高中数学教学论文 易错题分类及解析

1 高中数学中的易错题分类及解析高中数学中的易错题分类及解析 关键词 高考 数学 易错题 全文摘要 会而不对 对而不全 严重影响考生成绩 易错题的特征 心理因素 易 错点的隐蔽性 形式多样性 可控性 易错题的分类解析 分为五大类即审题不严 运算失 误 概念模糊 公式记忆不准确 思维不严 每类再分为若干小类 列举高中数学中的典 型易错题进行误解与正解和错因分析 本文既是对高考中的易错题目的分类解析 同时又是 第一轮复习中的一本易错题集 下表是易错题分类表 正 文 数学学 习的过程 从本质上说 是一种认识 过程 其间 包含了一系 列复杂的心 理活动 从 数学学习的 认知结构上 讲 数学学 习的过程就 是学生头脑里的数学知识按照他自己理解的深度与广度 结合自己的感觉 知觉 记忆 思维与联想 组合成的一个整体结构 所以 数学中有许多题目 求解的思路并不繁杂 但 解题时 由于读题不仔细 或者对某些知识点的理解不透彻 或者运算过程中没有注意转 化的等价性 或者忽略了对某些特殊情形的讨论 等等原因 都会导致错误的出现 会 而不对 对而不全 一直以来都是严重影响考生数学成绩的重要因素 一 易错题的典型特征 解题出错是数学答题过程中的正常现象 它既与数学学习环境有关 又与试题的难易 程度有关 同时也与考生的数学水平 身体与心理状况有关 1 考生自我心理素质 数学认知结构是数学知识的逻辑结构与学生的心理结构相互作用 的产物 而数学解题是考生主体感受并处理数学信息的创造性的心理过程 部分考生题意尚 未明确 加之考试求胜心切 仅凭经验盲目做题 以至于出现主观认识错误或陷入主观思 维定势 造成主观盲动性错误和解题思维障碍 2 2 易错点的隐蔽性 数学知识的逻辑结构是由数学知识之间的内在的联系联结而成的整 体 而其心理结构是指智力因素及其结构 即观察力 记忆力 想象力 注意力和思维力 等五个因素组成 数学解题是考生借助特定 数学语言 进行数学思维的过程 在这个过 程中考生的数学知识结构和数学思维习惯起着决定性的作用 个体思维的跳跃性是产生思 维漏洞的根本原因 这种思维漏洞一旦产生 考生自己是很难发现的 因此易错点的隐蔽 性很强 3 易错点形式多样性 根据数学学习的一般过程及数学认知结构的特点 数学易错点一 般有知识性错误和心理性错误两种等形式 而知识性错误主要包括数学概念的理解不透彻 数学公式记忆不准确两方面 心理性错误包括审题不严 运算失误 数学思维不严谨等 4 易错题的可控性 学生的认识结构有其个性特点 在知识总量大体相当的情况下 有的 学生对知识不仅理解深刻 而且组织得很有条理 便于储存与撮 相反 有的学生不仅对 知识理解肤浅 而且支离破碎 杂乱无章 这就不利于储存 也不容易提取 在学生形成 了一定的数学认知结构后 一旦遇到新的信息 就会利用相应的认知结构对新信息进行处 理和加工 随着认识活动的进行 学生的认知结构不断分化和重组 并逐渐变得更加精确 和完善 所谓 吃一堑长一智 只要我们在容易出错的地方提高警戒意识 建立建全解 题的 警戒点 养成严谨的数学思维好习惯 易错点就会逐渐减少 二 易错题的分类解析 1 数学概念的理解不透 数学概念所能反映的数学对象的属性 不仅是不分精粗的笼统的属性 它已经是抓住 了数学对象的根本的 最重要的本质属性 每一个概念都有一定的外延与内涵 而平时学习 中对概念本质的不透彻 对其外延与内涵的掌握不准确 都会在解题中反映出来 导致解 题出错 例 1 若不等式 ax x a 0 的解集为 则实数 a 的取值范围 2 A a 或 a B a C a D a 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 错解 选 A 由题意 方程 ax x a 0 的根的判别式 a 或 22 01 40a 2 1 a 所以选 A 2 1 错因分析 对一元二次不等式与二次函数的图象之间的关系还不能掌握 忽视了开口方 向对题目的影响 正确解析 D 不等式 ax x a 0 的解集为 若 a 0 则不等式为 x0 且 2 01 401 20 a a a 例 2 命题 若 ABC 有一内角为 则 ABC 的三内角成等差数列 的逆命题是 3 A 与原命题真值相异 B 与原命题的否命题真值相异 C 与原命题的逆否命题的真值不同 D 与原命题真值相同 错解 选 A 因为原命题正确 其逆命题不正确 3 错因分析 本题容易出现的错误是对几个概念的理解失误 逆命题 将原命题的题设 和结论交换 否命题 将原命题的题设和结论同时否定 逆否命题 将原命题的题设 和结论交换后再同时否定 原命题与逆命题 否命题与逆命题是两对互为逆否的命题 互 为逆否的命题是等价的 正确解析 选 D 显然 原命题正确 其逆命题为 若 ABC 的三内角成等差数列 则 ABC 有一内角为 也正确 所以选 D 3 例 3 判断函数 f x x 1 的奇偶性为 x x 1 1 错解 偶函数 f x 所以 2 2 1 1 1 1 1 1 1 11 xx x xxxx xx 所以 f x 为偶函数 22 1 1 fxxxf x 错因分析 上述解法有两个错误 1 未考虑函数的定义域 2 x 10 等及圆锥曲线有界 性等 8 例 14 方程的解集为 11 22 log 95 log 32 20 xx 错解 1111 22222 log 95 log 32 20log 95 log 32 log 40 xxxx 111111 22 log 95 log 4 32 954 32 31 33 0 xxxxxx 或所以 x 1 或 x 2 所以解集为 1 2 1 310 x 1 330 x 错因分析 产生了增根 x 1 实际上当时 0 b 0 a b 1 求 a 2 b 2的最小值 1 a 1 b 错解 a 2 b 2 a2 b2 4 2ab 4 4 4 8 a 1 b 1 2 1 a 2 1 bab 2 ab ab 1 a 2 b 2的最小值是 8 a 1 b 1 错因分析 上面的解答中 两次用到了基本不等式 a2 b2 2ab 第一次等号成立的条件 是 a b 第二次等号成立的条件是 ab 显然 这两个条件是不能同时成立的 因此 2 1 ab 1 8 不是最小值 正确解析 原式 a2 b2 4 a2 b2 4 a b 2 2ab 2 1 a 2 1 b 2 1 a 2 1 ba 1 b 1 4 1 2ab 1 4 由 ab 2 得 1 2ab 1 且 ab 2 22 1 ba2 ba 4 1 2 1 2 1 16 1 17 原式 17 4 当且仅当 a b 时 等号成立 22 1 ba 22 1 ba2 1 2 25 2 1 a 2 b 2的最小值是 a 1 b 1 25 2 例 24 已知两正数 x y 满足 x y 1 则 z 的最小值为 11 xy xy 错解一 因为对 a 0 恒有 从而 z 4 所以 z 的最小值是 4 1 2a a 11 xy xy 错解二 所以 z 的最小 22 2222 22 x yxy zxyxy xyxyxy 22 21 值是 2 21 错因分析 解法一中 等号成立的条件是相 11 11 1xyxyxy xy 且即且与 14 矛盾 解法二中 等号成立的条件是 与相矛盾 2 2xyxy xy 即 1 0 4 xy 正解 z 11 xy xy 1yx xy xyxy 2 1 22 2 xyxy xyxy xyxyxy 令 t xy 则 由在上单调递减 故当 t 时 2 1 0 24 xy txy 2 f tt t 1 0 4 1 4 有最小值 所以当时 z 有最小值 2 f tt t 33 4 1 2 xy 33 4 2 以偏概全 重视一般性而忽视特殊情况 以偏概全是指思考不全面 遗漏特殊情况 致使解答不完全 不能给出问题的全部答 案 从而表现出思维的不严密性 例 25 1 不等式 x 1 2x 1 0 的解集为 2 函数的定义域为 1 1 x y x 解析 1 错解 因为 x 1 0 恒成立 所以原不等式转化为 2x 10 所以 1 2 1 2 x 错因分析 忽略了当 x 1 时 x 1 0 原不等式也成立 即 x 1 为不等式的解 正确解析 原不等式等价于 x 1 0 或 2x 10 所以解集为 1 2 1 1 1 2 x 2 错解 或 1 0 1 1 01 1 x xxx x 1x 错因分析 两个错误 一是解分式不等式 方程 时未考虑分母不能为 0 二是解二次 不等式时没有把二次项系数变为正再考虑两根之外或两根之间 从而导致解集出错 正解 1 1 0 1 1 01 011 1011 xxx xx x xxx 例 26 过点 0 1 作直线 使它与抛物线仅有一个公共点 这样的直线有 xy4 2 A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 0 条 错解 设直线的方程为 联立 得 1 kxy 1 4 2 kxy xy xkx41 2 即 再由 0 得 k 1 得答案 A 01 42 22 xkxk 15 错因分析 本题的解法有两个问题 一是将斜率不存在的情况考虑漏掉了 另外又将斜 率 k 0 的情形丢掉了 故本题应有三解 即直线有三条 正确解析 C 由上述分析 y 轴本身即为一切线 满足题意 解方程 时 若 k 0 即直线 y 1 也与抛物线仅有一个公共点 01 42 22 xkxkxy4 2 又 k 1 时也合题意 所以有三条直线合题意 选 C 3 解题时忽视等价性变形导致出错 例 27 1 已知 f x ax 若求的范围 b x 6 2 3 0 1 3 ff 3 f 2 已知集合 且 求实数 1 axxA 0 3 30 2 x xx xB BA 的取值范围 a 解析 1 错解 由条件得 6 2 23 03 b a ba 由 2 156 a 2 得 3 2 33 8 b 得 3 43 3 3 10 3 43 3 3 3 10 f b a即 错因分析 采用这种解法 忽视了这样一个事实 作为满足条件的函数 f x ax 其值是同时受制约的 当取最大 小 值时 不一定取最大 小 值 因而 b x ba和ab 整个解题思路是错误的 正确解析 由题意有 解得 2 2 2 1 b af baf 2 1 2 3 2 1 2 2 3 1 ffbffa 把和的范围代入得 1 9 5 2 9 16 3 3 3 ff b af 1 f 2 f 3 37 3 3 16 f 2 错解 由题意 A 11axa B 或 后面略 2 30 0 6 5 3 0 6 3 xx xxxx x x 53 x 错因分析 求集合 B 时 未考虑分式不等式中分母为零这一条件 若 B 中不等式为 或形式而不是或则不需要考虑此问题 0f x 0f x 0f x 0f x 正确解析 由题意 A 11 x axa 16 B 或 2 6 5 3 0 30 0 6 303 xxx xx x x xx 53 x 由则 BA 6 4 5 a 例 28 已知数列的前项和 求 n an12 n n S n a 错解 222 12 12 111 1 nnnnn nnn SSa 错因分析 显然 当时 不满足上述公式 1 n123 11 11 Sa 没有注意公式成立的条件是 n 1 nnn SSa2 正确解析 当时 n时 1 n 11 3aS 2 所以 111 1 21 21 222 nnnnn nnn aSS 1 3 1 2 2 n n n a n 例 29 实数为何值时 圆与抛物线有两个公共点 a012 222 aaxyxxy 2 1 2 错解 将圆与抛物线 联立 消去 012 222 aaxyxxy 2 1 2 y 得 0 01 2 1 2 22 xaxax 因为有两个公共点 所以方程 有两个相等正根 得 解之得 0 1 0 2 1 2 0 2 a a 8 17 a 错因分析 如下图 1 2 显然 当时 圆与抛物线有两个公共点 0 a 正 确解析 要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程 有一正根 一负根 或有两个相 x y O 图图1 x y O 图图2 17 等正根 当方程 有一正根 一负根时 得解之 得 0 1 0 2 a 1 1 a 因此 当或时 圆与抛物线有两 8 17 a11 a012 222 aaxyxxy 2 1 2 个公共点 例 30 1 设等比数列的全项和为 若 求数列的公比 n an n S 963 2SSS q 错解 2 963 SSS q qa q qa q qa 1 1 2 1 1 1 1 9 1 6 1 3 1 0 12 363 整理得 qqq 1q 2 4 q 0 1q 1q2 0 1qq20q 3 3336 不不不不不 错因分析 在错解中 由 q qa q qa q qa 1 1 2 1 1 1 1 9 1 6 1 3 1 时 应有 01qq2 q 363 不不不不不 1q0a1 不 在等比数列中 是显然的 但公比 q 完全可能为 1 因此 在解题时应先讨论0 1 a 公比的情况 再在的情况下 对式子进行整理变形 1 q1 q 正确解析 若 则有但 即得1 q 9 6 3 191613 aSaSaS 0 1 a 与题设矛盾 故 2 963 SSS 1 q 又依题意 963 S2SS q qa q qa q qa 1 1 2 1 1 1 1 9 1 6 1 3 1 即因为 所以所以01qq2 q 363 不不 0 1 12 33 qq1 q 01 3 q 解得 0 12 3 q 2 4 3 q 点评 本题为 1996 年全国高考文科试题 不少考生的解法与错误解法相同 根据评分标 准而痛失 2 分 4 空间识图不准 数学运算能力包括空间想象能力 空间想象能力是指能根据条件作出正确的图形 根据 图形想象出直观形象 能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系 能对图形进行分解 18 组合与变换 会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质 对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种 是空间想象能力高层次的标志 而 空间识图不准导致的立何几何题目出错情况很多 例 31 直二面角 的棱 上有一点 A 在平面 内各有一条射线 AB AC 与ll 成 450 AB 则 BAC l AC 错解 如右图 由最小角定理 12 221 coscoscos 2223 BACBAC 错因分析 错解中忽视了 AC 的另一位置 OD 此时 2 3 BAD 正确解析 或 如下图 当时 由最小角定理 3 2 3 6 CAF 当 AC 在另 12 221 coscoscos 2223 BACBAC 一边 DA 位置时 2 3 BAC 5 推理方向的盲目性 根据题的已知条件及所求的特征 有时直接从已知出发 运用公式 定理等得结论 这是综合法 有时需要从结论出发 分析它的必要条件 直到得到一个明显成立的命题 这是分析法 这是两种不同的推理方向 如果解题时失主理方向不正确 可能导致解题思路 受阻或出错 例 32 设 f x x3 x2 2x 5 当时 f x 令 得 f x 的增区间为 f 1 7 2 2 320fxxx 2 1 3 区间左端点 极小值点 所以时所以 m 11 2 7 1 2 f 2 1 x min 7 2 fx 7 2 错因分析 推理方向的不正确 f x 7 由题意 f x 7 max 7fx 6 限域求值端点取值不正确 例 33 若 则31 x 1 1 2 x x 19 错解 31 x 9 1 2 1 2 1 1 1 212 2 x x x 正解 3