高中数学《合情推理与演绎推理》素材1 新人教B版选修1-2

用心 爱心 专心 图形图形 归纳推理的乐园归纳推理的乐园 归纳推理是从个别事实推演出一般性结论的推理 由于归纳推的特点 导致了归纳推 理问题的产生情境也比较特别 很多情况下 归纳推理总是与图形联系在一起 请看 1 分辨图形出现的归纳推理 例 1 定义A BB CCDDA 的运算分别对应下图中的 1 2 3 4 那么 上图中 5 6 可能是下列 中运算的结果 A B D A D B B D A C C B C A D D CD A D 分析 根据 1 2 3 4 可知 A对应 B对应 C对应 D对应 由此可知选 B 点评 善于观察是处理此类问题的重要一环 本题中第一个图是哪两个几何图形构成 第二个图又是哪两个几何图形构成 于是 很快便发现A 可能对应的图 形 从而使问题获解 2 运动图形出现的归纳推理 例 2 如图 一个粒子在第一象限及边界运动 在第一秒内它从原点运动到 01 然 后它接着按图示在x轴 y轴的平行方向向右 向上来回运动 且每秒移动一个单位长度 求 2006 秒时 这个粒子所处的位置 分析 第一层有 01 11 10 三个整点 除原点 共用 3 秒 第二层有五个整点 2 0 21 2 2 12 0 2 共用 5 秒 第三层有七个整点 0 3 13 2 3 33 3 2 31 3 0 共用 7 秒 第n层共有21n 个整点 共用 21n 秒 假设第 2006 秒时粒子运动在第1n 层 那么前n层共用秒数 3 21 2006 2 nn 由此得最大43n 且当43n 时 3 21 1935 2 nn 于 是 第 2006 秒时 粒子在第 44 层 且在第 71 个出现 根据规律我们知道第 44 层将从点 44 0 开始 那么 44 0 44 1 44 43 44 44 43 44 42 44 41 44 18 44 共 71 个 因此 第 2006 秒时 这个粒子所处的位 置为 18 44 点评 要发现规律 必须认真研究问题的初始阶段 它是 退一步 思考问题策略的 具体体现 本题就是通过认真分析前三层才发现规律 并利用规律促使问题获解的 3 图形游戏出现的归纳推理 例 3 用火柴棒按下图的方法搭三角形 用心 爱心 专心 按图示的规律搭下去 则所用火柴棒数 n a与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是 分析 第一个图有三根火柴 以后每一个图总比前一个图多一个三角形 其实 就多 了两根火柴 于是答案为 21 n ann N 点评 善于从游戏中抓住本质是解决问题的关键 本题求火柴棒数与所搭三角形的个 数之间的关系 只要细心一点获解就没问题 4 打印图形出现的归纳推理 例 4 一同学在电脑中打出如下图形 表示空心圆 表示实心圆 若将此若干个圆依此规律继续下去 得到一系列的圆 那么前 2006 个圆中实心圆的个 数为 分析 将这些圆分段处理 第一段两个圆 第二段三个圆 第三段四个圆 可以 看出每一段的最后一个圆都是实心圆 由于本题是求前 2006 个圆中有多少个实心圆 因此 找到第 2006 个圆所在的段数很重要 由 262 23626119522006 2 而 263 23636220152006 2 因此 共有 个实心圆 点评 发现规律是解决此题的关键所在 而 分段 正中下怀 它使规律很清楚的显 现出来 让我们操作 轻松 求解 愉快 推理与证明推理与证明 中的数学思想方法中的数学思想方法 数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓 是将知识转化为能力的桥 梁 也是解决问题的思维策略 有着广泛的应用 有关 推理与证明 中的问题蕴含着许 多数学思想方法 若根据题设特点 灵活地运用相应的数学思想方法 往往能迅速找到解 题思路 从而使问题简捷 准确地获解 一 类比思想 所谓类比思想就是根据两个对象之间一部分属性相同或相似 从而推断出这两个对象 之间的另外一些属性也可能相同或相似的一种思维形式 由特殊到一般 是解决这类问题 的思维主线 例 1 在RtABC 中 两直角边ACb BCa 斜边AB上的高为h 则 222 111 hab 该结论的证明很简单 类比它 在立体几何中有何发现 我们猜想 在立体几何中 也有类似的一个公式 用心 爱心 专心 在三棱锥VABC 中 若三条侧棱VA VB VC两两垂直 且长度分别为 abc 顶点V到底面ABC的距离VHh 则 2222 1111 habc 注意 这只是由类比得到的一个猜想 是否成立还须证明 证明 如右图 延长AH交BC于D 连结VD VAVB VAVC VA 平面VBC VABC VAVD VH 平面ABC VHBC BC 平面VAD BCVD VBVC 在RtVBC 中 222 111 VDVBVC 在RtVAD 中 222 111 VHVAVD 2222 1111 VHVAVBVC 即 2222 1111 habc 结论中的三条侧棱两两垂直 可等价变为三个侧面两两垂直 点评 在本题求解中 我们根据平面几何中的一个结论 运用类比思想 在四面体中 猜想出具有类似数学特点的结论 并用演绎推理的方法给出了简要证明 作为一种创新题 型 类比推理已成为近几年高考命题中一道亮丽的风景 二 转化思想 转化思想就是在解决数学问题时 将有待解决的问题 通过某种转化过程 归结为一 个已经解决或比较容易解决的问题 并通过对这一问题的解答返回去求得原问题的解 答 分析法是证明命题的一种方法 当问题直接证明思路不明显时 常常考虑运用分析 法 而运用分析法解题的关键是将结论适当转化 例 2 设实数xy 满足 2 0yx 若01a 求证 1 log log 2 8 xy aa aa 分析 直接证明思路不明显 因此可以先结合条件将结论适当转化 由01a 只 需转化为证 1 8 xy aaa 又2 xyx y aaa 因此只需转化为证明 1 4 xy 再 由 2 yx 转化为证明 2 1 4 xx 因此运用分析法即可简捷得证 证明 要证 1 log log 2 8 xy aa aa 因为01a 所以只需证 1 8 xy aaa 又2 xyx y aaa 因此只需证 1 4 x y aa 用心 爱心 专心 只需证 1 4 xy 即证 2 1 0 4 xx 式显然成立 故原不等式成立 点评 本题在寻找使结论成立的条件 时 是先根据函数的单调性 将对数不等式 指数不等式逐步转化为 式 从而把问题化难为易 三 正难则反思想 有些问题当从正面求解繁琐或无法求解时 可从其反面进行思考 通过否定结论的反 面来肯定结论正确 这就是正难则反的思想 运用这一数学思想解决问题 往往能收到化 难为易 化繁为简的奇效 反证法就是 正难则反 的一种证明方法 它不是直接证明命 题结论正确 而是通过证明结论反面不正确来说明结论的正确性 因而对于那些 结论的 反面 比结论本身更具体 更明确 更简单的命题 则适宜用反证法来证 例 3 设函数 f x的定义域是区间 01 0 1 ff 且对 1 x 2 01 x 12 xx 均有 21 1 f xf xf 求证 对 1 x 2 01 x 12 xx 均有 21 1f xf x 分析 若直接证明 需分类讨论 于是考虑使用反证法 证明 假设 1 x 2 01 x 12 xx 使得 21 1f xf x 不妨设 12 xx 则 2121 1 0 0 f xf xf xfff x 21212112 0 0 202122222 f xfff xxxxxxx 所以 12 1 0 2 xx 故由条件可得 2121 1 221 2 f xf xxxx 这与假设矛盾 故原命题成立 点评 运用反证法证题时 须注意三点 1 必须周密考察原结论 防止否定有所遗漏 2 推理过程必须完全正确 否则不能肯定非命题是错误的 3 在推理过程中 可以使用已知条件 推出的矛盾必须很明确 毫不含糊 四 归纳递推思想 归纳递推思想就是在解决问题时 从特殊情况入手 通过观察 分析 概括 猜想出 一般性结论 然后用数学归纳法予以证明 文科学生不作要求 这一数学思想方法在解决 探索性问题 存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用 其思维模式是 观察 归纳 猜想 证明 解题的关键在于正确的归纳猜想 例 4 已知点的序列 0 nn A x n N 其中 1 0 x 2 0 xa a 3 A是线段 12 A A的中点 4 A是线段 23 A A的中点 n A是线段 21nn AA 的中点 用心 爱心 专心 1 写出 n x与 1n x 2n x 之间的关系式 3 n 2 设 1nnn axx 计算 1 a 2 a 3 a 由此推测数列 n a的通项公式 分析 利用递推公式及归纳猜想是解题的关键 解 1 当3n 时 12 2 nn xx x 2 121 axxa 21 232221 11 222 xx axxxxxa 32 343332 1111 22224 xx axxxxxaa A 由此推测 1 1 2 n n aa n NA 五 综合法 综合法是从已知出发 经过逐步推理 最后导出所要达到的结论 可以看出 若使用 综合法求解问题 一定要将条件与结论结合起来 看看条件 再看看结论 如何架好从条 件通往结论的桥梁 例 5 设 3 2 2 x 求证 21231538xxx 证明 由于ab R 时 2 22 22 abab 得 22 2 abab 那么 23153 23 153 242xxxxx 212422 44242 2 142 1428xxxxx 上述第一个不等式中等号成立的条件为 183 231532 52 xxx 故原不等式成立 点评 在证明题中 产生证明方法的思维过程很重要 你知道本题的证明方法是怎么 产生的吗 是综合法的 功劳 请看 欲从左边证到右边 必须消去 x 如何消 只有经 过平方 才能将 x 从根号中 解救 出来 解救 出来后才有消去的可能 于是在基本不 等式中开始 搜索 与平方有关的不等式 慢慢地 2 22 22 abab 就 浮出水面 解法自然也就产生了 六 分析法 分析法是从结论出发 逐步寻找使结论成立的充分条件 直到找到一个明显成立的条 件 这个条件可以是已知条件 公理 定理 定义等 可以看出 若使用分析法求解问题 用心 爱心 专心 对结论的简化与转化很重要 它是向条件靠拢的重要措施 例 6 设abc 为任意三角形的三边长 Iabc Sabbcca 试证 2 34SIS 证明 由于 22222222 2222IabcabcabbccaabcS 欲证 2 34SIS 只需证 222 324SabcSS 只需证 222 2SabcS 即 222 222abbccaabcabbcca 只需证 222 abcabbcca 且 222 222abcabbcca 先看 222 abcabbcca 只需证 222 222222abcabbcca 即 222 0abbcca 显