高中数学奥林匹克竞赛讲座 07面积问题和面积方法

1 竞赛讲座竞赛讲座 0707 面积问题和面积方法面积问题和面积方法 基础知识基础知识 1 面积公式 由于平面上的凸多边形都可以分割成若干三角形 故在面积公式中最基本的是三角形的 面积公式 它形式多样 应在不同场合下选择最佳形式使用 设 ABC cba 分别为角CBA 的对边 a h为a的高 R r分别为 ABC外接 圆 内切圆的半径 2 1 cbap 则 ABC的面积有如下公式 1 aABC ahS 2 1 2 AbcS ABC sin 2 1 3 cpbpappS ABC 4 prcbarS ABC 2 1 5 R abc S ABC 4 6 CBARS ABC sinsinsin2 2 7 sin 2 sinsin 2 CB CBa S ABC 8 2 1 acbrS aABC 9 2sin2sin2 sin 2 1 2 CBARS ABC 2 面积定理 1 一个图形的面积等于它的各部分面积这和 2 两个全等形的面积相等 3 等底等高的三角形 平行四边形 梯形 梯形等底应理解为两底和相等 的面积相等 4 等底 或等高 的三角形 平行四边形 梯形的面积的比等于其所对应的高 或底 的比 5 两个相似三角形的面积的比等于相似比的平方 6 共边比例定理 若 PAB和 QAB的公共边AB所在直线与直线PQ交于M 则 QMPMSS QABPAB 2 7 共角比例定理 在 ABC和 CBA 中 若AA 或 180AA 则 CABA ACAB S S CBA ABC 3 张角定理 如图 由P点出发的三条射线PCPBPA 设 APC CPB 180 APB 则CBA 三点共线的充要条件是 PCPAPB sin sinsin 例题分析例题分析 例 1 梯形ABCD的对角线BDAC 相交于O 且mS AOB nS COD 求 ABCD S 例 2 在凸五边形ABCDE中 设1 EABDEACDEBCDABC SSSSS 求此五边形 的面积 例 3 G是 ABC内一点 连结CGBGAG 并延长与ABCABC 分别交于FED AGF BGF BGD的面积分别为 40 30 35 求 ABC的面积 例 4 RQP 分别是 ABC的边BCAB 和CA上的点 且1 RCQRPQBP 求 ABC的面积的最大值 例 5 过 ABC内一点引三边的平行线DE BC FG CA HI AB 点 IHGFED 都在 ABC的边上 1 S表示六边形DGHEFI的面积 2 S表示 ABC的面积 求证 21 3 2 SS 例 6 在直角 ABC中 AD是斜边BC上的高 过 ABD的内心与 ACD的内心的直 线分别交边AB和AC于K和L ABC和 AKL的面积分别记为S和T 求证 TS2 例 7 锐角三角形ABC中 角A等分线与三角形的外接圆交于一点 1 A 点 1 B 1 C与此类 似 直线 1 AA与B C两角的外角平分线将于一点 0 A 点 0 B 0 C与此类似 求证 1 三角形 000 CBA的面积是六边形 111 CBBAAC的面积的二倍 2 三角形 000 CBA的面积至少是三角形ABC的四倍 例 8 在 ABC中 RQP 将其周长三等分 且QP 在边AB上 求证 9 2 ABC PQR S S 例 9 在锐角 ABC的边BC边上有两点E F 满足CAFBAE 作ABFM ACFM NM 是垂足 延长AE交 ABC的外接圆于点D 证明四边形AMDN与 3 ABC的面积相等 三 面积的等积变换 等积变换是处理有关面积问题的重要方法之一 它的特点是利用间面积相等而进行相互转换 证 解 题 例 10 凸六边形ABCDEF内接于 O 且13 DCBCAB 1 FAEFDE 求此六边形的面积 例 11 已知ABC 的三边cba 现在AC上取ABBA 在BA延长线上截取 BCCB 在CB上截取CAAC 求证 CBAABC SS 例 12 CBA 在ABC 内 且ABC CBA 求征 ABCABCCABBCA SSSS 例 13 在ABC 的三边ABCABC 上分别取点FED 使EACEDCBD3 3 FBAF3 连CFBEAD 相交得三角形PQR 已知三角形ABC的面积为 13 求三角 形PQR的面积 例 14 E为圆内接四边形ABCD的AB边的中点 ADEF 于F BCEH 于H CDEG 于G 求证 EF平分FH 例 15 已知边长为 cba的ABC 过其内心I任作一直线分别交ACAB 于NM 点 求 证 b ca IN MI 例 16 正 PQR 正 RQP 1 aAB 1 bBC 2 aCD 2 bDE 3 aEF 3 bFA 求证 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 bbbaaa 例 17 在正ABC 内任取一点O 设O点关于三边ABCABC 的对称点分别为CBA 则CCBBAA 相交于一点P 例 18 已知CEAC 是正六边形ABCDEF的两条对角线 点NM 分别内分ACCE 且使 k CE CN AC AM 如果NMB 三点共线 试求k的值 例 19 设在凸四边形ABCD中 直线CD以AB为直径的圆相切 求证 当且仅当BC AD时 直线AB与以CD为直径的圆相切 训练题训练题 1 设ABC 的面积为 10 2 cm FED 分别是CABCAB 边上的点 且 3 2cmDBcmAD 若 DBEFABE SS 求ABE 的面积 4 2 过ABC 内一点作三条平行于三边的直线 这三条直线将ABC 分成六部份 其中 三 部份为三角形 其面积为 321 SSS 求三角形ABC 的面积 3 在ABC 的三边CABCAB 上分别取不与端点重合的三点LKM 求证 AML CLKBKM 中至少有一个的面积不大于ABC 的面积的 4 1 4 锐角ABC 的顶角A的平分线交BC边于L 又交三角形的外接圆于N 过L作AB和 AC边的垂线LK和LM 垂足是MK 求证 四边形AKNM的面积等于ABC 的 面 积 5 在等腰直角三角形ABC的斜边BC上取一点D 使BCDC 3 1 作ADBE 交AC于 E 求证 ECAE 6 三条直线nml 互相平行 nl 在m的两侧 且ml 间的距离为2 nm 间的距离为 1 若正ABC 的三个顶点分别在nml 上 求正ABC 的边长 7 已知 321 PPP 及其内任一点P 直线PPi分别交对边于 i Q 3 2 1 i 证明 在 3 3 2 2 1 1 PQ PP PQ PP PQ PP 这三个值中 至少有一个不大于 2 并且至少有一个不小于 2 8 点D和E分别在ABC 的边AB和BC上 点K和M将线段DE分为三等分 直线 BK和BM分别与边AC相交于点T和P 证明 ACTP 3 1 9 已知 P 是ABC 内一点 延长CPBPAP 分别交对边于CBA 其中xAP wCPBPAPzCPyBP 且3 23 wzyx 求xyz之值 10 过点 P 作