高中数学《等比数列的前n项和》教案4 新人教A版必修5

用心 爱心 专心1 课课 题题 3 53 5 等比数列的前等比数列的前 n n 项和 一 项和 一 教学目的 教学目的 1 掌握等比数列的前 n 项和公式及公式证明思路 2 会用等比数列的前 n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题 教学重点 教学重点 等比数列的前 n 项和公式推导 教学难点 教学难点 灵活应用公式解决有关问题 授课类型 授课类型 新授课 课时安排 课时安排 1 课时 教教 具具 多媒体 实物投影仪 教材分析 教材分析 本节是对公式的教学 要充分揭示公式之间的内在联系 掌握与理解公 式的来龙去脉 掌握公式的导出方法 理解公式的成立条件 也就是让学生对 本课要学习的新知识有一个清晰的 完整的认识 忽视公式的推导和条件 直 接记忆公式的结论是降低教学要求 违背教学规律的做法 教学过程教学过程 一 复习引入 一 复习引入 首先回忆一下前两节课所学主要内容 1 1 等比数列 等比数列 如果一个数列从第二项起 每一项与它的前一项的比等于 同一个常数 那么这个数列就叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的公比 公比通常用字母q表示 q 0 即 q q 0 1 n n a a 2 2 等比数列的通项公式等比数列的通项公式 0 1 1 1 qaqaa n n1 0 n m nm aaqa q 3 3 成等比数列 q q 0 n a n n a a 1 Nn 0 是数列 成等比数列的必要非充分条件 n a n a 4 4 既是等差又是等比数列的数列 既是等差又是等比数列的数列 非零常数列 5 5 等比中项 等比中项 G为a与b的等比中项 即G a b同号 ab 6 6 性质 性质 若 m n p q qpnm aaaa 7 7 判断等比数列的方法 判断等比数列的方法 定义法 中项法 通项公式法 用心 爱心 专心2 8 8 等比数列的增减性 等比数列的增减性 当 q 1 0 或 0 q 1 1 0 或 0 q0 时 是递减数列 当 q 1 时 1 a 1 a n a 是常数列 当 q 0 时 是摆动数列 n a n a 二 讲解新课 二 讲解新课 例如求数列 1 2 4 262 263的各项和 即求以 1 为首项 2 为公比的等比数列的前 64 项的和 可表示为 6362 64 228421 S 2 6463 64 2216842 S 由 可得 1264 64 S 这种求和方法称为 错位相减法 错位相减法 是研究数列求和的 一个重要方法 等比数列的前等比数列的前 n n 项和公式 项和公式 当时 或 1 q q qa S n n 1 1 1 q qaa S n n 1 1 当 q 1 时 1 naSn 当已知 q n 时用公式 当已知 q 时 用公式 1 a 1 a n a 公式的推导方法一 公式的推导方法一 一般地 设等比数列它的前 n 项和是 n aaaa 321 n S n aaaa 321 由 1 1 321 n n nn qaa aaaaS 得 nn n nn n qaqaqaqaqaqS qaqaqaqaaS 1 1 1 3 1 2 11 1 1 2 1 2 111 n n qaaSq 11 1 用心 爱心 专心3 当时 或 1 q q qa S n n 1 1 1 q qaa S n n 1 1 当 q 1 时 1 naSn 公式的推导方法二 公式的推导方法二 有等比数列的定义 q a a a a a a n n 12 3 1 2 根据等比的性质 有q aS aS aaa aaa nn n n n 1 121 32 即 结论同上 q aS aS nn n 1 qaaSq nn 1 1 围绕基本概念 从等比数列的定义出发 运用等比定理 导出了公式 公式的推导方法三 公式的推导方法三 n S n aaaa 321 13211 n aaaaqa 11 n qSa 1nn aSqa 结论同上 qaaSq nn 1 1 方程 在代数课程里占有重要的地位 方程思想是应用十分广泛的一种 数学思想 利用方程思想 在已知量和未知量之间搭起桥梁 使问题得到解决 三 例题讲解三 例题讲解 例例 1 1 求等比数列 1 2 4 从第 5 项到第 10 项的和 解 由2 2 1 21 qaa得 15 21 21 1 4 4 S1023 21 21 1 10 10 S 从第 5 项到第 10 项的和为 1008 10 S 4 S 例例 2 2 一条信息 若一人得知后用一小时将信息传给两个人 这两个人又用一小 时各传给未知此信息的另外两人 如此继续下去 一天时间可传遍多少人 解 根据题意可知 获知此信息的人数成首项的等比数列2 1 1 qa 用心 爱心 专心4 则 一天内获知此信息的人数为 25 25 25 1 2 21 1 2 S 例例 3 3 已知 为等比数列 且 a b ab 0 求 n a n S n S2 n S3 分析 要求 需知 q 而已知条件为和 能否进一步挖掘 n S3 1 a n S n S2 题目的条件 使已知和未知沟通起来 当时 a 1 q q qa S n n 1 1 1 b n S2 q qa n 1 1 2 1 q qqa nn 1 1 1 1 得 a b q n 1 将 代入 得 ba a q a 21 2 1 n S3 q qa n 1 1 3 1 q a 1 1 1 3n q ba a 2 2 1 1 3 a b 以下再化简即可 这样处理问题很巧妙 没有分别求得与 q 的值 而改为求与 1 a n q 的值 这样使问题变得简单但在分析的过程中是否完备 q a 1 1 第 式就有问题 附加了条件 q 1 而对 q 1 情况没有考虑 使用等比数列前 n 项和公式时 要特别注意适用条件 即 q 1 时 n 当时 或 n S 1 a1 q q qaa S n n 1 1 q qa S n n 1 1 1 含字母已知数的等比数列求和题目 学生常忽略 q 1 情况 要引起足 够重视 以培养学生思维的严密性 解法 1 设等比数列 的公比为 q n a 用心 爱心 专心5 若 q 1 此时数列为常数列 则 n a b n S 1 a 12 2naS n 从而有 2a b 或 anaS n 33 13 2 3 33 13 b anaS n 若 q 1 即 2a b 由已知 a b q qa S n n 1 1 1 q qa S n n 1 1 2 1 2 又 ab0 得 a b q n 11 a b q n 将 代入 得 ba a q a 21 2 1 n S3 q qa n 1 1 3 1 q a 1 1 1 3n q ba a 2 2 1 1 3 a b a baba 22 解法 2 由 成等比数列 练习中证此结论 n S n S2 n S n S3 n S2 即 a b a b 成等比 所以 a b b a n S3 n S3 2 从而有 包含了 q 1 的情况 n S3 a baba 22 四 练习四 练习 是等比数列 是其前 n 项和 数列 n a n S kkkkk SSSSS 232 是否仍成等比数列 Nk 解 设首项是 公比为 q n a 1 a 当q 1 且k为偶数时 不是等比数列 kkkkk SSSSS 232 此时 0 kkkkk SSSSS 232 例如 数列 1 1 1 1 是公比为 1 的等比数列 用心 爱心 专心6 S2 0 46242 SSSSS 当q 1 或k为奇数时 k S k aaaa 321 0 kk SS 2 321k k aaaaq 0 kk SS 23 321 2 k k aaaaq 0 成等比数列 kkkkk SSSSS 232 Nk 评述 应注意等比数列中的公比q的各种取值情况的讨论 还易忽视等比 数列的各项应全不为 0 的前提条件 五 小结五 小结 1 等比数列求和公式 当 q 1 时 1 naSn 当时 或 1 q q qaa S n n 1 1 q qa S n n 1 1 1 2 是等比数列的前 n 项和 n S n a 当q 1 且k为偶数时 不是等比数列 kkkkk SSSSS 232 当q 1 或k为奇数时 仍成等比数列 kkkkk SSSSS 232 3 这节课我们从已有的知识出发 用多种方法 迭加法 运用等比性质 错位相减法 方程法 推导出了等比数列的前 n 项和公式 并在应用中加深了 对公式的认识 六 课后作业六 课后作业 已知数列是等比数列 是其前n项的和 求证 n a n S 7 S 14 S 7 S 成等比数列 21 S 14 S 解 1 当q 1 时 7 14 7 S 1 a 14 S 1 a 14 7 7 21 14a1 7 14 S 7 S 1 a 1 a 1 a 21 S 14 S 1 a 1 a 为以 7为首项 1 为公比的等比数列 7 S 14 S 7 S 21 S 14 S 1 a 用心 爱心 专心7 当q 1 时 7 S q qa S q qa S q qa 1 1 1 1 1 1 21 1 21 14 1 14 7 1 q qa q qa SS 1 1 1 1 7 1 14 1 714 q qqa 1 1 77 1 q qa q qa SS 1 1 1 1 14 1 21 1 1421 q qqa 1 1 77 1 2 2 7142 1 2 714 1 1 q qqa SS q qqa q qa SSS 1 1 1 1 714 1 7 1 14217 2 2 714 2 1 1 1 q qqa 2 71