高中数学竞赛教材讲义 第十五章 复数

用心 爱心 专心 1 第十五章第十五章 复数复数 一 基础知识 1 复数的定义 设 i 为方程 x2 1 的根 i 称为虚数单位 由 i 与实数进行加 减 乘 除 等运算 便产生形如 a bi a b R 的数 称为复数 所有复数构成的集合称复数集 通常 用 C 来表示 2 复数的几种形式 对任意复数 z a bi a b R a 称实部记作 Re z b 称虚部记作 Im z z ai 称为代数形式 它由实部 虚部两部分构成 若将 a b 作为坐标平面内点的坐标 那 么 z 与坐标平面唯一一个点相对应 从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合 之间的一一映射 因此复数可以用点来表示 表示复数的平面称为复平面 x 轴称为实轴 y 轴去掉原点称为虚轴 点称为复数的几何形式 如果将 a b 作为向量的坐标 复数 z 又对 应唯一一个向量 因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式 称为向量形式 另外设 z 对应复平面内的点 Z 见图 15 1 连接 OZ 设 xOZ OZ r 则 a rcos b rsin 所以 z r cos isin 这种形式叫做三角形式 若 z r cos isin 则 称为 z 的 辐角 若 0 2 则 称为 z 的辐角主值 记作 Arg z r 称为 z 的模 也记作 z 由勾股定理知 z 如果用 ei 表示 cos isin 则 z rei 称为复数的 22 ba 指数形式 3 共轭与模 若 z a bi a b R 则a bi 称为 z 的共轭复数 模与共轭的性质有 z 1 2 3 4 2121 zzzz 2121 zzzz 2 zzz 2 1 2 1 z z z z 5 6 7 z1 2121 zzzz 2 1 2 1 z z z z z2 z1 z2 z1 z2 8 z1 z2 2 z1 z2 2 2 z1 2 2 z2 2 9 若 z 1 则 z z 1 4 复数的运算法则 1 按代数形式运算加 减 乘 除运算法则与实数范围内一致 运 算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数 2 按向量形式 加 减法满足平行四边 形和三角形法则 3 按三角形式 若 z1 r1 cos 1 isin 1 z2 r2 cos 2 isin 2 则 z1 z2 r1r2 cos 1 2 isin 1 2 若 cos 1 2 isin 1 2 2 1 2 1 2 0 r r z z z 用指数形式记为 z1z2 r1r2ei 1 2 2 1 2 1 21 i e r r z z 5 棣莫弗定理 r cos isin n rn cosn isinn 6 开方 若r cos isin 则 n w 2 sin 2 cos n k i n k rw n k 0 1 2 n 1 7 单位根 若 wn 1 则称 w 为 1 的一个 n 次单位根 简称单位根 记 用心 爱心 专心 2 Z1 则全部单位根可表示为 1 单位根的基本性质有 n i n 2 sin 2 cos 1 Z 1 1 2 1 n ZZ 这里记 k 1 2 n 1 1 对任意整数 k 若 k nq r q Z 0 r n 1 有 k k ZZ 1 Znq r Zr 2 对任意整数 m 当 n 2 时 有 特别 m n mm ZZZ 121 1 0 mnn mn 当 当 1 Z1 Z2 Zn 1 0 3 xn 1 xn 2 x 1 x Z1 x Z2 x Zn 1 x Z1 x x 2 1 Z 1 1 n Z 8 复数相等的充要条件 1 两个复数实部和虚部分别对应相等 2 两个复数的模和辐 角主值分别相等 9 复数 z 是实数的充要条件是 z z 是纯虚数的充要条件是 z 0 且 z 0 zz 10 代数基本定理 在复数范围内 一元 n 次方程至少有一个根 11 实系数方程虚根成对定理 实系数一元 n 次方程的虚根成对出现 即若 z a bi b 0 是 方程的一个根 则 a bi 也是一个根 z 12 若 a b c R a 0 则关于 x 的方程 ax2 bx c 0 当 b2 4ac 0 时方程的根为 2 2 1 a ib x 二 方法与例题 1 模的应用 例 1 求证 当 n N 时 方程 z 1 2n z 1 2n 0 只有纯虚根 证明 若 z 是方程的根 则 z 1 2n z 1 2n 所以 z 1 2n z 1 2n 即 z 1 2 z 1 2 即 z 1 1 z 1 1 化简得 z 0 又 z 0 不是方程的根 所以 z 是纯虚数 zzz 例 2 设 f z z2 az b a b 为复数 对一切 z 1 有 f z 1 求 a b 的值 解 因为 4 1 a b 1 a b 1 ai b 1 ai b f 1 f 1 f i f i f 1 f 1 f i f i 4 其中等号成立 所以 f 1 f 1 f i f i 四个向量方向相同 且模相等 所以 f 1 f 1 f i f i 解得 a b 0 2 复数相等 例 3 设 R 若二次方程 1 i x2 i x 1 i 0 有两个虚根 求 满足的充要条件 解 若方程有实根 则方程组有实根 由方程组得 1 x 1 0 若 0 01 2 2 xx xx 1 则方程 x2 x 1 0 中 0 无实根 所以 1 所以 x 1 2 所以当 2 时 方程无实根 所以方程有两个虚根的充要条件为 2 3 三角形式的应用 例 4 设 n 2000 n N 且存在 满足 sin icos n sinn icosn 那么这样的 n 有 多少个 解 由题设得 用心 爱心 专心 3 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos ninini n 所以 n 4k 1 又因为 0 n 2000 所以 1 k 500 所以这样的 n 有 500 个 4 二项式定理的应用 例 5 计算 1 2 100 100 4 100 2 100 0 100 CCCC 99 100 5 100 3 100 1 100 CCCC 解 1 i 100 1 i 2 50 2i 50 250 由二项式定理 1 i 100 100100 100 9999 100 22 100 1 100 0 100 iCiCiCiCC 100 100 4 100 2 100 0 100 CCCC i 比较实部和虚部 得 250 99 100 5 100 3 100 1 100 CCCC 100 100 4 100 2 100 0 100 CCCC 0 99 100 5 100 3 100 1 100 CCCC 5 复数乘法的几何意义 例 6 以定长线段 BC 为一边任作 ABC 分别以 AB AC 为腰 B C 为直角顶点向外作等腰 直角 ABM 等腰直角 ACN 求证 MN 的中点为定点 证明 设 BC 2a 以 BC 中点 O 为原点 BC 为 x 轴 建立直角坐标系 确定复平面 则 B C 对应的复数为 a a 点 A M N 对应的复数为 z1 z2 z3 由azBAazCA 11 复数乘法的几何意义得 由 13 aziazCN 12 aziazBM 得 z2 z3 i z1 a i z1 a 2ai 设 MN 的中点为 P 对应的复数 z 为定值 ai zz 2 32 所以 MN 的中点 P 为定点 例 7 设 A B C D 为平面上任意四点 求证 AB AD BC AD AC BD 证明 用 A B C D 表示它们对应的复数 则 A B C D B C A D A C B D 因 为 A B C D B C A D A B C D B C A D 所以 A B C D B C A D A C B D 成立当且仅当 即 即 A B C D 共圆时 DC CB Arg AD AB Arg CD CB Arg AB AD Arg 成立 不等式得证 6 复数与轨迹 例 8 ABC 的顶点 A 表示的复数为 3i 底边 BC 在实轴上滑动 且 BC 2 求 ABC 的外心 轨迹 解 设外心 M 对应的复数为 z x yi x y R B C 点对应的复数分别是 b b 2 因为外心 M 是三边垂直平分线的交点 而 AB 的垂直平分线方程为 z b z 3i BC 的垂直平分线的方 程为 z b z b 2 所以点 M 对应的复数 z 满足 z b z 3i z b 2 消去 b 解得 3 4 6 2 yx 所以 ABC 的外心轨迹是轨物线 7 复数与三角 例 9 已知 cos cos cos sin sin sin 0 求证 cos2 cos2 cos2 0 证明 令 z1 cos isin z2 cos isin z3 cos isin 则 用心 爱心 专心 4 z1 z2 z3 0 所以又因为 zi 1 i 1 2 3 0 321321 zzzzzz 所以 zi 1 即 i z 1 i i z z 由 z1 z2 z3 0 得 0 222 133221 2 3 2 2 2 1 zzzzzzxxx 又 0 111 321321 321 321132321 zzzzzz zzz zzzzzzzzz 所以 0 2 3 2 2 2 1 zzz 所以 cos2 cos2 cos2 i sin2 sin2 sin2 0 所以 cos2 cos2 cos2 0 例 10 求和 S cos200 2cos400 18cos18 200 解 令 w cos200 isin200 则 w18 1 令 P sin200 2sin400 18sin18 200 则 S iP w 2w2 18w18 由 w 得 w S iP w2 2w3 17w18 18w19 由 得 1 w S iP w w2 w18 18w19 所以 S iP 所以 19 18 18 1 1 w w ww i w w 2 3 2 1 9 1 18 2 9 S 8 复数与多项式 例 11 已知 f z c0zn c1zn 1 cn 1z cn是 n 次复系数多项式 c0 0 求证 一定存在一个复数 z0 z0 1 并且 f z0 c0 cn 证明 记 c0zn c1zn 1 cn 1z g z 令 Arg cn Arg z0 则方程 g Z c0ei 0 为 n 次 方程 其必有 n 个根 设为 z1 z2 zn 从而 g z c0ei z z1 z z2 z zn c0 令 z 0 得 c0ei 1 nz1z2 znc0 取模得 z1z2 zn 1 所以 z1 z2 zn中必有一个 zi使得 zi 1 从而 f zi g zi cn c0ei cn 所以 f zi c0ei cn c0 cn 9 单位根的应用 例 12 证明 自 O 上任意一点 p 到正多边形 A1A2 An各个顶点的距离的平方和为定值 证明 取此圆为单位圆 O 为原点 射线 OAn为实轴正半轴 建立复平面 顶点 A1对应复 数设为 则顶点 A2A3 An对应复数分别为 2 3 n 设点 p 对应复数 z 则 i n e 2 z 1 且 2n n k kk n k kk n k k n k k zzzzzpA 111 2 1 2 2 2n 命题得证 22 1111 nzznzz n k k n k k n k k n k k 10 复数与几何 例 13 如图 15 2 所示 在四边形 ABCD 内存在一点 P 使得 PAB PCD 都是以 P 为直角 顶点的等腰直角三角形 求证 必存在另一点 Q 使得 QBC QDA 也都是以 Q 为直角顶点 的等腰直角三角形 用心 爱心 专心 5 证明 以 P 为原点建立复平面 并用 A B C D P Q 表示它们对应的复数 由题设及 复数乘法的几何意义知 D iC B iA 取 则 C Q i B Q 则 BCQ 为等腰直角三 i iBC Q 1 角形 又由 C Q i B Q 得 即 A Q i D Q 所以 ADQ 也为等腰直角三 Q i A iQ i D 角形且以 Q 为直角顶点 综上命题得证 例 14 平面上给定 A1A2A3及点 p0 定义 As As 3 s 4 构造点列 p0 p1 p2 使得 pk 1为 绕中心 Ak 1顺时针旋转 1200时 pk所到达的位置 k 0 1 2 若 p1986 p0 证明 A1A2A3为 等边三角形 证明 令 u 由题设 约定用点同时表示它们对应的复数 取给定平面为复平面 则 3 i e p1 1 u A1 up0 p2 1 u A2 up1 p3 1 u A3 up2 u2 u 得 p3 1 u A3 uA2 u2A1 p0 w p0 w 为与 p0无关的常数 同理得 p6 w p3 2w p0 p1986 662w p0 p0 所以 w 0 从而 A3 uA2 u2A1 0 由 u2 u 1 得 A3 A1 A2 A1 u 这说明 A1A2A3为正三角形 三 基础训练题 1 满足 2x2 5x 2 y2 y 2 i 0 的有序实数对 x y 有 组 2 若 z C 且 z2 8 6i 且 z3 16z z 100 3 复数 z 满足 z 5 且 3 4i z 是纯虚数 则 z 4 已知 则 1 z z2 z1992 i z 31 2 5 设复数 z 使得的一个辐角的绝对值为 则 z 辐角主值的取值范围是 2 1 z z 6 6 设 z w C 1 则关于 z 的方程 z w 的解为 z z 7 设 0 xc2是 a2 b2 c2 0 成立的 条件 10 已知关于 x 的实系数方程 x2 2x 2 0 和 x2 2mx 1 0 的四个不同的根在复平面上对应的点 共圆 则 m 取值的集合是 11 二次方程 ax2 x 1 0 的两根的模都小于 2 求实数 a 的取值范围 12 复平面上定点 Z0 动点 Z1对应的复数分别为 z0 z1 其中 z0 0 且满足方程 z1 z0 z1 另一个动点 Z 对应的复数 z 满足 z1 z 1 求点 Z 的轨迹 并指出它在复平面 上的形状和位置 13 N 个复数 z1 z2 zn成等比数列 其中 z1 1 公比为 q q 1 且 q 1 复数 用心 爱心 专心 6 w1 w2 wn满足条件 wk zk h 其中 k 1 2 n h 为已知实数 求证 复平面内表示 k z 1 w1 w2 wn的点 p1 p2 pn都在一个焦距为 4 的椭圆上 四 高考水平训练题 1 复数 z 和 cos isin 对应的点关于直线 iz 1 z i 对称 则 z 2 设复数 z 满足 z z 2 i 那么 z 3 有一个人在草原上漫步 开始时从 O 出发 向东行走 每走 1 千米后 便向左转角度 6 他走过 n 千米后 首次回到原出发点 则 n 4 若 则 z 12 102 1 31 34 i ii z 5 若 ak 0 k 1 2 n 并规定 an 1 a1 使不等式恒成立 n k k n k kkkk aaaaa 11 2 11 2 的实数 的最大值为 6 已知点 P 为椭圆上任意一点 以 OP 为边逆时针作正方形 OPQR 则动点 R 的1 59 22 yx 轨迹方程为 7 已知 P 为直线 x y 1 0 上的动点 以 OP 为边作正 OPQ O P Q 按顺时针方向排列 则点 Q 的轨迹方程为 8 已知 z C 则命题 z 是纯虚数 是命题 的 条件 R z z 2 2 1 9 若 n N 且 n 3 则方程 zn 1 zn 1 0 的模为 1 的虚根的个数为 10 设 x2006 x2008 3 2007 a0 a1x a2x2 anxn 则 a3k 2222 54 3 21 0 aa a aa a n kk a aa 22 2313 11 设复数 z1 z2满足 z1 其中 A 0 A C 证明 0 212 zAzAz 1 z1 A z2 A A 2 2 2 1 2 1 Az Az Az Az 12 若 z C 且 z 1 u z4 z3 3z2i z 1 求 u 的最大值和最小值 并求取得最大值 最小值 时的复数 z 用心 爱心 专心 7 13 给定实数 a b c 已知复数 z1 z2 z3满足求 1 1 1 3 3 2 2 1 321 z z z z z z zzz az1 bz2 cz3 的值 三 联赛一试水平训练题 1 已知复数 z 满足则 z 的辐角主值的取值范围是 1 1 2 z z 2 设复数 z cos isin 0 复数 z 1 i z 2在复平面上对应的三个点分别z 是 P Q R 当 P Q R 不共线时 以 PQ PR 为两边的平行四边形第四个顶点为 S 则 S 到 原点距离的最大值为 3 设复平面上单位圆内接正 20 边形的 20 个顶点所对应的复数依次为 z1 z2 z20 则复数 所对应的不同点的个数是 1995 20 1995 2 1995 1 zzz 4 已知复数 z 满足 z 1 则 z iz 1 的最小值为 5 设 z1 w z z2 w z z1 z2对应复平面上的点 A B 点 O 为原点 iw 2 3 2 1 AOB 900 AO BO 则 OAB 面积是 6 设 则 x w x w3 x w7 x w9 的展开式为 5 sin 5 cos iw 7 已知 m 1 i n m n N 则 mn 的最小值是 i 3 8 复平面上 非零复数 z1 z2 在以 i 为圆心 1 为半径的圆