高中数学 第三章《函数的应用》章末质量评估 新人教A版必修1

用心 爱心 专心 本栏目内容 在学生用书中以活页形式分册装订 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每题给出的四个选 项中 只有一项是符合题目要求的 1 下列函数中在 1 2 内有零点的是 A f x 3x2 4x 5 B f x x3 5x 5 C f x ln x 3x 6 D f x ex 3x 6 解析 对于 A B C 中的函数 f 1 f 2 0 只有 D 项中 f 1 f 2 0 故选 D 答案 D 2 下列函数中不能用二分法求零点的是 A f x 2x 1 B f x ln x 2x 6 C f x x2 4x 4 D f x 3x 1 解析 选项 A B D 中函数都是单调函数 故能用二分法求零点 选 项 C 中函数具有二重零根 故不能用二分法求零点 故选 C 答案 C 3 下列给出的四个函数 f x 的图象中能使函数 y f x 1 没有零点的是 解析 把 y f x 的图象向下平移 1 个单位后 只有 C 图中图象与 x 轴无 交点 故选 C 答案 C 4 方程 log3x x 3 的解所在的区间为 A 0 2 B 1 2 C 2 3 D 3 4 解析 令 f x log3x x 3 则 f 2 log32 2 3 log30 f x 的零点在区间 2 3 内 即方程 log3x x 3 的解所在区间是 2 3 故选 C 答案 C 5 若函数 f x 2ax2 x 1 在 0 1 内恰有一个零点 则 a 的取值为 A a 0 B a 0 C 1 a 0 D 0 a 1 解析 f 0 1 f 1 2a 由零点存在性定理得 f 0 f 1 2a 0 a0 元与每床每晚收费应提高 x 假设 x 是 2 的正整数倍 元的关系式为 A y 10 x 100 5x B y 10 x 100 5x x N C y 10 x 100 5x x 2 4 6 8 18 D y 10 x 100 5x x 2 4 6 8 解析 由题可得总收入 y 与 x 之间的函数关系式为 y 10 x 100 5x x 2 4 6 8 18 故选 C 答案 C 8 某城市为保护环境 维护水资源 鼓励职工节约用水 作出了如下规定 每月用水不超过 8 吨 按每吨 2 元收取水费 每月超过 8 吨 超过部分加倍收费 某职工某月缴费 20 元 则该职工这个月实际用水 A 10 吨 B 13 吨 C 11 吨 D 9 吨 解析 设该职工该月实际用水为 x 吨 易知 x 8 则水费 y 16 2 2 x 8 4x 16 20 x 9 故选 D 答案 D 9 函数 f x x k 有两个零点 则 用心 爱心 专心 A k0 C 0 k0 即 k 0 故选 A 答案 A 10 利用一根长 6 米的木料 做一个如图的矩形窗框 包括中间两条横档 则窗 框的高和宽的比值为多少时透过的光线最多 即矩形窗框围成的面积最大 A 1 5 B 2 C 0 5 D 1 解析 设窗框的宽为 x 高为 h 则 2h 4x 6 即 h 2x 3 h 3 2x 矩形窗框围成的面积 S x 3 2x 2x2 3x 0 x 3 2 当 x 0 75 时 3 2 2 3 4 S 有最大值 h 3 2x 1 5 高与宽之比为 2 故选 B 答案 B 用心 爱心 专心 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 请把正确答案填在题 中横线上 11 函数 f x x2 2 x2 3x 2 的零点为 解析 由 f x x2 2 x2 3x 2 0 得 x 或 x 1 或 x 2 2 函数 f x 的零点为 1 2 22 答案 1 2 22 12 已知函数 y f x 是 R 上的奇函数 其零点为 x1 x2 x2 009 则 x1 x2 x2 009 解析 定义在 R 上的奇函数 f x 必有 f 0 0 则 x1 x2 x2 009中必 有一个是 0 其余的 2 008 个零点分别在 x 轴上 关于坐标原点两两对称 答案 0 13 将进货单价为 80 元的商品按 90 元一个售出时 能卖出 400 个 已知该 商品每个涨价 1 元 其销售量就减少 20 个 为了赚得最大利润 售价应定为 元 解析 设该商品每个涨价 x 元时 利润为 y 元 则 y 10 x 400 20 x 20 x 5 2 4 500 0 x 20 当 x 5 时 y 取最大值 4 500 答案 95 14 函数 y x2与函数 y 2ln x 在区间 0 上增长较快的是 答案 y x2 三 解答题 本大题共 4 小题 共 50 分 解答时应写出必要的文字说明 证 明过程或演算步骤 15 12 分 若函数 y ax2 x 1 只有一个零点 求实数 a 的取值范围 解析 1 若 a 0 则 f x x 1 为一次函数 函数必有一个零点 1 2 若 a 0 函数是二次函数 因为二次方程 ax2 x 1 0 只有一个实数根 所以 1 4a 0 得 a 1 4 综上 当 a 0 和 时函数只有一个零点 1 4 用心 爱心 专心 16 12 分 设函数 f x ax2 b 8 x a ab 的两个零点分别是 3 和 2 1 求 f x 2 当函数 f x 的定义域是 0 1 时 求函数 f x 的值域 解析 1 f x 的两个零点是 3 和 2 函数图象过点 3 0 2 0 有 9a 3 b 8 a ab 0 4a 2 b 8 a ab 0 得 b a 8 代入 得 4a 2a a a a 8 0 即 a2 3a 0 a 0 a 3 b a 8 5 f x 3x2 3x 18 2 由 1 得 f x 3x2 3x 18 3 x 2 18 图象的对称轴方程是 1 2 3 4 x 又 0 x 1 1 2 f x min f 1 12 f x max f 0 18 函数 f x 的值域是 12 18 17 12 分 某公司拟投资 100 万元 有两种获利的可能可供选择 一种是年 利率 10 按单利计算 5 年后收回本金和利息 另一种是年利率 9 按每年复 利一次计算 5 年后收回本金和利息 哪一种投资更有利 5 年后 这种投资比 另一种投资可多得利息多少元 注 单利是指当年的本金转为下一年初的本金 复利是指当年的本金和利息转为下一年初的本金 1 095 1 538 6 解析 本金为 100 万元 按单利计算时 年利率为 10 5 年后的本利和为 100 1 10 5 150 万元 按复利计算 年利率为 9 5 年后的本利和为 100 1 9 5 100 1 095 153 86 万元 由此可见 按年利率 9 的复利计算投资要比年利率 10 的单利计算更有利 用心 爱心 专心 5 年后多得利息 3 86 万元 18 14 分 某地上年度电价为 0 8 元 年用电量为 1 亿度 本年度计划将电 价调至 0 55 0 75 元之间 经测算 若电价调至 x 元 则本年度新增用电量 y 亿 度 与 x 0 4 元成反比例 又当 x 0 65 元时 y 0 8 1 求 y 与 x 之间的函数关系式 2 若每度电的成本价为 0 3 元 则电价调至多少时 本年度电力部门的收益 将比上年度增加 20 收益 用电量 实际电价 成本价 解析 1 y 与 x 0 4 成反比例 设 y k 0 k x 0 4 把 x 0 65 y 0 8 代入上式 得 0 8 k 0 65 0 4 k 0 2 y 0 2 x 0 4 1 5x 2 即 y 与 x 之间的函数关系式为 y 1 5x 2