9 分 整理得 0 05 6 a e a 解得 0 05 0 05 620 50 6123 0 123 0 121 127 1 e a e 13 分 由此可知 该学科是乙学科 14 分 例 10 2008 湖北 文 理 19 本不题满分 12 分 如图 要设计一张矩形广告 该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目 即图中阴影 部分 这两栏的面积之和为 18000cm2 四周空白的宽度为 10cm 两栏之间的中缝空白的宽 度为 5cm 怎样确定广告的高与宽的尺寸 单位 cm 能使矩形广告面积最小 用心 爱心 专心11 解法 1 设矩形栏目的高为 a cm 宽为 b cm 则 ab 9000 广告的高为 a 20 宽为 2b 25 其中 a 0 b 0 广告的面积 S a 20 2b 25 2ab 40b 25a 500 18500 25a 40b 18500 2 18500 ba 4025 245001000 ab 当且仅当 25a 40b 时等号成立 此时 b 代入 式得 a 120 从而 b 75 a 8 5 即当 a 120 b 75 时 S 取得最小值 24500 故广告的高为 140 cm 宽为 175 cm 时 可使广告的面积最小 解法 2 设广告的高为宽分别为 x cm y cm 则每栏的高和宽分别为 x 20 其中 2 25 y x 20 y 25 两栏面积之和为 2 x 20 由此得 y 18000 2 25 y 25 20 18000 x 广告的面积 S xy x x 25 20 18000 x 25 20 18000 x 整理得 S 18500 20 25 20 360000 x x 因为 x 20 0 所以 S 2 2450018500 20 25 20 360000 x x 当且仅当时等号成立 20 25 20 360000 x x 此时有 x 20 2 14400 x 20 解得 x 140 代入 y 25 得 y 175 20 18000 x 即当 x 140 y 175 时 S 取得最小值 24500 故当广告的高为 140 cm 宽为 175 cm 时 可使广告的面积最小 用心 爱心 专心12 点评 本题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力 以及函数概念 性质和不等式证明的基本方法 题型 6 指数 对数型函数 例 11 有一个湖泊受污染 其湖水的容量为 V 立方米 每天流入湖的水量等于流出湖 的水量 现假设下雨和蒸发平衡 且污染物和湖水均匀混合 用 表示某一时刻一立方米湖水中所含污染物的克数 0 0 pe r p g r p tg t v r 我们称其湖水污染质量分数 表示湖水污染初始质量分数 0 g 1 当湖水污染质量分数为常数时 求湖水污染初始质量分数 2 分析时 湖水的污染程度如何 r p g 0 解析 1 设 21 0tt 因为为常数 即 tg 21 tgtg 0 0 21 t v r t v r ee r p g 则 r p g 0 2 设 21 0tt 21 tgtg 0 21 t v r t v r ee r p g 21 12 0 tt v r t v r t v r e ee r p g 因为 污染越来越严重 0 0 r p g 21 0tt 21 tgtg 点评 通过研究指数函数的性质解释实际问题 我们要掌握底数两种1 10 aa 基本情况下函数的性质特别是单调性和值域的差别 它能帮我们解释具体问题 譬如向题 目中出现的 污染越来越严重 还是 污染越来越轻 例 12 现有某种细胞 100 个 其中有占总数的细胞每小时分裂一次 即由 1 个细胞 1 2 分裂成 2 个细胞 按这种规律发展下去 经过多少小时 细胞总数可以超过个 参 10 10 考数据 lg30 477 lg20 301 解析 现有细胞 100 个 先考虑经过 1 2 3 4 个小时后的细胞总数 用心 爱心 专心13 1 小时后 细胞总数为 113 100100 2100 222 2 小时后 细胞总数为 13139 100100 2100 22224 3 小时后 细胞总数为 191927 100100 2100 24248 4 小时后 细胞总数为 12712781 100100 2100 282816 可见 细胞总数与时间 小时 之间的函数关系为 yx 3 100 2 x y xN 由 得 两边取以 10 为底的对数 得 10 3 10010 2 x 8 3 10 2 x 3 lg8 2 x 8