高中数学 7.1《解析几何初步》测试 湘教版必修3

用心 爱心 专心 1 解析几何初步解析几何初步 一 选择题 1 圆 x2 y2 4x 0 在点 P 1 3 处的切线方程为 Ax 3 y 2 0 Bx 3 y 4 0 Cx 3 y 4 0 Dx 3 y 2 0 2 由点 M 5 3 向圆 22 2690 xyxy 所引切线长是 A 51 B 3 C 51 D 1 3 在圆 22 4xy 上 与直线 4x 3y 12 0 的距离最小的点的坐标为 A 86 55 B 8 6 5 5 C 8 6 5 5 D 86 55 4 若圆 x 3 2 y 5 2 r2 上有且只有两个点到直线 4x 3y 2 的距离等于 1 则半 径 r 的范围是 A 4 6 B 4 6 C 4 6 D 4 6 5 已知直线 ax by c 0 abc 0 与圆 x2 y2 1 相切 则三条边长分别 为 a b c 的三角形 A 是锐角三角形 B 是直角三角形 C 是钝角三角形 D 不存在 6 若动圆与圆 2 2 24xy 相外切 且与直线 x 2 相切 则动圆圆心的轨迹方程是 A y2 12x 12 0 B y2 12x 12 0 C y2 8x 0 D y2 8x 0 7 06 年北京 平面 的斜线AB交 于点B 过定点A的动直线l与AB垂直 且交 于 点C 则动点C的轨迹是 A 一条直线B 一个圆 C 一个椭圆D 双曲线的一支 8 06 年湖北 已知平面区域D由以 3 1A 2 5B 1 3C 为顶点的三角形内部和边界 组成 若在区域D 上有无穷多个点 yx 可使目标函数 myxz 取得最小值 则 m A 2 B 1 C 1 D 4 05 年天津 将直线2 0 xy 沿x轴向左平移 1 个单位 所得直线与圆 22 240 xyxy 相切 则实数 的值为 A 3 或 7 B 2 或 8 C 0 或 10 D 1 或 11 10 m 2 1 是 直线 m 2 x 3my 1 0 与直线 m 2 x m 2 y 3 0 相互垂直 的 A 充分必要条件 B 充分而不必要条件 用心 爱心 专心 2 C 必要而不充分条件 D 既不充分也不必要条件 二 填空题 11 圆心在直线 2x y 7 0 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A 0 4 B 0 2 则圆 C 的 方程为 12 过点 1 的直线 l 将圆 x 2 2 y2 4 分成两段弧 当劣弧所对的圆心角最小时 2 直线 l 的斜率 k 13 两圆 x2 y2 16 及 x 4 2 y 3 2 R R 0 在交点处的切线互相垂直 则 R 14 已知 P 1 2 为圆 x2 y2 9 内一定点 过 P 作两条互相垂直的任意弦交圆于点 B C 则 BC 中点 M 的轨迹方程为 三 解答题 15 方程 ax2 ay2 4 a 1 x 4y 0 表示圆 求 a 的取值范围 并求出其中半径最小的圆 的方程 16 一个圆的圆心在直线 x y 1 0 上 与直线 4x 3y 14 0 相切 在 3x 4y 10 0 上截得弦长为 6 求圆的方程 17 已知圆 C x2 y2 2x 4y 4 0 是否存在斜率为 1 的直线 L 使以 L 被圆 C 截得弦 AB 为直 径的圆经过原点 若存在 写出直线的方程 若不存在 说明理由 18 求圆 C1 22 1xy 与圆 C2 22 2210 xyxy 的公共弦所在直线被圆 C3 2225 11 4 xy 所截得的弦长 19 在平面直角坐标系中 已知矩形 的长为 宽为 边分别在 轴 轴的正半轴上 点与坐标原点重合 如图 所示 将矩形折叠 使 点落在线段 上 若折痕所在直线的斜率为 试写出折痕所在直线的方程 求折痕的长的最大值 参考答案 1 解法一 x2 y2 4x 0 y kx k 3 x2 4x kx k 3 2 0 该二次方程应有两相等实根 即 0 解得 k 3 3 O A B C D X Y 用心 爱心 专心 3 y 3 3 3 x 1 即 x 3 y 2 0 解法二 点 1 3 在圆 x2 y2 4x 0 上 点 P 为切点 从而圆心与 P 的连线应与切线垂直 又 圆心为 2 0 12 30 k 1 解得 k 3 3 切线方程为 x 3 y 2 0 答案 D 2 答案 A 3 答案 B 4 答案 A 5 答案 B 解 由题意得 22 00 ba cba 1 即 c2 a2 b2 由 a b c 构成的三角形为直角三角形 6 答案 A 7 答案 A 解 由过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 所以 AC 始终在与直线 AB 垂直的平面内 再由两平面有且只有一条交线 所以轨迹是一个直线 8 答案 C 解 由 3 1A 2 5B 1 3C 的坐标位置知 ABC 所在的区域在第一象 限 故 0 0 xy 由 myxz 得 1z yx mm 它表示斜率为 1 m 1 若 0m 则要使 z 取得最小值 必须使 z m最小 此时需 11 3 3 1 AC k m 即 m 1 2 若 0m 则要使 z 取得最小值 必须使 z m最大 此时需 11 2 35 BC k m 即 m 2 与 0m 矛盾 综上可知 m 1 9 答案 A 解 由题意可知 直线2 0 xy 沿x轴向左平移 1 个单位后的直线l为 2 1 0 xy 已知圆的圆心为 1 2 O 半径为 5 直线与圆相切 则圆心到直线 的距离等于圆的半径 因而有 2 1 1 2 5 5 得 3 或 7 用心 爱心 专心 4 10 答案 B 解 当 1 2 m 时两直线斜率乘积为 1 从而可得两直线垂直 当 2m 时 两直线一条斜率为 0 一条斜率不存在 但两直线仍然垂直 因此 1 2 m 是题目中给出的两条 直线垂直的充分但不必要条件 11 答案 x 2 2 y 3 2 5 解 圆 C 与 y 轴交于 A 0 4 B 0 2 由垂径定理得圆心在 y 3 这条直线上又已知圆心在直线 2x y 7 0 上 联立 y 3 2x y 7 0 解得 x 2 圆心为 2 3 半径 r AC 22 4 3 2 5 所求圆 C 的方程为 x 2 2 y 3 2 5 12 答案 2 2 13 答案 3 提示 用勾股定理推导出所求直线垂直于 CP 14 答案 x2 y2 x 2y 2 0 解 Rt OMC 中 MP 2 1 BC 直角三角形斜边上的中 线是斜边的一半 故所求轨迹方程为 x2 y2 x 2y 2 0 15 解 1 a 0 时 方程为 x a a 1 2 2 y a 2 2 2 2 22 4 a aa 由于 a2 2a 2 0 恒成立 a 0 且 a R 时方程表示圆 2 r2 4 2 2 22 a aa 4 2 a 1 2 1 2 2 1 a 2 时 rmin2 2 此时圆的方程为 x 1 2 y 1 2 2 16 解 由圆心在直线 x y 1 0 上 可设圆心为 a a 1 半径为 r 由题意可得 2 2 43114 5 34110 9 5 aa r aa r 经计算得 a 2 r 5 所以所求圆的方程为 x 2 2 y 1 2 25 17 解 设直线 L 的斜率为 且 L 的方程为 y x b 则 22 2440 yxb xyxy 消元得方程 x2 2b 2 x b2 4b 4 0 设此方程两根为 x1 x2 则 x1 x2 b 1 y1 y2 x1 x2 2b b 1 则 中点为 11 22 bb 又弦 用心 爱心 专心 5 长为 2 12 1kxx 2 269bb 由题意可列式 22 11 22 bb 2 2 269 2 bb 解得 b 1 或 b 9 经检验 b 9 不合题意 所以所求直线方程为 y x 1 18 解 圆 C1 与圆 C2 的公共弦所在直线方程为 2222 12210 xyxyxy 即 x y 1 0 圆心 C3 到直线 x y 1 0 的距离 1 1 12 22 d 所以所求弦长为 22 251 2223 42 rd 19 解 I 1 当 0 k 时 此时 A 点与 D 点重合 折痕所在的直线方程 2 1 y 2 当 0 k 时 将矩形折叠后 A 点落在线段 CD 上的点为 G a 1 所以 A 与 G 关于折痕所在的直线对称 有 kak a kkOG 1 1 1 故 G 点坐标为 1 kG 从而折痕所在的直线与 OG 的交点坐标 线段 OG 的中点 为 2 1 2 k M 折痕所在的直线方程 2 2 1k xky 即 22 2 kk kxy 由 1 2 得折痕所在的直线方程为 k 0 时 2 1 y 0 k 时 22 2 kk kxy II 1 当 0 k 时 折痕的长为 2 当 0 k 时 折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为 0 2 1 2 1 0 22 k k P k N 2 3 2 2 2 2 2 4 1 2 1 2 1 k k k kk PNy 4 32222 16 8 1 42 1 3 k kkkkk y 用心 爱心 专心 6 令 0 y 解得 2 2 k 2 16 27 max PN 所以折痕的长度的最大值 2 挑战自我 如图 在直角坐标系 xOy 中 射线 OA 在第一象限内 且与 x 轴的 正向成定角 60 动点 P 在射线 OA 上运动 动点 Q 在 y 轴正半轴 上运动 POQ 的面积为定值 32 1 求线段 PQ 的中点 M 的轨迹 C 的方程 2 R1 R2 是曲线 C 上的动点 R1 R2 到 y 轴的距离之和为 1 设 u 为 R1 R2 到 x 轴距离之积 是否存在最大的常数 m 使 u m 恒成立 如果存在 求出这个 m 的值 如果不存在 请说明理由 解 1 依题意 射线 OA 的方程为 y 0 3 xx 设 M x y P t t 3 t 0 则 Q 点的坐标为 2x t 2y t 3 32 POQ S 即 3230sin 32 2 2 2 1 22 tytxt 又 Q 点在 y 轴上 2x t 0 即 t 2x 于是 x y x3 3 点 P 在 AOQ 的内部 y x3 0 且 x 0 y 0 因此有 0 0 033 2 yxxyx 这就是 M 点的轨迹方程 2 设 R1 x1 y1 R2 x2 y2 则 x1 x2 1 y1y2 u u y1y2 3 1 1 2 2 1 1 x x x x 3 1 2 1 1 2 21 21 x x x x xx xx x1 0 x2 0 x1 x2 1 0 4 1 21 xx 于是 4 171 21 21 xx xx 2 2 1 1 2 x x x x 4 75 u 因此 当 4 75 m 时 u m 恒成立 故 m 的最大值为 4 75 答案及点拨 演变 1 直线 BC 的斜率 kBC 3 2 A 60 y x M Q P O 用心 爱心 专心 7 直线 AC 与直线 BC 垂直 直线 AC 的方程为 y 4 2 3 x 5 即 3x 2y 7 0 ABC 45 1 3 2 1 3 2 1 1 AB AB BCAB BCAB k k kk kk kAB 5 或 kAB 5 1 AB 边所在的直线方程为 y 4 5 1 x 5 或 y 4 5 x 5 即x 5y 15 0 或 5x y 29 0 演变 2 由 0 012 y yx A 1 0 又 kAB 1 x 轴是 A 的平分线 kAC 1 AC y x 1 又 kBC 2 BC y 2 2 x 1 由 01 042 yx yx C 5 6 演变 3 由题意知 f 0 0 f 1 0 f 2 0 b 0 a b 1 0 a b 2 0 如图所示 A 3 1 B 2 0 C 1 0 又由所要求的量的几何意义知 值域分别为 1 4 1 1 2 8 17 3 5 4 演变 4 已知圆方程化为 22 1 1xy 其圆心 P 1 0 半径为 1 设所求圆的圆心为 C a b 则半径为 2 2 33ab 因为两圆外切 1PC 2 2 33ab 从而 2 2 1ab 1 2 2 33ab 1 又所求圆与直线l 30 xy 相切于 M 3 3 直线 1 CMl CMl kk 于是 13 1 33 b a 即 34 3ba 2 用心 爱心 专心 8 将 2 代入 1 化简 得 a2 4a 0 a 0 或 a 4 当 a 0 时 4 3b 所求圆方程为 2 2 4 336xy 当 a 4 时 b 0 所求圆方程为 22 4 4xy 演变 5 由已知可得圆 C 22 221xy 关于 x 轴对称的圆 C 的方程为 22 221xy 其圆心 C 2 2 则l与圆 C 相切 设l y 3 k x 3 2 55 1 1 k k 整理得 12k2 25k 12 0 解得 3 4 k 或 4 3 k 所以所求直线方程为 y 3 3 4 x 3 或 y 3 4 3 x 3 即 3x 4y 3 0 或 4x 3y 3 0 演变 6 1 问题可转化为求圆 22 2 3xy 上一点到原点连 线的斜率 y k x 的最大值 由图形性质可知 由原点向圆 22 2 3xy 作切线 其中切线斜率的最大值即为 y x 的最大值 设过原点的直线为 y kx 即 kx y 0 由 2 20 3 1 k k 解得 3k 或 3k max 3 y x 2 x y 满足 22 2 3xy 23cos 3sin x y 242 3cos3sin415sinxy min 2415xy 另法 应用线性规划的思路 如图 2x y 的最小值或最大值就在直线 2x y b 与圆 22 2 3xy 的切点处达到 A C C 3 2 1 3 2 1321 o y x 2 1 3 2 1 2 1 1 o y x 用心 爱心 专心 9