高中数学论文浅谈特例法在解题中的妙用

用心 爱心 专心 特例法的妙用特例法的妙用 如果你认真研究近几年的高考数学题 你将会发现有些选择题 须用特例法求解 所 谓特例法 通俗来说就是一般的满足 特殊的也满足 即在一般情况下 可用特殊的情形 来代替一般情形 具体来说就是用特殊的值 向量 点 数列 函数 位置 图形来代替 一般的值 向量 点 数列 函数 位置 图形 从而达到快速解题的目的 下面我就高 考题把特例法做一总结 希望对你有所帮助 一 特殊值法 例 1 设 且 则1a 2 log 1 a ma log 1 a na log 2 a pa 的大小关系为 mnp nmp mpn mnp pmn 解析 取 a 2 得答案 B 评注 所选取的特例要符合题设条件 且越简单越好 例 2 若 则下列命题中正确的是 0 2 x 3 sin xx 3 sin xx 2 2 4 sin xx 2 2 4 sin xx 解析 取 排除 A B C 得 D 6 x 评注 一般情况下 特例法与排除法结合起来使用 例 3 如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值 则 111 ABC 222 A B C A 和都是锐角三角形 111 ABC 222 A B C B 和都是钝角三角形 111 ABC 222 A B C C 是钝角三角形 是锐角三角形 111 ABC 222 A B C D 是锐角三角形 是钝角三角形 111 ABC 222 A B C 解析 三角形中角的正弦值均为正 的三内角的余弦值也为正 111 ABC 是锐角三角形 111 ABC 取 111 5 4312 ABC 得所以选 D 222 3 4612 ABC 评注 所取的特例必须是我们非常熟悉的 越简单越好 用心 爱心 专心 例 4 直线与曲线 的公共点的个数为2yk 2222 918k xykx kR 且k0 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 不妨取 k 1 将代入得 2y 22 918xyx 2 9418xx 显然该关于的方程有两正解 即有四解 2 9 1840 xx xx 所以交点有 4 个 故选择答案 D 评注 任意不等于 0 的 k 都满足 k 取 1 当然满足 不要担心做错题 例 5 已知函数 f x ax2 2ax 4 0 a 3 若 x1 x2 x1 x2 1 a 则 A f x1 f x2 D f x1 与 f x2 的大小不能确定 解析 取 a 1 得函数 f x x2 2x 4 二次函数的图象开口向上 对称轴为 1x x1 x2 0 x2到对称轴的距离大于 x1到对称轴的距离 f x1 f x2 选 A 评注 0 a 3 中的任何一个值都满足题设 a 1 也满足 例 6 若数列满足 且对任意正整数都有 则 n a 3 1 1 anm m nmn aaa 12 lim n n aaa A B C D 2 1 3 2 2 3 2 解析 数列满足 且对任意正整数都有 所以 n a 3 1 1 anm nmnm aaa 数列是首项为 公比为的等比数 21 111 1 9 aaa a 11 1 3 nnn aaaa n a 3 1 3 1 列 选 A lim 21n n aaa 1 1 12 a q 评注 任意正整数都有 取 m 1 又未尝不可 nm nmnm aaa 二 特殊向量法 例 1 如图 已知正六边形 下列向量的数量积中最大的是 123456 PP PP PP A B 1213 PPPP 1214 PPPP C D 1215 PPPP 1216 PPPP 解析 如图 不妨设正六边形边长为 1 1a 123456 PP PP PP 根据正六边形的性质 得答案为 A 评注 特例越简单越好 越方便越好 1 P 2 P 6 P 3 P 4 P5 P 用心 爱心 专心 例 2 设平面向量 的和 如果向量 满足 1 a 2 a 3 a 123 0aaa 1 b 2 b 3 b 且顺时针旋转后与同向 其中 则 2 ii ba i a 30o i b 1 2 3i A B 123 0bbb 123 0bbb C D 123 0bbb 123 0bbb 解析 不妨取 且起点在原点 在轴正 123 0aaa 123 1aaa 1 a x 半轴上 则向量 顺时针旋转后与 同向 且 2 1 a 2 a 3 a 30 1 b 2 b 3 b 2 ii ba 选 D 123 0bbb 评注 一般问题特殊化 不会失去一般性 三 特殊点法 例 1 函数 的反函数是 1yx 04x A B 2 1 yx 13x 2 1 yx 04x C D 2 1yx 13x 2 1yx 04x 解析 原函数经过 4 3 点 它的反函数经过 3 4 点 排除 C D 再根据原函数 是增函数 得值域为 故反函数的定义域为 选 A 13 13 评注 最快最简单的方法就是最好的方法 例 2 设 F 为抛物线 y2 4x 的焦点 A B C 为该抛物线上三点 若 则 FA FB FC FAFBFC 0 A 9 B 6 C 4 D 3 解析 不妨取 A 0 0 1 0F 焦点 则 即 1 做平行四边形 FCDB 1 0 FBFC FD 抛物线关于 x 轴对称 FB FC 即 FCDB 为菱形 FD BC 即 B C 两点的横坐标均为 得 FA FB FC 1 5 6 故选 B 评注 此题若分析出点 F 为 ABC 的重心 则解法就更简单了 若分析不出 此法 也不错 四 特殊数列法 例 1 如果数列是等差数列 则 n a F B C D y2 4x A Y X 用心 爱心 专心 A B 1 a 8 a 4 a 5 a 1 a 8 a 4 a 5 a C D 1 a 8 a 4 a 5 a 1 a 8 a 4 a 5 a 解析 取 得答案为 B 五 特殊函数法 例 1 定义在上的函数既是奇函数 又是周期函数 是它的一个正周R f xT 期 若将方程在闭区间上的根的个数记为 则可能为 0f x TT nn 0 1 3 5 解析 联想满足题设的函数 我们取则答案为 D sin f xx 评注 千万别担心 你的特例太简单了 会把题做错 只要满足题意 越简单越好 例 2 设是 R 上的任意函数 则下列叙述正确的是 f x A 是奇函数 B 是奇函数 f x fx f xfx C 是偶函数 D 是偶函数 f xfx f xfx 解析 取 排除 A C 再取 排除 B 故选择答案 D f xx 2 f xx 评注 取特例取我们最熟悉的 这样有利于解题 例 3 设函数是上以 5 为周期的可导偶函数 则曲线在处的切 f xR yf x 5x 线的斜率为 1 5 0 1 5 5 解析 联想满足题设的函数 我们取则答案为 B 2 cos 5 f xx 评注 以 5 为周期的可导偶函数 你不得不想到三角函数 例 4 设函数为奇函数 Rxxf 1 1 2 f 则 2 2 f xf xf 5 f A 0 B 1 C D 5 2 5 解析 根据题意 联系我们学过的所有函数 只有一次函数满足f x kx 题设 得 得 故选 C 1 1 1 2 fk 1 2 k 1 2 f xx 5 5 2 f 评注 很多抽象函数都以我们学过的函数为模型 同学们可以认真体会与总结 用心 爱心 专心 例 5 对于 R 上可导的任意函数 f x 若满足 x 1 0 则必有 fx A f 0 f 2 2f 1 B f 0 f 2 2f 1 C f 0 f 2 2f 1 D f 0 f 2 2f 1 解析 依题意 当 x 1 时 f x 0 函数 f x 在 1 上是增函数 当 x 1 时 f x 0 f x 在 1 上是减函数 故 f x 当 x 1 时取得最小值 联想 我们学过的函数 取 排除 A B 再想若为常值函数也满足题意 故 2 1f xx f x 选 C 评注 当取一个特例不能排除所有的错误项 且剩余项还十分相近时 应全面考虑 做到不重复也不遗漏 六 特殊位置法 例 1 设三棱柱的体积为 分别是侧棱 上的点 且 111 ABCABC VPQ 1 AA 1 CC 则四棱锥的体积为 1 PAQC BAPQC A B C D 1 6 V 1 4 V 1 3V 1 2 V 解析 不妨取正三棱锥且满足 1 PAQC 不妨取 0 1 PAQC 此时 11 3 B APQCB AC CCABC V VVV 评注 满足题意的点 P 和 Q 有无穷多个 特殊位置也不止一个 比如 P 和 Q 都取中点 也能得到答案 但过程较繁 取 0 使得 P 与 A 重合 Q 与 重合 特例推 1 PAQC 1 C 到极限情形 问题就相当简单了 故特例只要满足题意 越简单越好 例 2 已知球的半径为 2 相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆 若两圆的公共弦 长为 2 则两圆的圆心距等于 A 1 B C D 223 解析 如右图 不妨设其中一个面过球心 则圆心距 22 213 评注 高考题不怕你做不到 就怕你想不到 七 特殊图形法 例 1 给定函数的图象在下列图中 并且对任意 由关系式 xfy 1 0 1 a P Q P B A o B O 用心 爱心 专心 得到的数列满足 则该函数的图象是 1nn afa n a 1 Nnaa nn A B C D 解析 1 nnnn aaf aa 即 则若 0 1 xf xx 有 根据函数与不等式之间的关系得 的函数图像应在的上方 yf x yx 答