江苏省东台市2013届高三数学上学期期中考试试题苏教版

用心 爱心 专心 东台市安丰中学东台市安丰中学 20122012 20132013 学年度第一学期学年度第一学期 高三数学期中试卷高三数学期中试卷 第 第 卷 卷 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 1414 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 7070 分 不需写出解答过程 请把答案直分 不需写出解答过程 请把答案直 接填写在答题纸相应位置上 接填写在答题纸相应位置上 1 600cos 2 设集合 32 Mmm Z 13 NnnMN Z 则 3 若将复数 2 12 i i 表示为 abi a bR i是虚数单位 的形式 则ab 4 已知函数f x 2 0 1 0 x x xx 若f a f 1 0 则实数a的值等于 5 函数 f xlnxx 2单调递减区间是 6 已知 则 3 cos 45 2 cos 7 已知 a 3 b 4 a b a 3b 33 则a 与b 的夹角为 8 等比数列 的前项和为 已知成等差数列 则等比数列 的公比 n an n S 123 2 3SSS n a 为 9 已知函数 则函数在区间上的值 2 1 3sincoscos 2 f xxxxxR f x 0 4 域为 10 函数的图像与函数2sin 24 yxx 的图像所有交点的横坐标之1 1 x x y 和等于 11 定义在 4 4 上的偶函数 f x 在区间 0 4 上单调递减 若 则实 1 mfmf 数的取值范围是 m 12 已知存在实数a 满足对任意的实数b 直线yxb 都不是曲线 3 3yxax 的切线 则实数a的取值范围是 13 已知函数f x ax2 bx 与直线y x相切于点A 1 1 若对任意x 1 9 不等 1 4 式f x t x恒成立 则所有满足条件的实数t的值为 14 函数 f x的定义域为D 若满足 f x在D内是单调函数 存在 a bD 使 f x在 a b上的值域为 b a 那么 yf x 叫做对称函数 现有 2f xxk 是对 称函数 那么k的取值范围是 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 9090 分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出必要分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出必要 的文字说明 证明过程或演算步骤 的文字说明 证明过程或演算步骤 15 本题满分 14 分 已知且 0 2 5 sin 13 1 tan 22 1 求的值 cos 用心 爱心 专心 2 证明 5 1 cos 16 本题满分 14 分 如图 空间几何体ABCDEF中 四边形ABCD是菱形 直角梯形 ADFE所在平面与面ABCD垂直 且AE AD EF AD 其中P Q分别为棱BE DF的中 点 1 求证 BD CE 2 求证 PQ 平面ABCD 17 本题满分 14 分 设等差数列的前项和为且 n an n S 5133 349aaS 1 求数列的通项公式及前项和公式 n an 2 设数列的通项公式为 问 是否存在正整数t 使得 n b n n n a b at 12m bbb A BC D EF P Q 用心 爱心 专心 成等差数列 若存在 求出t和m的值 若不存在 请说明理由 3 mm N 18 本题满分 16 分 已知椭圆E 的左顶点为A 左 右焦点分别 22 22 1 0 xy ab ab 为F1 F2 且圆C 过A F2两点 22 3360 xyxy 1 求椭圆E的方程 2 设直线PF2的倾斜角为 直线PF1的倾斜角为 当 时 证明 2 3 点 P在一定圆上 3 直线 BC 过坐标原点 与椭圆 E 相交于 B C 点 Q 为椭圆 E 上的一点 若直线 QB QC 的斜率存在且不为 0 求证 为定植 QCQB kk QCQB kk 19 本题满分 16 分 如图一块长方形区域ABCD AD 2 AB 1 在边kmkm AD的中点O处 有一个可转动的探照灯 其照射角 EOF始终为 设 AOE 探 4 照灯O照射在长方形ABCD内部区域的面积为S 1 当 0 时 写出S关于 的函数表达式 2 2 当 0 时 求S的最大值 4 用心 爱心 专心 3 若探照灯每 9 分钟旋转 一个来回 OE自OA转到OC 再回到OA 称 一个来回 忽略OE在OA及OC反向旋转时所用时间 且转动的角速度大小一定 设AB边上有 一点G 且 AOG 求点G在 一个来回 中 被照到的时间 6 20 本题满分 16 分 已知函数 1 ln x f x x 1 若函数 f x在区间 1 a a 上有极值 求实数a的取值范围 2 若关于x的方程 2 2f xxxk 有实数解 求实数k的取值范围 3 当 nN 2n 时 求证 111 2 231 nf n n 数学 理科附加题 满分满分 4040 分 考试时间分 考试时间 3030 分钟分钟 2121 选做题选做题 在在 A A B B C C D D 四小题中只能选做四小题中只能选做 2 2 题 每小题题 每小题 1010 分 共计分 共计 2020 分 分 解答应解答应 写出文字说明 证明过程或演算步骤 写出文字说明 证明过程或演算步骤 A A 选修 选修 4 4 1 1 几何证明选讲几何证明选讲 已知 ABC 中 ACAB D是ABC 外接圆劣弧 AC上 的点 不与点CA 重合 延长BD至E G F E D C B A O 第 19 题 用心 爱心 专心 求证 AD的延长线平分CDE B B 选修 选修 4 4 2 2 矩阵与变换矩阵与变换 已知矩阵 41 ba A 若矩阵A A属于特征值 1 的一个特征向量为 1 1 3 属于特 征值 5 的一个特征向量为 2 1 1 求矩阵A A 并写出A A的逆矩阵 C C 选修 选修 4 4 4 4 参数方程与极坐标参数方程与极坐标 在极坐标系 02 中 求曲线2sin 与cos1 的交点Q的极坐标 D D 选修 选修 4 4 5 5 不等式证明选讲不等式证明选讲 设cba 均为正数 证明 cba a c c b b a 222 必做题必做题 第第 2222 题 第题 第 2323 题 每题题 每题 1010 分 共计分 共计 2020 分 分 解答应写出文字说明 证明过程解答应写出文字说明 证明过程 或演算步骤 或演算步骤 22 已知函数 f x k 0 x 2 k xke 1 求 f x 的单调区间 用心 爱心 专心 2 若对于任意的 x 0 都有 f x 求 k 的取值范围 1 e 23 在平面直角坐标系xoy中 已知焦点为F的抛物线yx4 2 上有两个动点A B 且 满足FBAF 过A B两点分别作抛物线的切线 设两切线的交点为 1 求 OA OB的值 2 证明 ABFM 为定值 用心 爱心 专心 20122012 20132013 学年度第一学期高三数学期中试卷学年度第一学期高三数学期中试卷 卷参考答案卷参考答案 一 填空题 1 2 3 1 4 5 0 2 6 7 120 2 1 1 0 1 3 10 2 8 9 10 4 11 12 a 1 3 13 4 14 1 3 2 3 2 1 2 1 3 4 9 2 二 解答题 15 解 1 2 tan1 2 tan1 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 coscos 2 2 22 22 22 6 分 5 3 4 1 1 4 1 1 2 易得 3 22 又 5 sin 13 所以 12 cos 13 8 分 由 1 可得 4 sin 5 所以 14 分 5 1 65 16 cos cos 16 用心 爱心 专心 17 解 1 设等差数列的公差为d 由已知得 2 分 n a 513 2 34 39 aa a 即解得 4 分 1 1 817 3 ad ad 1 1 2 a d 故 6 分 2 21 nn anSn 2 由 1 知 要使成等差数列 必须 即 21 21 n n b nt 12m bbb 21 2 m bbb 8 分 整理得 11 分 3121 2 3121 m ttmt 4 3 1 m t 因为m t为正整数 所以t只能取 2 3 5 当时 当时 2t 7m 3t 5m 当时 5t 4m 故存在正整数t 使得成等差数列 14 分 12m bbb 18 解 1 圆与x轴交点坐标为 22 3360 xyxy 2 3 0 A 2 3 0 F 故 所以 椭圆方程是 4 分2 3 3ac 3b 22 1 129 xy 2 设点 P x y 因为 0 0 1 F 3 2 F 3 设点 P x y 则 tan tan 1 PF k 2 PF k 因为 所以 tan 2 33 因为 tan tan tan 1 tan tan 所以 化简得x2 y2 2y 3 3 所以点P在定圆x2 y2 2y 3 上 10 分 3 16 分 QCQB kk 4 3 19 解 1 过O作OH BC H为垂足 当 0 时 E在边AB上 F在线段BH上 如图 4 此时 AE FH 2 分tan tan 4 S S正方形OABH S OAE S OHF 2 分 11 1tantan 224 当 时 E在线段BH上 F在线段CH上 如图 4 2 此时 EH FH 4 分 1 tan 1 3 tan 4 EF 11 3 tan tan 4 H OA B C D E F G 图 用心 爱心 专心 S S OEF 111 3 2 tan tan 4 综上所述 6 分 11 1tantan 0 2244 111 3 2 tan42 tan 4 S 2 当 0 时 S 即S 8 分 4 11 1tantan 224 12 2 1tan 21tan 0 0 1 即 1 1 2 2 4 tan tan 2 1tan 1tan 2 S 2 当 1 时 S取得最大值为 2 10 分2tan 22 3 在 一个来回 中 OE共转了 2 3 4 3 2 其中点G被照到时 共转了 2 6 3 则 一个来回 中 点G被照到的时间为 分钟 16 分 3 92 3 2 20 解 1 1 ln x f x x 22 1 1 ln ln xx x x fx xx 当 0 1 x 时 0fx 当 1 x 时 0fx 函数 f x在区间 0 1 上为增函数 在区间 1 为减函数 3 分 当1x 时 函数 f x取得极大值 而函数 f x在区间 1 a a 有极值 1 11 a a 解得01a 5 分 2 由 1 得 f x的极大值为 1 1f 令 2 2g xxxk 所以当1x 时 函数 g x取得最小值 1 1gk 又因为方程 2 2f xxxk 有实数解 那么1 1k 即2k 所以实数k的取值范围是 2k 10 分 用心 爱心 专心 另解 2 2f xxxk 2 1 ln 2 x kxx x 令 h x 2 1 ln 2 x xx x 所以 h x 2 ln x x 22x 当1x 时 0h x 当 0 1 x 时 0h x 当 1 x 时 0h x 当1x 时 函数 h x取得极大值为 1 2h 当方程 2 2f xxxk 有实数解时 2k 3 函数 f x在区间 1 为减函数 而 1 11 2 nNn n 1 1 1 1ff n 11 1 ln 1 1 nn 即 1 ln 1 lnnn n lnln2ln1 ln3ln2lnln 1 nnn 111 1 231n 12 分 即 111 1 ln2 231 n n 而 1 lnn f nn 111 2 231 nf n n 结论成立 16 分 11 卷附加题参考答案及评分标准卷附加题参考答案及评分标准 A A 选修 选修 4 4 1 1 几何证明选讲几何证明选讲 解 设F为AD延长线上一点 DCBA 四点共圆 CDFABC 3 分 又ACAB ACBABC 5 分 且ACBADB CDFADB 7 分 对顶角ADBEDF 故CDFEDF 即AD的延长线平分CDE 10 分 B B 选修 选修 4 4 2 2 矩阵与变换矩阵与变换 解解 由矩阵A A属于特征值 1 的一个特征向量为 1 1 3 可得 41 ba 1 3 1 3 即33 ba 3 分 由矩阵A A属于特征值 5 的一个特征向量为 2 可得 41 ba 1 1 5 1 1 1 1 即5 ba 6 分 解得 3 2 b a 即A A 4 3 1 2 7 分 A 的逆矩阵是 5 2 5 3 5 1 5 4 10 分 C C 选修 选修 4 4 4 4 参数方程与极坐标参数方程与极坐标 解 以极点为坐标原点 极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系 则曲线2sin 可化为 xy 22 11 12 曲线cos1 化为 x 1 6 分 由 xy x 22 11 1 可得交点坐标 1 1 所以交点 Q 的极坐标是 2 4 10 分 D D 选修 选修 4 4 5 5 不等式证明选讲不等式证明选讲 证明 证明 222222 a a c c c b b b a cba a c c b b a 3 分 cba222 9 分 即得cba a c c b b a 222 10 分 另证 利用柯西不等式 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1332211 bbbaaabababa 取abcbbb a c a c b a b a a 321321 代入即证 22 解 1 f x 2 分 x 22 k 1 xke k 令 f x 0 得 x k 因为 k 0 所以 f x 与 f x 的变化情况如下 x k k k k