河南省开封市2012届高三数学第一次模拟考试 理

用心 爱心 专心 1 高三数学试题 理科 高三数学试题 理科 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 其中第 卷第 22 24 题为选考题 其他题为必考题 考生作答时 将答案答在答题卡上 在本试卷上答题无效 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 注意事项 1 答题前 考生务必先将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上 认真核对条形码上的姓名 准考 证号 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上 2 选择题答案使用 2B 铅笔填涂 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案的标号 非选择题 答案使用 0 5 毫米的黑色中性 签字 笔或碳素笔书写 字体工整 笔迹清楚 3 请按照题号在各题的答题区域 黑色线框 内作答 超出答题区域书写的答案无效 4 保持卷面清洁 不折叠 不破损 5 做选考题时 考生按照题目要求作答 并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 参考公式 样本数据 1 x 2 x n x的标准差 锥体体积公式 1 22 2 2 1 xxxxxx n s n ShV 3 1 其中x为样本平均数 其中 S 为底面面积 h 为高 柱体体积公式 球的表面积 体积公式 V Sh 2 4 RS 3 3 4 RV 其中 S 为底面面积 h 为高 其中 R 为球的半径 第 卷 1 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要 求的 1 设全集 U 2 1 0 1 2 3 M 0 1 2 N 0 1 2 3 则 N A 0 1 2 B 2 1 3 C 0 3 D 3 2 i是虚数单位 复数 i i z 23 32 A 0 B 1 C 1 D 1 3 连续抛两枚骰子分别得到的点数是 a b 则向量 a b 与向量 1 1 垂直的概率是 A 12 5 B 6 1 C 3 1 D 2 1 4 在等差数列 an 中 已知 a6 5 Sn是数列 an 的前 n 项和 则 S11 用心 爱心 专心 2 A 45 B 50 C 55 D 60 5 在 ABC 中 角 A B C 所对边的长分别为 a b c 若 b2 c2 a2 5 6 bc 则 cosA 的值为 A 5 4 B 5 4 C 5 3 D 5 3 6 若 m n 为两条不重合的直线 为两个不重合的平面 则下列命题中的真命题是 若 m n 都平行于平面 则 m n 一定不是相交直线 若 m n 都垂直于平面 则 m n 一定是平行直线 已知 互相垂直 m n 互相垂直 若 m 则 n m n 在平面 内的射影互相垂直 则 m n 互相垂直 7 将函数 y sinx 的图像上所有的点向右平行移动 10 个单位长度 再把所得各点的横坐标伸长到 原来的 2 倍 纵坐标不变 所得图像的函数解析式是 A y sin 2x 10 B y sin 2x 5 C y sin 2 1 x 10 D y sin 2 1 x 20 8 如右框图 当 x1 6 x2 9 p 8 5 时 x3等于 A 11 B 10 C 8 D 7 9 对于函数 y f x x R y f x 的图象关于 y 轴对称 是 y f x 是奇函数 的 A 必要而不充分条件 B 充分而不必要条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 10 用若干个体积为 1 的正方体搭成一个几何体 其正视图 侧视图都是如图所示 的图形 则这个几何体的最小体积是 A 9 B 8 C 7 D 5 11 由曲线 xy 1 直线 y x y 3 所围成的平面图形和面积为 A 9 32 B 2 ln3 C 4 ln3 D 4 ln3 12 已知函数 0 1 1 0 12 xxf xx xf 把函数 g x f x x 的零点按从小到大的顺序排列成一 用心 爱心 专心 3 个数列 则该数列的前 n 项的和 Sn 则 S10 A 210 1 B 29 1 C 45 D 55 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 题 第 21 题为必考题 每个试题考生都必须做答 第 22 题 第 24 题为选考题 考试根据要求做答 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 13 已知点 P x y 在不等式组 2x xy xy 表示的平面区域内 则 z 2x y 的最大值为 14 已知点 M 1 0 是圆 C x2 y2 4x 2y 0 内一点 则过点 M 的最长弦所在的直线方程是 15 已知双曲线 2 2 2 2 b y a x 1 a 0 b 0 的渐近线到点 M 3 0 的距离为 2 则双曲线的离心率为 16 已知点 G 是 ABC 的重心 若 A 120 AB AC 2 则 AG 的最小值是 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程和演算步骤 17 本小题满分 12 分 设 an 是一个公差为 2 的等差数列 a1 a2 a4成等比数列 求数列 an 的通项公式 an 求数列 nan 的前 n 项和 Tn 18 本小题满分 12 分 如图 已知四棱锥 P ABCD 底面 ABCD 为蓌形 PA 平面 ABCD ABC 60 E F 分别是 BC PC 的中点 求证 AE PD 若直线 PB 与平面 PAD 所成角的正弦值为 4 6 求二面角 E AF C 的 余弦值 19 本小题满分 12 分 甲 乙两位学生参加数学竞赛培训 现分别从他 们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取 8 次 用茎叶图表示这两组数据 现要从中选派一人参加技能竞赛 从平均状况和方差 的角度考虑 你认为派哪位学生参加合适 若将频率视为概率 对乙同学在今后的 3 次数学竞赛 成绩进行预测 记这 3 次成绩中高于 80 分的次数为 求 的分布 用心 爱心 专心 4 列及数学期望 E 20 本小题满分 12 分 已知椭圆 C 2 2 2 2 b y a x 1 a b 0 的离心率为 2 1 以原点为圆点 椭圆的短半轴为半径的圆与直线 x y 6 0 相切 求椭圆的标准方程 设 P 4 0 A B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点 连续 PB 交随圆 C 于另一点 E 证明直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q 21 本小题满分 12 分 已知函数 h x ln ax b 在点 M 1 h 1 处的切线方程为 x 2y ln4 1 0 求 a b 的值 若 f x h x 2 SX x 2 1 x SX 求函数 f x 的单调区间 请考生在第 22 23 24 三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分 作答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图所示 已知 O1与 O2相交于 A B 两点 过点 A 作 O1的切线交 O2于点 C 过点 B 作两圆的割线 分别交 O1 O2于点 D E DE 与 AC 相交于点 P 求证 AD EC 若 AD 是 O2的切线 且 PA 6 PC 2 BD 9 求 AD 的长 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xoy 中 已知曲线 C1 x2 y2 1 以平面直角坐标系 xoy 的原点 O 为极点 x 轴的 正半轴为极轴 取相同的单位长度建立极坐标系 已知直线 l 2cos sin 6 将曲线 C1上的所有点的横坐标 纵坐标分别伸长为原来的3 2 倍后得到曲线 C2 试写出直 线 l 的直角坐标方程和曲线 C2的参数方程 在曲线 C2上求一点 P 使点 P 到直线 l 的距离最大 并求出此最大值 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 f x x a 若不等式 f x 3 的解集为 x x 1 或 x 5 求实数 a 的值 在 的条件下 若 f x f x 4 m 对一切实数 x 恒成立 求实数 m 的取值范围 用心 爱心 专心 5 高三数学试题 文科 参考答案 一 选择题 1 D 2 B 3 B 4 C 5 D 6 B 7 C 8 B 9 A 10 B 11 D 12 C 二 填空题 13 6 14 1 45 22 yx 15 84 16 3 2 三 解答题 17 解 由 S n 1 2S n 1 整理得 S n 1 1 2 S n 1 数列 S n 1 是以 S 1 1 2 为首项 以 2 为公比的等比数列 2 分 S n 1 2 2 n 1 S n 2 n 1 4 分 a n S n S n 1 2 n 1 n 2 当 n 1 时 a 1 1 满足 a n 2 n 1 a n 2 n 1 6 分 T n 1 2 0 2 2 1 n 2 n 1 1 10 分 2T n 1 2 1 2 2 2 n 1 2 n 1 n 2 n 2 1 2 得 T n n 1 2 n 1 12 分 18 证明 由四边形 ABCD 为菱形 ABC 60 可得 ABC 为正三角形 因为 E 为 BC 的中点 所以 AE BC 又 BC AD 因此 AE AD 因为 PA 平面 ABCD AE 平面 ABCD 所以 PA AE 而 PA 平面 PAD AD 平面 PAD 且 PA AD A 所以 AE 平面 PAD 又 PD 平面 PAD 所以 AE PD 6 分 TP 高三数学理 5 tif 70 70 Z1 Y 解 由 知 AE AD AP 两两垂直 以 A 为坐标原点 建 立如图所示的空间直角坐标系 A xyz 设 AB 2 AP a 则 A 0 0 0 B 3 1 0 C 3 1 0 D 0 2 0 P 0 0 a E 3 0 0 F 22 1 2 3a 7 分 所以 PB 3 1 a 且 AE 3 0 0 为平面 PAD 的法向量 设直线 PB 与平面 PAD 所成的角为 用心 爱心 专心 6 由 sin cos PB AE AE PB AEPB 34 3 2 a 4 6 8 分 解得 a 2 所以 AE 3 0 0 AF 2 3 2 1 1 设平面 AEF 的一法向量为 WTHX m WTBX x1 y1 z1 则 0 0 AFm AEm 因此 0 2 1 2 3 03 111 1 Zyx x 取 z1 1 则 m 0 2 1 10 分 因为 BD AC BD PA PA AC A 所以 BD 平面 AFC 故BD为平面 AFC 的一法向量 又BD 3 3 0 所以 cos m BD 5 15 125 32 BDm BDm 因为二面角 E AF C 为锐角 所以所求二面角的余弦值为 5 15 12 分 19 解 派 B 参加比较合适 理由如下 甲X SX 1 8 SX 70 2 80 4 90 2 9 8 8 4 2 1 5 3 85 乙X SX 1 8 SX 70 1 80 4 90 3 5 3 5 3 5 85 2 分 S2甲 SX 1 8 SX 78 85 2 79 85 2 80 85 2 83 85 2 85 85 2 90 85 2 92 85 2 95 85 2 35 5 S2乙 SX 1 8 SX 75 85 2 80 85 2 80 85 2 83 85 2 85 85 2 90 85 2 92 85 2 95 85 2 41 4 分 甲X 乙X S2甲 S2乙 乙的成绩较稳定 派乙参加比较合适 6 分 记 乙同学在一次数学竞赛中成绩高于 80 分 为事件 A 则 P A 8 6 4 3 随机变量 的可能 取值为 0 1 2 3 且 B 3 4 3 P K CK3 4 3 K 4 1 3 K k 0 1 2 3 所以变量 的分布列为 10 分 0123 P 64 1 64 9 64 27 64 27 用心 爱心 专心 7 E 0 64 1 1 64 9 2 64 27 3 64 27 4 9 或 E np 3 4 3 4 9 12 分 20 20 解 由题意知 e a c 2 1 所以 e2 2 2 c a 2 22 c b a 4 1 即 a2 4 3 b2 又因为 b 11 6 3 所以 a2 4 b2 3 故椭圆的方程为 34 22 yx 1 4 分 由题意知直线 PB 的斜率存在 设直线 PB 的方程为 y k x 4 由 1 34 4 22 yx xky 得 4k2 3 x2 32k2x 64k2 12 0 6 分 设点 B x1 y1 E x2 y2 则 A x 1 y 1 直线 AE 的方程为 y y2 12 2 1 xx yy x x2 令 y 0 得 x x 2 12 122 yy xxy 将 y1 k x1 4 y2 k x2 4 代入 整理 得 x 8 42 21 21 21 xx xxxx 8 分 由 得 x1 x2 34 k32 2 2 k x1x2 34 12k64 2 2 k 10 分 代入 整理 得 x 1 所以直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q 1 0 12 分 21 解 h x axb a k 2 1 ab a 2 1 又 h 1 ln2 即 ln a b ln2 解得 a 1 b 1 4 分 函数 f x 的定义域是 1 f x 2 2 2 2 1 2 1ln 1 2 1 2 1 1ln 2 x xxxx x xx x x 设 g x 2 1 x ln 1 x x2 2x 则 g x 2ln 1 x 2x 令 x 2ln 1 x 2x 则 x SX 2 1 x SX 2 SX 2x 1 x SX 当 1 x 0 时 x 0 x 在 1 0 上为增函数 当 x 0 时 x 0 x 在 0 上为减函数 所以 x 在 x 0 处取得极大值 而 0 0 所以 g x 0 x 0 函数 g x 在 1 上为减函数 于是当 1 x 0 时 g x g 0 0 当 x 0 时 g x g 0 0 所以 当 1 x 0 时 f x 0 f x 在 1 0 上为增函数 用心 爱心 专心 8 当 x 0 时 f x 0 f x 在 0 上为减函数 故函数 f x 的单调递增区间为 1 0 单调递减区间为 0 12 分 22 解 连接 AB AC 是 O1的切线 BAC D 又 BAC E D E AD EC 5 分 设 BP x PE y PA 6 PC 2 xy 12 AD EC PE DP PC AP 2 69 y x 由 可得 1 12 4 3 y x