小学数学基本应用题数量关系的种类

小学数学基本应用题数量关系的种类 在小学数学教学中 教好解答应用题的正确解法 将是重要一环 在教学中 从一年级开始 把应用题的数量关系讲明白 把类型分清楚 使学生清晰理解和掌握各种类型中的数量关 系 将是关键的一环 也是为今后解答复合应用题打好基础的重要一步 在小学教学基本类型应用题的数量关系中 可分为十一种 加法 2 种 减法 3 种 乘法 2 种 除法 4 种 现分述如下 一 加法的种类 2 种 1 已知一部分数和另一部分数 求总数 求和用加法 已知一部分数和另一部分数 求总数 求和用加法 例 小明家养灰兔 8 只 养白兔 4 只 一共养兔多少只 想 已知一部分数 灰兔 8 只 和另一部分数 白兔 4 只 求总数 也就是求 8 与 4 的和 列式 8 4 12 只 答 略 2 已知小数和相差数 求大数 求比一个数多几的数用加法 已知小数和相差数 求大数 求比一个数多几的数用加法 例 小利家养白兔 4 只 灰兔比白兔多 3 只 灰兔有多少只 想 已知小数 白兔 4 只 和相差数 灰兔比白兔多 3 只 求大数 灰兔的只数 也 就是求比 4 多 3 的数 列式 4 3 7 只 答 略 二 减法有 3 种 1 已知总数和其中一部分数 求另一部分数 求剩余用减法 已知总数和其中一部分数 求另一部分数 求剩余用减法 例 小丽家养兔 12 只 其中有白兔 8 只 其余的是灰兔 灰兔有多少只 想 已知总数 12 只 和其中一部分数 白兔 8 只 求另一部分数 灰兔有多少只 也就是求剩余部分 列式 12 8 4 只 2 已知大数和相差数 求小数 即求比一个数少几的数 已知大数和相差数 求小数 即求比一个数少几的数 2 例 小强家养白兔 8 只 养的白兔比灰兔多 3 只 或养的灰兔比白兔少 3 只 养灰兔多 少只 想 已知大数 白兔 8 只 和相差数 白兔比灰兔多 3 只 求小数 灰兔有多少只 即求比 8 少的数 列式 8 3 5 只 3 已知大数和小数 求相差数 已知大数和小数 求相差数 求一个数比另一个数多多少或少多少求一个数比另一个数多多少或少多少 例 小勇家养白兔 8 只 灰兔 5 只 白兔比灰兔多多少只 灰兔比白兔少多少只 想 已知大数 白兔 8 只 和小数 灰兔 5 只 求相差数 白兔比灰兔多多少只 或 灰兔比白兔少多少只 列式 8 5 3 只 三 乘法有 2 种 1 已知每份数和份数 求总数 即求几个相同加数的和 已知每份数和份数 求总数 即求几个相同加数的和 例 小利家养了 6 笼兔子 每笼 4 只 一共养兔多少只 想 已知每份数 4 只 和份数 6 笼 求总数 一共养兔多少只 也就是求 6 个 4 是 多少 用乘法计算 列式 4 6 24 只 2 求一个数的几倍是多少 求一个数的几倍是多少 例 白兔有 8 只 灰兔的只数是白兔的 2 倍 灰兔有多少只 想 白兔有 8 只 灰兔的只数是白兔的 2 倍 也就是说 灰兔有白兔只数两个那么多 就 是求 2 个 8 只是多少 列式 8 2 16 只 四 除法有 4 种 1 已知总数和份数 求每份数 把一个数平均分成几份求一份是多少 已知总数和份数 求每份数 把一个数平均分成几份求一份是多少 例 小强有 15 个苹果 平均放在 3 个盘子里 平均每盘放几个苹果 3 想 已知总数 15 个 份数 放 3 盘 求每份数 每盘放几个 也就是把 15 平均 分成 3 份 求每份是多少 列式 15 3 5 个 2 已知总数和每份数 求份数 求一个数里面包含有几个另一数 已知总数和每份数 求份数 求一个数里面包含有几个另一数 例 小强有 15 个苹果 每 5 个放一盘 可以放几盘 想 因为已知总数 15 个苹果 和每份数 5 个放一盘 求可以放几盘 也就是看 25 里面 有几个 5 就可以放几盘 列式 15 5 3 盘 3 求一个数是另一个数的几倍 求一个数是另一个数的几倍 例 小勇有 15 个苹果 有 5 个梨 苹果的个数是梨的几倍 想 看苹果的个数里面有几个梨的个数 就是梨的几倍 即求一个数是另一个数的几倍 列式 15 5 3 4 已知一个数的几倍是多少 求这个数 已知一个数的几倍是多少 求这个数 例 小勇有 15 个苹果 是梨个数的 3 倍 有梨多少个 想 苹果的个数是梨的 3 倍也就是苹果里面有 3 个梨的个数 求梨的个数 也就是把 15 平 均分成 3 份 求一份是多少 列式 15 3 5 个 综上所述 把千变万化各种内容的应用题按照其数量关系所特有的内涵和外延概括出各自 的规律 使学生认识了应用题中的各类数量关系的规律 并掌握各自解题规律 反过来根 据这些规律性准确而迅速地化解应用题 使知识转化为能力 这样可以起到举一反三 触 类旁通的作用 为今后解答复合应用题打下坚实的基础 但是如果学生学到三年级 一步简单应用题已经学完了 教者不能及时地以不同的数量关 系的规律性 系统性加以总结和指导 学生仍按感性认知 对各类应用题的数量关系的概 念只有模糊认识 那么在解题时就会出现 遇到 比 多 就用加法来计算 遇到 比 少 就用减法来计算 或有 倍 字的题就用乘法来计算的混淆观念 如果 能为学生分清应用题的数量关系的类型 如果出现上述问题时 教师可以从规律上加以指 4 导 你用加法来计算 想一想你算的这道 或这步 应用题是属于哪一类加法应用题的 数量关系 因为加法只有 2 类 如果你对不上类型 你一定是算错了 在教学两步或两步以上复合应用题时 也要时刻强调 解答复合应用题的每一步都离不开 上述十一类的数量关系 虽然世间的事物千变万化 但是在 这四种运算 中 数量之间的关系都不会离开上述某一个类型 只有清晰地掌握这十一种关系 才掌握 了解题的规律 例如 同学们植了 350 棵树 其中 200 棵是松树 其余全是杨树 松树比杨树多植多少棵 分析 这是一道有两个已知条件的两步计算 三年级学生刚接触很容易与一步应用题的解 法相混 那么只有学生清晰地掌握了基本类型中的 已知大数和小数 求相差数 这一 类数量关系 教者可以从问题入手 应用 分析法 来引导 1 求 栽的松树比杨树多 多少棵 要求是什么数 是相差数 2 要求相差数 必须已知哪两个数 大数 松树的棵数 与小数 杨树的棵数 3 大数与小数的数量题中告诉我们了吗 告诉 了 是多少 没告诉怎么办 大数 松树 200 棵 已知 小数 杨树的棵数 不知道 必 须先求出杨树有多少棵 这样就顺理成章地找出解答本题的关键一环 中间问题 杨树有多少棵 解题 1 杨树有多少棵 想 说算理 已知总数 350 棵 和一部分数 200 棵 求另一部分数 杨树的棵数 用减法来计算 350 200 150 棵 2 松树比杨树多多少棵 想 说算理 已知数 200 棵 和小数 150 棵 求相差数 用减法来计算 200 150 50 棵 从上面明显看出 使学生正确理解和掌握解答应用题的方法 首先必须使学生清晰地掌握 以上十一种数量关系 在解答复合应用题时 每一步都离不开这种关系 虽然应用题的内 容千变万化 但是在 四种运算的过程中 每一步的数量关系都不会离开 上述十一种关系中的某一种 只有让学生清晰地掌握了这十一种数量关系 才能掌握了解 答应用题的规律 才能达到高屋建瓴 纲举目张的作用 5 同时 教学应用题的解法时 尽量引导学生运用线段分析图示之 使学生有了第一感知印 象 达到数形统一 并要教给学生 综合分析法 等思考方法 这使学生对解答一般复合 应用题就不会望而怯步 而会学趣盈然 解答起来 得心应手 典型应用题 具有独特的结构特征的和特定的解题规律的复合应用题 通常叫做典型应用题 1 平均数问题 平均数是等分除法的发展 解题关键 在于确定总数量和与之相对应的总份数 算术平均数 已知几个不相等的同类量和与之相对应的份数 求平均每份是多少 数量关系式 数量之和 数量的个数 算术平均数 加权平均数 已知两个以上若干份的平均数 求总平均数是多少 数量关系式 部分平均数 权数 的总和 权数的和 加权平均数 差额平均数 是把各个大于或小于标准数的部分之和被总份数均分 求的是标准数与各数相差之和的平均 数 数量关系式 大数 小数 2 小数应得数 最大数与各数之差的和 总份数 最大数应给数 最大数与个 数之差的和 总份数 最小数应得数 例 一辆汽车以每小时 100 千米 的速度从甲地开往乙地 又以每小时 60 千米的速度从乙地开往甲地 求这辆车的平均速度 分析 求汽车的平均速度同样可以利用公式 此题可以把甲地到乙地的路程设为 1 则汽车行驶的总路 程为 2 从甲地到乙地的速度为 100 所用的时间为 汽车从乙地到甲地速度为 60 千米 所用的 时间是 汽车共行的时间为 汽车的平均速度为 2 75 千米 2 归一问题 已知相互关联的两个量 其中一种量改变 另一种量也随之而改变 其变化的规律是相 同的 这种问题称之为归一问题 根据求 单一量 的步骤的多少 归一问题可以分为一次归一问题 两次归一问题 根据球痴单一量之后 解题采用乘法还是除法 归一问题可以分为正归一问题 反归一问题 一次归一问题 用一步运算就能求出 单一量 的归一问题 又称 单归一 两次归一问题 用两步运算就能求出 单一量 的归一问题 又称 双归一 正归一问题 用等分除法求出 单一量 之后 再用乘法计算结果的归一问题 反归一问题 用等分除法求出 单一量 之后 再用除法计算结果的归一问题 解题关键 从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量 单一量 然后以它为标准 根据题目的 要求算出结果 数量关系式 单一量 份数 总数量 正归一 总数量 单一量 份数 反归一 例 一个织布工人 在七月份织布 4774 米 照这样计算 织布 6930 米 需要多少天 分析 必须先求出平均每天织布多少米 就是单一量 693 0 477 4 31 45 天 3 归总问题 是已知单位数量和计量单位数量的个数 以及不同的单位数量 或单位数量的个数 通 过求总数量求得单位数量的个数 或单位数量 特点 两种相关联的量 其中一种量变化 另一种量也跟着变化 不过变化的规律相反 和反比例算法彼 此相通 数量关系式 单位数量 单位个数 另一个单位数量 另一个单位数量 单位数量 单位个数 另一个单位 数量 另一个单位数量 6 例 修一条水渠 原计划每天修 800 米 6 天修完 实际 4 天修完 每天修了多少米 分析 因为要求出每天修的长度 就必须先求出水渠的长度 所以也把这类应用题叫做 归总问题 不同 之处是 归一 先求出单一量 再求总量 归总问题是先求出总量 再求单一量 80 0 6 4 1200 米 4 和差问题 已知大小两个数的和 以及他们的差 求这两个数各是多少的应用题叫做和差问题 解题关键 是把大小两个数的和转化成两个大数的和 或两个小数的和 然后再求另一个数 解题规律 和 差 2 大数 大数 差 小数 和 差 2 小数 和 小数 大数 例 某加工厂甲班和乙班共有工人 94 人 因工作需要临时从乙班调 46 人到甲班工作 这时乙班比甲班 人数少 12 人 求原来甲班和乙班各有多少人 分析 从乙班调 46 人到甲班 对于总数没有变化 现在把乙数转化成 2 个乙班 即 9 4 12 由 此得到现在的乙班是 9 4 12 2 41 人 乙班在调出 46 人之前应该为 41 46 87 人 甲班为 9 4 87 7 人 5 和倍问题 已知两个数的和及它们之间的倍数 关系 求两个数各是多少的应用题 叫做和倍问题 解题关键 找准标准数 即 1 倍数 一般说来 题中说是 谁 的几倍 把谁就确定为标准数 求出倍数和 之后 再求出标准的数量是多少 根据另一个数 也可能是几个数 与标准数的倍数关系 再去求另一个 数 或几个数 的数量 解题规律 和 倍数和 标准数 标准数 倍数 另一个数 例 汽车运输场有大小货车 115 辆 大货车比小货车的 5 倍多 7 辆 运输场有大货车和小汽车各有多少 辆 分析 大货车比小货车的 5 倍还多 7 辆 这 7 辆也在总数 115 辆内 为了使总数与 5 1 倍对应 总车辆数应 115 7 辆 列式为 115 7 5 1 18 辆 18 5 7 97 辆 6 差倍问题 已知两个数的差 及两个数的倍数关系 求两个数各是多少的应用题 解题规律 两个数的差 倍数 1 标准数 标准数 倍数 另一个数 例 甲乙两根绳子 甲绳长 63 米 乙绳长 29 米 两根绳剪去同样的长度 结果甲所剩的长度是乙绳 长的 3 倍 甲乙两绳所剩长度各多少米 各减去多少米 分析 两根绳子剪去相同的一段 长度差没变 甲绳所剩的长度是乙绳的 3 倍 实比乙绳多 3 1 倍 以乙绳的长度为标准数 列式 63 29 3 1 17 米 乙绳剩下的长度 17 3 51 米 甲绳剩下的长度 29 17 12 米 剪去的长度 7 行程问题 关于走路 行车等问题 一般都是计算路程 时间 速度 叫做行程问题 解答这类问 题首先要搞清楚速度 时间 路程 方向 杜速度和 速度差等概念 了解他们之间的关系 再根据这类 问题的规律解答 解题关键及规律 同时同地相背而行 路程 速度和 时间 同时相向而行 相遇时间 速度和 时间 同时同向而行 速度慢的在前 快的在后 追及时间 路程速度差 同时同地同向而行 速度慢的在后 快的在前 路程 速度差 时间 例 甲在乙的后面 28 千米 两人同时同向而行 甲每小时行 16 千米 乙每小时行 9 千米 甲几小 时追上乙 7 分析 甲每小时比乙多行 16 9 千米 也就是甲每小时可以追近乙 16 9 千米 这是速度差 已知甲在乙的后面 28 千米 追击路程 28 千米 里包含着几个 16 9 千米 也就是追击所需要 的时间 列式 2 8 16 9 4 小时 8 流水问题 一般是研究船在 流水 中航行的问题 它是行程问题中比较特殊的一种类型 它也是一 种和差问题 它的特点主要是考虑水速在逆行和顺行中的不同作用 船速 船在静水中航行的速度 水速 水流动的速度 顺水速度 船顺流航行的速度 逆水速度 船逆流航行的速度 顺速 船速 水速 逆速 船速 水速 解题关键 因为顺流速度是船速与水速的和 逆流速度是船速与水速的差 所以流水问题当作和差问题解 答 解题时要以水流为线索 解题规律 船行速度 顺水速度 逆流速度 2 流水速度 顺流速度逆流速度 2 路程 顺流速度 顺流航行所需时间 路程 逆流速度 逆流航行所需时间 例 一只轮船从甲地开往乙地顺水而行 每小时行 28 千米 到乙地后 又逆水 航行 回到甲地 逆水 比顺水多行 2 小时 已知水速每小时 4 千米 求甲乙两地相距多少千米 分析 此题必须先知道顺水的速度和顺水所需要的时间 或者逆水速度和逆水的时间 已知顺水速度和水 流 速度 因此不难算出逆水的速度 但顺水所用的时间 逆水所用的时间不知道 只知道顺水比逆水少 用 2 小时 抓住这一点 就可以就能算出顺水从甲地到乙地的所用的时间 这样就能算出甲乙两地的路 程 列式为 284 2 20 千米 2 0 2 40 千米 40 4 2 5 小时 28 5 140 千米 9 还原问题 已知某未知数 经过一定的四则运算后所得的结果 求这个未知数的应用题 我们叫做 还原问题 解题关键 要弄清每一步变化与未知数的关系 解题规律 从最后结果 出发 采用与原题中相反的运算 逆运算 方法 逐步推导出原数 根据原题的运算顺序列出数量关系 然后采用逆运算的方法计算推导出原数 解答还原问题时注意观察运算的顺序 若需要先算加减法 后算乘除法时别忘记写括号 例 某小学三年级四个班共有学生 168 人 如果四班调 3 人到三班 三班调 6 人到二班 二班调 6 人 到一班 一班调 2 人到四班 则四个班的人数相等 四个班原有学生多少人 分析 当四个班人数相等时 应为 168 4 以四班为例 它调给三班 3 人 又从一班调入 2 人 所 以四班原有的人数减去 3 再加上 2 等于平均数 四班原有人数列式为 168 4 2 3 43 人 一班原有人数列式为 168 4 6 2 38 人 二班原有人数列式为 168 4 6 6 42 人 三班原有人 数列式为 168 4 3 6 45 人 10 植树问题 这类应用题是以 植树 为内容 凡是研究总路程 株距 段数 棵树四种数量关系的应 用题 叫做植树问题 解题关键 解答植树问题首先要判断地形 分清是否封闭图形 从而确定是沿线段植树还是沿周长植树 然后按基本公式进行计算 解题规律 沿线段植树 8 棵树 段数 1 棵树 总路程 株距 1 株距 总路程 棵树 1 总路程 株距 棵树 1 沿周长植树 棵树 总路程 株距 株距 总路程 棵树 总路程 株距 棵树 例 沿公路一旁埋电线杆 301 根 每相邻的两根的间距是 50 米 后来全部改装 只埋了 201 根 求 改装后每相邻两根的间距 分析 本题是沿线段埋电线杆 要把电线杆的根数减掉一 列式为 50 301 1 201 1 75 米 11 盈亏问题 是在等分除法的基础上发展起来的 他的特点是把一定数量的物品 平均分配给一定 数量的人 在两次分配中 一次有余 一次不足 或两次都有余 或两次都不足 已知所余和不足的数 量 求物品适量和参加分配人数的问题 叫做盈亏问题 解题关键 盈亏问题的解法要点是先求两次分配中分配者没份所得物品数量的差 再求两次分配中各次共 分物品的差 也称总差额 用前一个差去除后一个差 就得到分配者的数 进而再求得物品数 解题规律 总差额 每人差额 人数 总差额的求法可以分为以下四种情况 第一次多余 第二次不足 总差额 多余 不足 第一次正好 第二次多余或不足 总差额 多余或不足 第一次多余 第二次也多余 总差额 大多余 小多余 第一次不足 第二次也不足 总差额 大不足 小不足 例 参加美术小组的同学 每个人分的相同的支数的色笔 如果小组 10 人 则多 25 支 如果小组有 12 人 色笔多余 5 支 求每人 分得几支 共有多少支色铅笔 分析 每个同学分到的色笔相等 这个活动小组有 12 人 比 10 人多 2 人 而色笔多出了 25 5 20 支 2 个人多出 20 支 一个人分得 10 支 列式为 25 5 12 10 10 支 10 12 5 125 支 12 年龄问题 将差为一定值的两个数作为题中的一个条件 这种应用题被称为 年龄问题 解题关键 年龄问题与和差 和倍 差倍问题类似 主要特点是随着时间的变化 年岁不断增长 但大 小两个不同年龄的差是不会改变的 因此 年龄问题是一种 差不变 的问题 解题时 要善于利用差不变 的特点 例 父亲 48 岁 儿子 21 岁 问几年前父亲的年龄是儿子的 4 倍 分析 父子的年龄差为 48 21 27 岁 由于几年前父亲年龄是儿子的 4 倍 可知父子年龄的倍数差 是 4 1 倍 这样可以算出几年前父子的年龄 从而可以求出几年前父亲的年龄是儿子的 4 倍 列式 为 21 48 21 4 1 12 年 13 鸡兔问题 已知 鸡兔 的总头数和总腿数 求 鸡 和 兔 各多少只的一类应用题 通常称为 鸡兔问 题 又称鸡兔同笼问题 解题关键 解答鸡兔问题一般采用假设法 假设全是一种动物 如全是 鸡 或全是 兔 然后根据出现的 腿数差 可推算出某一种的头数 解题规律 总腿数 鸡腿数 总头数 一只鸡兔腿数的差 兔子只数 兔子只数 总腿数 2 总头数 2 如果假设全是兔子 可以有下面的式子 9 鸡的只数 4 总头数 总腿数 2 兔的头数 总头数 鸡的只数 例 鸡兔同笼共 50 个头 170 条腿 问鸡兔各有多少只 兔子只数 170 2 50 2 35 只 鸡的只数 50 35 15 只 小学数学知识要点 一 意义 1 意义 把搜集的材料经过整理 填写在一定格式的表格内 用来反 映情况 说明问题 统计表 2 种类 单式 复式 1 意义 把统计资料中的数量关系用图形表达出来 使之具体 给人 印象深刻 统计图 条形统计图 容易看出各种数量的多少 单式 复式 2 种类 折线统计图 能清楚地表示出数量增减变化的情况 单式 复式 扇形统计图 能清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系 二 数 1 小数的网络图 纯小数 有限小数 小数 无限不循环小数 带小数 无限小数 纯循环小数 无限循环小数 混循环小数 2 整数 倍数 公倍数 最小公倍数 几个数公有的倍数叫做这几个数的公 倍数 其中最小的一个叫做这几个数 整除 的最小公倍数 约数 公约数 最大公约数 几个数公的的约数叫做这几个数的公 约数 其中最大的一个叫做这几个数 的最大公约数 质数 合数 互质数 质因数 分解质因数 能被 2 3 5 整除的数的特征 10 3 互质数 概念 公约数只有 1 的两个数 一定互质 1 和任何自然数 相邻的两个自然数 互质数 两个不同的质数 不一定互质 一个质数与一个合数 两个不同的合数 质数 一个数 如果只有 1 和它本身两个约数 叫做质数 合数 一个数 如果除了 1 和它本身 还有别的约数 叫做合数 一个数的约数的个数是有限的 其中最小的约数是 1 最大的约数是它本身 一个数的倍数的个数是 无限的 其中最小的倍数是它本身 一个数最小的倍数等于它最大的约数 整数 a 除以整数 b b 0 除得的商正好是整数而没有余数 我们就说 a 能被 b b 0 整除 或 b b 0 能整除 a 这是整除部分知识中最基本的概念 自然数按能否被 2 整除的情况 分为奇数 偶数 自然数按约数的个数分为 0 1 质数 合数 自然数按约数的个数分 0 有无限个约数 除以所有自然数 0 除外 改写 改写成分母是 10 100 1000 的分数 再约分 小数 分数 用分母去除分子 小数点向右移动两位 添上 写成分数形式并约分 去掉 小数点 先写成小数 向左移动两位 再写成百分数 百分数 一个较大的多位数 为了读写方便 常常把它改写成用 万 或 亿 作单位的数 有时还可以根据需要 省 略这个数某一位后面的尾数 写成近似数 4 比较 分数 分母相同的分数 分子大的分数比较大 分子相同的分数 分母小的分数比较大 分子和分母都不 相同 把分数通分后再比较 数的比较 整数 先看个位上的数 个位上的数大的就大 个位上的数相同 个位上的数大的就大 个位 上的数也相同 百位上的数大的就大 小数 比较两个小数的大小 先看它们的整数部分 整数部分大的那个数就大 整数部分小的就小 整数 部分相同的 十分位上的数大的那个数就大 十分位上的数也相同 百分位上的数大的那个数就大 5 数位 整数部分 小数点 小数部分 亿 级 万 级 个 级 数位 千亿位 百亿位 十亿位 亿 位 千万位 百万位 十万位 万 位 千 11 位 百 位 于 位 个 位 十分位 百分位 千分位 计数单位 千 亿 百 亿 十亿 亿 千万 百万 千万 万 千 百 十 一 个 十分之一 百分之一 千分之一 整数和小数都是按照十进制计数法写出的数 其中个 十 百 以及十分之一 百分之一 都是计数 单位 各个计数单位所占的位置 叫做数位 数位是按一定的顺序排列的 数位 写数时 按照一定的顺序把各个计算单位排列在一定的位置上 各个不同的计数单位所占的位置叫 做数位 位数 一个整数含有数位的数目叫做位数 含有一个数位的数叫做一位数 6 意义 自然数 我们在数物体的时候 用来表示物体个数的 1 2 3 叫做自然数 一个物体也没有 用 0 表示 0 也是自然数 自然数都是整数 分数 把单位 1 平均分成若干份 表示这样的一份或几份的数叫做分数 表示其中一份的数是这个分数 的分数单位 两个整数相除 它们的商可以用分数表示 即 a b a b b 0 小数 把整数 1 平均分成 10 份 100 份 1000 份 这样的一份或几份是十分之几 百分之几 千 分之几 可以用小数表示 如 0 1 等都是小数 有限小数 小数的小数部分的位数是有限的 就叫做有限小数 循环小数 一个小数 从小数部分的某一位起 一个数字或几个数字依次不断地重复出现 这样的小数叫 做循环小数 小数部分的位数是无限的 叫做无限小数 循环小数是无限小数 补充 1 四则运算 在一个没有括号的算式里 如果含有同一级运算 要从左往右依次计算 如果含有 两级运算 要先做第二级运算 后做第一级运算 如果在一个有括号的算式里 要先算小括号里面的 再 算中括号里面的 注意 计算时要认真审题 看清运算符号和数的特点 灵活选择合理的计算方法 三 四则运算 1 四则运算 数的范围 运算 意义 名称 整数 小数 分数 字母表示 加法 一级运算 把两个数合并成一个数的运算 与整数加法的意义相同 与整数加法的意义相同 a b c 12 减法 一级运算 己知两个数的和与其中的一个加数 求另一个加数的运算 与整数减法的意义相同 与整数减法的意义相同 c b a 乘法 二级运算 求几个相同加数的和的简便运算 一个数与小数相乘 可以看作是求这个数的十分之 几 百分之几 是多少 一个数与分数相乘 可以看作是求这个数的几分之几是多少 a b c 除法 二级运算 已知两个数的积与其中一个因数 求另一个因数的运算 与整数除法的意义相同 与整 数除法的意义相同 c b a 减法是加法的逆运算 除法是乘法的逆运算 乘法是加法的同数相加的简便运算 除法是减法的同数相减 的简便运算 分成四种 同级 两级 带括号 简便计算 2 运算定律与简便算法 加法交换律 a b b a 加法结合律 a b c a b c 加减法的速算法 a b a c d a b a c d 减法的性质 a b c a b c 乘法交换律 a b b a 乘法结合律 a b c a b c 乘法分配律 a b c a c b c 积不变的性质 ab a c b c 除法的性质 a b c a b c 商不变的性质 a b a c b c a b a c b c 四 方程 方程 含有未知数的算式叫做方程 代数 1 用字母表示数可以简明地表达数量关系 运算定律和计算公式 2 数与字母相乘 省略乘号 数字写在字母的前面 如 1a a 1 3 字母与字母相乘 可省略乘号 也可以写成乘号的简写法 如 a b ab a b 4 数与数不能省略乘号 使方程左右两边相等的求知数的值 叫做方程的解 只是一个数 求方程的解的过程 叫做解方程 只是一个过程 当 n 表示任何一个自然数时 2n 表示偶数 因为能被 2 整除 2n 1 表示奇数 方程不是比例 比例是方程 五 应用题 1 简单应用题 小学数学中基本的应用题是简单应用题 各种应用题是在简单应用题基础上合成的 2 复合应用题 一般应用题解题各种步骤 如下 1 审题 理解题意 基础 2 分析数量关系 关键 3 列式计算 重点 4 验算 正确的保证 5 写答句 完整的必须 简单应用题四大类 1 总数与部分数的关系 2 大数 小数与相差数的关系 3 一倍数 几倍数和倍 数的关系 4 总数 份数与每份数的关系 11 种 求总数 求剩余 求相同的数的和 平均除 包含除 两数的相差数 大数比小数多多少 小数比大数少多少 一个数是另一个数的几倍 求一个数的几倍是多少 己知一个数和另一个数的几分之几 求这个数 六 比 分数和除法的联系 前项 分子 被除数 比号 分数线 除号 后项 分母 除数 比值 分数值 商 比是两个数之间的倍数关系 分数是一个数 除法是一种运算 13 七 比 比例 两个数相除又叫做两个数的比 两个比相等的式子叫做比例 比的基本性质 比的前项和后项都乘上或除以相同的数 0 除外 比值不变 比例的基本性质 在比例里 两内项的积等于两个外项的积 求比值和化简比的不同 求比值是一个商 化简比是一个比 前项 后项都是整数 正比例 两种相关联的量 一种量变化 另一种量也随着变化 如果这两种量中相对应的两个数的比值 也就是商 一定 这两种量就叫做成正比例的量 它们的关系叫做正比例关系 Y x k 一定 反比例 两种相关联的量 一种量变化 另一种量也随着变化 如果这两种量中相对应的两个数的积一定 这两种量就叫做成反比例的量 它们的关系叫做反比例关系 x y k 一定 正 反比例的相同点 都有三种量 其中两种是相关联的量 另一种是一定的量 一种量的变化 另一种 量也随着变化 八 方程解与算术解的不同 方程解是顺向思维 把求知量当成己知量 算术解是逆向思维 1 分数应用题 比较量 标准量 或 求百分率 1 的量 所求量的对应分率 所求量 方程解 己知量 对应分率 1 的量 九 几何图形 1 图形面积计算公式表 名称 面积字母计算公式 面积计算公式 长方形 S 长 ab 长方形的面积 长 宽 正方形 S 正 a2 正方形的面积 边长 边长 三角形 S 三角 ah 2 三角形的面积 底 高 2 平行四边形 S 平行 bh 平行四边形面积 底 高 梯形 S 梯 a b h 2 梯形的面积 上底 下底 高 2 圆 S 圆 r2 圆面积 半径 2 圆周率 扇形 半圆 S 圆 r2 n 360 扇形的面积 半径 2 圆周率 n 360 2 图形周长计算公式表 名称 周长字母计算公式 周长计算公式 长方形 C 长 a b 2 长方形的周长 长 宽 2 正方形 C 正 4a 正方形的周长 边长 4 三角形 平行四边形 C 平行 a b 2 平行四边形周长 斜边 底边 2 梯形 圆 C 圆 2 r 圆周长 直径 圆周率 扇形 半圆 C 扇 d n 360 2r 扇形周长 直径 圆周率 n 360 半径 2 3 进率 长度单位 1 千米 1000 米 1 千米 10000 分米 1 千米 100000 厘米 1 千米 1000000 毫米 1 米 10 分米 1 米 100 厘米 1 米 1000 毫米 1 分米 10 厘米 14 1 分米 100 毫米 1 厘米 10 毫米 面积单位 1 平方千米 100 公顷 1000000 平方米 100000000 平方分米 10000000000 平方厘米 1 公顷 10000 平方米 1000000 平方分米 100000000 平方厘米 1 平方米 100 平方分米 10000 平方厘米 1 平方分米 100 平方厘米 体积 容积 单位 1 立方米 1000 立方分米 1000 升 1000000 立方厘米 1000000 毫升 1 立方分米 1 升 1000 立方厘米 1000 毫升 1 立方厘米 1 毫升 质量单位 1 吨 1000 千克 1000000 克 1 千克 1000 克 时间单位 1 世纪 100 年 1 年 12 个月 52 个星期 365 或 366 天 一年 四个季 1 季 3 个月 1 个月 3 旬 上旬 下旬 下旬 1 星期 7 天 1 日 24 小时 1 时 60 分 1 分 60 秒 12 个月中有 7 个大月 4 个小月 1 个少月 大月是 1 3 5 7 8 10 12 月 小月是 4 6 9 11 月 少月是 2 月 闰年 2 月有 29 天 平年 2 月有 28 天 4 名数 名数 计量的结果 要用数来表示 并且还要带上单位名称 通常把它们合起来叫做名数 例如 数 5 米 单名数 复名数 3 米 3 分 单位名称 名数的改写 在实际中 同一种量却不同单位的名数 常常需要进行互相改写 把高级单位的名数改写成 低级单位的名数用进率去乘 把低级单位的名数改写成高级单位的名数用进率去除 在名数的改写中 为 了简便 可以应用移动小数点引起数的大小变化的规律来进行改写 5 角 直线 直线是无限的 线段 直线上两点间的一段叫做线段 线段有两个端点 线段是直线的一部分 射线 把线段的一端无限延长 就得到一条射线 射线只有一个端点 角 从一点引出两条射线所组成的图形叫做角 这个点叫做角的顶点 这两条射线叫做角的边 角通常用 符号 来表示 如下图 边 顶点 边 比较角的大小 先把两个角的顶点和一条边重合 然后看另一条边的位置 哪个角的另一条边在外面 哪 个角就大 如果另一条边也重合 说明两个角相等 角的大小要看两条边的大小叉开的越大 角越大 角的大小与角的两边画出的长短没有关系 角的度量 角的计量单位是 度 用符号 表示 把半圆分成 180 等份 每一份所对的角叫做 1 度的角 记作 1 用量角器量角的时候 把量角器放在角的上面 使量角器的中心和角的顶点重合 0 该度线和 角的一条边重合 角的另一条边所对的量角器上的刻度 就是这个角的度数 角的分类 大于 0 而小于 90 的角叫做锐角 等于 90 的角叫做直角 大于 90 而小于 180 的角叫做钝 角 角的两边成一条直线 等于 180 的角叫做平角 一条射线绕它的端点旋转一周所成为一个 360 的角 叫做周角 15 垂线 两条线相交成直角时 这两条线叫做互相垂直 其中一条直线叫做另一条直线的垂线 如下图 1 这两条直线的交点 叫做垂足 平行 在同一个平面内永不相交的两条直线叫做平行线 如下图 2 也可以说这两条直线互相平行 垂直 平行 6 长方形 正方形 长方形与正方形都有四条边 长方形相对两条边长度相等 正方形四条边都相等 它们都有四个直角 正 方形是特殊的长方形 7 三角形 三角形的分类 三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形 有 一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形 两条边相等的三角形叫做等腰三角形 在等腰三角形里 相等的两条边叫腰 另一条边叫做底 两腰的夹 角叫做顶角 底边上的两个角叫做底角 三条边都相等的三角形叫做等边三角形 又叫做正三角形 从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线 顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高 这条对边叫做三角形的底 三角形的内角和是 180 两个完全 相同的三角形可以拼成平行四边形 8 平行四边形 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 四个角都不是直角 从平行四边形的一条边上的一点到对边引一条垂线 这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高 这条对 边叫做平行四边形的底 长方形 正方形都是特殊的平行四边形 8 梯形 只有一组对边平行的四边形叫做梯形 在梯形里 互相平行的一组对边叫做梯形的底 通常把较短的底叫做上底 较长的底叫做下底 不平行 的一组对边叫做梯形的腰 从上底的一点到下底引一条垂线 这点和垂足之间的线段叫做梯形的高 两腰相等的梯形叫做等腰梯形 9 圆 圆中心的一点叫做圆心 圆心一般用字母 o 表示 连接圆心产圆上任意一点的线段叫做半径 半径一般用字母 r 表示 通过圆心并且两端都圆上的线段叫做直径 直径一般用字母 d 表示 一个圆里有无数条半径与直径 所有的直径和半径都有相等 直径是半径的 2 倍 半径是直径的直径的 1 2 圆心决定圆的位置 半径决定圆的大小 圆的周长和直径的比值叫做圆周率 用字母 来表示 3 141592653 3 14 10 扇形 半圆 圆周长中任意两点的距离叫做 弧 一条弧和经过这两条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形 两条半径之间的角 顶点在圆心 像这样 顶点在圆心的角叫做圆心角 在同一个圆里 扇形的大小与这 个扇形的圆心角有关 11 轴对称图形 16 如果一个图形沿着一条直线对折 两侧的图形能够完全重合 这个图形就叫做轴对称图形 折痕所在的这 条直线叫做对称轴 12 长方体 正方体 两个面相交的边叫做棱 三条棱相交的点叫做顶点 长方体是由 6 个长方形 特殊情况有两个相对的面是正方形 围成的立体图形 在一个长方体中 相对的 面完全相同 相对的棱长度相等 长方体有 12 条棱 8 个顶点 相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫 做长方体的长 宽 高 正方体是由 6 个完全相同的正方形围成的立体图形 正方体也有 12 条棱 它们的长度相等 正方体也有 8 个顶点 正方体和长方体的面 棱和顶点的数目都一样 只是正方体的棱长相等 正方体可以说是长 宽 高都相 等的长方体 它是一种特殊的长方体 13 圆柱 圆柱上 下两个面叫做底面 它们是完全相同的两个圆 圆柱有无数条高 圆柱有一个曲面 叫做侧面 圆柱两个底面之间的距离叫做高 高也叫长 宽 深 剪开垂线侧面 会使它变成长方形 也可能得到正 方形 14 圆锥 圆锥的底面是个圆 圆锥的侧面是一个曲面 从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高 h 圆锥只有一 个底面 圆锥有一个顶点一条高 圆锥的侧面展开是个扇形 体积计算公式 名称 体积字母公式 体积公式 长方体 V 长方体 a b h 长方体体积 长 宽 高 正方体 V 长方体 a3 正方体体积 边长 边长 边长 圆柱 V 圆柱 r2 h 圆柱体积 圆周率 半径 2 高 圆锥 V 圆锥 1 3 r2 h 圆锥体积 圆周率 半径 2 高 1 3 表面积计算公式 名称 表面积字母公式 表面积公式 长方体 S 长方体 a b a h b h 2 长方体表面积 长 宽 长 高 宽 高 2 正方体 S 正方体 a a 6 正方体表面积 边长 边长 6 圆柱 S 圆柱 r2 2 d h 圆柱表面积 圆周率 半径 2 2 直径 高 圆锥的体积 1 3 底面 积高 公式 V 1 3Sh 1 每份数 份数 总数 总数 每份数 份数 总数 份数 每份数 2 1 倍数 倍数 几