高中数学 数列知识点汇总 新人教A版必修5

1 必修必修 5 5 数列知识点小结数列知识点小结 等差数列 1 证明方法 证明方法 递推关系 定义 1 Nnddaa nn 为常数 等差中项法 11 2 nnn aaa 1 n 判断方法 判断方法 通项公式 qpndnaan 1 1 其中 p q 为常数 前n项和 B Bn nA An n 2 2 d nn na aan S n n 2 1 2 1 1 A B 为常数 2 等差中项等差中项 bAa 成等差数列 A 称为ba与的等差中项 其中ba与为任意实数 A 存在且唯一 2 ba AbaA 的等差中项与为即 3 等差数列性质等差数列性质 1 任两项关系 nm aa mn aa d nmmn 其中nm 2 任两项关系 dmnaa mn 其中nm 3 是递增数列 数列 a 0d n 是递减数列 数列 a 0d n 是常数列数列 a 0d n 4 两和和式项数相同 下标和和相等 则两式相等 如 11 2 nnn aaa 其中 n 1 nnn aaa 2 knknn aaa 2 其中 n k 0 nnn aaa 2 特别若 qpnm aaaaqpnm 则 kqpsnm aaaaaakqpsnm 则 5 nn ba 为项数相同的等差数列 或无穷数列 则 km a km a 2 km a 3 km a 4 成等差数列 其中km 为常数 kan nn bqap 为等差数列 其中qpk 为常数 2 6 前n项和性质 成等差数列 232kkkkk SSSSS n Sn 是等差数列 nn ba 为项数相同的等差数列 或无穷数列 其前 n 项和分别 是 n S n T 则 12 12 n n n n T S b a 12 12 12 12 m n m n Tn Sm b a 处理方法分别设 n S BnAnTn 2 7 设数列 n a是等差数列 且公差为d 若项数为偶数 设共有2n项 则 S偶 S奇nd 1 n n Sa Sa 奇 偶 若项数为奇数 设共有21n 项 则 S奇 S偶 n aa 中 1 Sn Sn 奇 偶 4 4 最值问题 无穷等差数列中 最值问题 无穷等差数列中 1 1 0a 0d 时 n S有最大值 1 0a 0d 时 n S有最小值 n S最值的求法 若已知 n S 可用二次函数最值的求法 nN 若已知 n a 则 n S 最值时n的值 nN 可如下确定 1 0 0 n n a a 或 1 0 0 n n a a 2 1 0a 0d 时 n S有最小值 且为 1 S 1 0a 0d 时 n S有最大值 且为 1 S 注 对于一般数列求最大项 最小项问题可以利用函数的单调性 如 数列 5 4 1 a n n an通项是 求其最大或最小项 或采用 00 0 1 或 nn aa 11 1 1 或 n n a a 期中0 n a 的方法判断数列项的变化规律来完成 如 数列 n n na 11 10 1 a n 通项是 求其最大或最小项 等比数列 1 1 证明方法 证明方法 递推关系 定义 1 Nnqqaa nn 为常数 等比中项法 11 2 nnn aaa 0 1 n an 判断方法 判断方法 通项公式 nnn n qAq q a qaa 1 1 1 其中 A q 为等于 0 的常数 3 前n项和 n n n n q q a q a q qa q qaa S 111 1 1 1111 n q A A A A A 为常数 且1 0 0 qqA 注 1 等比数列中0 n a 0 q 且相间项符号相同 2 既是等差数列又是等比数列的数列一定是非零常数列 前 n 项和 1 naSn 2 2 等比中项等比中项 bGa 成等比数列 G 称为ba与的等比中项 其中有且只有0 ab时 ba 存在等 比中项 一般不唯一 存在互为相反数的两个数 abbaG 2 G的等比中项与为即 3 3 等比数列性质等比数列性质 1 任两项关系 m n mn a a q 其中nm 2 任两项关系 mn mn qaa 其中nm 3 是常数列 数列时 a 1q n 如数列 2 2 2 2 2 是摆动数列 数列时 a 0 n q如数列 1 2 4 8 16 是递减数列时 数列 a 10 0a n1 q 如数列 1 2 1 4 1 8 1 是递增数列时 数列 a 1 0a n1 q 如数列 1 2 4 8 是递增数列时 数列 a 10 0a n1 q 如数列 1 2 1 4 1 8 1 是递减数列时 数列 a 1 0a n1 q 如数列 1 2 4 8 4 两积积式项数相同 下标和和相等 则两式相等 如 11 2 nnn aaa 其中 n 1 nnn aaa 2 knknn aaa 2 其中 n k 0 nnn aaa 2 特别若 lpnm aaaalpnm 则 4 klpsnm aaaaaaklpsnm 则 5 nn ba 为项数相同的等比数列 或无穷数列 则 km a km a 2 km a 3 km a 4 成等比数列 其中km 为常数 lg n a 其中0 n a 为等差数列 n ak nn ba n a 1 n n b a n a n a 其中0 n a 为等 比数列 其中k为常数 6 前n项和性质 232kkkkk SSSSS 成等比数列 其中 k 为常数且0 k S 7 k aaaA 21 kkk aaaB 221 32212kkk aaaC 则 A B C 成等比数列 典型方法 1 累加法 迭加法 若已知数列 an 满足 n a a n1 n f 且 2 1 nfff 可 求 则可用该方法求数列的通项如 如 数列1 1 2 1 a 11n anaa n nn 且满足 求 该数列通项 2 累积法 迭乘法 若已知数列 an 满足 n a a n 1 n f 且 2 1 nfff 可求 则 可用该方法求数列的通项 如 数列 2 1 2 a 1 1 n an a a n n n 满足 求该数列通项 3 迭代法 如 数列1 1 12 a 11n anaa nn 且满足 求 100 a 4 倒序相加法 如 数列 891 sin a 2 n nnan 通项公式 求该数列前 89 项和 89 S 5 错位相减法 适合由项数相同的等差和等比数列对应项相乘得到的新数列求和问题 如 数列 2 a n n n na 通项公式 求该数列前 n 项和 n S 6 分组求和 把一个数列分成几个可以直接求和的数列 如 数列 132 a n na n n 通项 求该数列前 n 项和 n S 7 拆 或裂 项相消法 把一个数列的通项公式分成两项差的形式 相加过程消去中间项 只剩有限 项再求和 一般规律有 n a为等差数列 其公差为 d 求数列 1 1 n a n a 的前 n 项和 提示 5 11 11 11 nnnn aadaa 如 数列 1 1 a n nn an通项 求该数列前 n 项和 n S 8 并项求和 把一个数列相邻几项依次组合构成特殊的数列 达到求和的目的 但一般要注意讨 论 如