用列举法求概率

课题课题 25 225 2 列举法求概率列举法求概率 教学目标 教学目标 知识与技能目标知识与技能目标 学习用列表法 画树形图法计算概率 并通过比较概率大小作出合理的决策 过程与方法目标过程与方法目标 经历实验 列表 统计 运算 设计等活动 学生在具体情境中分析事件 计算其发 生的概率 渗透数形结合 分类讨论 由特殊到一般的思想 提高分析问题和解决问题的 能力 情感与态度目标情感与态度目标 通过丰富的数学活动 交流成功的经验 体验数学活动充满着探索和创造 体会数学 的应用价值 培养积极思维的学习习惯 教学重点 教学重点 习运用列表法或树形图法计算事件的概率 教学难点 教学难点 能根据不同情况选择恰当的方法进行列举 解决较复杂事件概率的计算问题 教学过程 1 创设情景 发现新知 教材是通过 P151 P152 的例 5 例 6 来介绍列表法和树形图法的 例 5 教材 P151 同时掷两个质地均匀的骰子 计算下列事件的概率 1 两个骰子的点数相同 2 两个骰子的点数的和是 9 3 至少有一个骰子的点数为 2 这个例题难度较大 事件可能出现的结果有 36 种 若首先就拿这个例题给学生讲解 大多数学生理解起来会比较困难 所以在这里 我将新课的引入方式改为了一个有实际背 景的转盘游戏 前一课已有例 作基础 1 创设情景 引例 为活跃联欢晚会的气氛 组织者设计了以下转盘游戏 A B 两个带指针的转盘 分别被分成三个面积相等的扇形 转盘 A 上的数字分别是 1 6 8 转盘 B 上的数字分别 是 4 5 7 两个转盘除表面数字不同外 其他完全相同 每次选择 2 名同学分别拨动 A B 两个转盘上的指针 使之产生旋转 指针停止后所指数字较大的一方为获胜者 负者 则表演一个节目 若箭头恰好停留在分界线上 则重转一次 作为游戏者 你会选择哪个 装置呢 并请说明理由 设计意图 选用这个引例 是基于以下考虑 以贴近学生生活的联欢晚会为背景 创设转盘游戏引入 能在最短时间内激发学生的兴趣 引起学生高度的注意力 进入情境 2 学生分组讨论 探索交流 在这个环节里 首先要求学生分组讨论 探索交流 然后引导学生将实际问题转化为 数学问题 即 停止转动后 哪个转盘指针所指数字较大的可能性更大呢 由于事件的随机性 我们必须考虑事件发生概率的大小 此时我首先引导学生观看转 盘动画 同学们会发现这个游戏涉及 A B 两转盘 即涉及 2 个因素 与前一课所讲授单 转盘概率问题 教材 P148 例 2 相比 可能产生的结果数目增多了 列举时很容易造成重 复或遗漏 怎样避免这个问题呢 实际上 可以将这个游戏分两步进行 于是 指导学生构造表格 3 指导学生构造表格 A B457 1 6 8 首先考虑转动 A 盘 指针可能指向 1 6 8 三个数字中的任意一个 可能出现的结果 就会有 3 个 接着考虑转动 B 盘 当 A 盘指针指向 1 时 B 盘指针可能指向 4 5 7 三个 数字中的任意一个 这是列举法的简单情况 当 A 盘指针指向 6 或 8 时 B 盘指针同样可 1 6 8 A 4 5 7 B 图 2 联欢晚会游戏转盘 能指向 4 5 7 三个数字中的任意一个 一共会产生 9 种不同的结果 设计意图 这样既分散了难点 又激发了学生兴趣 渗透了转化的数学思想 4 学生独立填写表格 通过观察与计算 得出结论 即列表法 A B457 1 1 4 1 5 1 7 6 6 4 6 5 6 7 8 8 4 8 5 8 7 从表中可以发现 A 盘数字大于 B 盘数字的结果共有 5 种 P A 数较大 9 5 P B 数较大 9 4 P A 数较大 P B 数较大 选择 A 装置的获胜可能性较大 在学生填写表格过程中 注意向学生强调数对的有序性 由于游戏是分两步进行的 我们也可用其他的方法来列举 即先转动 盘 可能出现 1 6 8 三种结果 第二步考虑转动 盘 可能出现 4 5 7 三种结果 5 解法二 由图知 可能的结果为 1 4 1 5 1 7 6 6 4 6 6 5 6 7 8 8 4 8 8 5 8 8 7 共计 9 种 168 开始 A 装置 457 457 457B 装置 P A 数较大 9 5 P B 数较大 9 4 P A 数较大 P B 数较大 选择 A 装置的获胜可能性较大 然后 引导学生对所画图形进行观察 若将图形倒置 你会联想到什么 这个图形很 像一棵树 所以称为树形图 在幻灯片上放映 列表和树形图是列举法求概率的两种常用 的方法 设计意图 自然地学生感染了分类计数和分步计数思想 2 自主分析 再探新知自主分析 再探新知 通过引例的分析 学生对列表法和树形图法求概率有了初步的了解 为了帮助学生熟 练掌握这两种方法 我选用了下列两道例题 本节教材 P151 P152 的例 5 和例 6 例 1 同时掷两个质地均匀的骰子 计算下列事件的概率 1 两个骰子的点数相同 2 两个骰子的点数的和是 9 3 至少有一个骰子的点数为 2 例 1 是教材上一道 掷骰子 的问题 有了引例作基础 学生不难发现 引例涉及两个 转盘 这里涉及两个骰子 实质都是涉及两个因素 于是 学生通过类比列出下列表 第 2 个 第 1 个 123456 1 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 2 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 3 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 4 4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6 5 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 6 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 由上表可以看出 同时掷两个骰子 可能出现的结果有 36 个 它们出现的可能性相等 由所列表格可以发现 1 满足两个骰子的点数相同 记为事件 A 的结果有 6 个 即 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 所以 P A 36 6 6 1 满足条件的结果在表格的对角线上 2 满足两个骰子的点数的和是 9 记为事件 B 的结果有 4 个 即 3 6 4 5 5 4 6 3 所以 P B 36 4 9 1 满足条件的结果在 3 6 和 6 3 所在的斜线上 3 至少有一个骰子的点数为 2 记为事件 C 的结果有 11 个 所以 P C 36 11 满足条件的结果在数字 2 所在行和 2 所在的列上 接着 引导学生进行题后小结 当一个事件要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时 通常采用列表法 运用 列表法求概率的步骤如下 列表 通过表格计数 确定公式 P A n m 中 m 和 n 的值 利用公式 P A n m 计算事件的概率 分析到这里 我会问学生 例 1 题目中的 掷两个骰子 改为 掷三个骰子 还可 以使用列表法来做吗 由此引出下一个例题 例 2 甲口袋中装有 2 个相同的球 它们分别写有字母 A 和 B 乙口袋中 3 个相同的 球 它们分别写有字母 C D 和 E 丙口袋中 2 个相同的球 它们分别写有字母 H 和 I 从 三个口袋中各随机地取出 1 个球 1 取出的三个球上恰好有 1 个 2 个和 3 个元音字母的概率分别为多少 2 取出的三个球上全是辅音字母的概率是多少 例 2 与前面两题比较 有所不同 要从三个袋子里摸球 即涉及到 3 个因素 此时同 学们会发现用列表法就不太方便 可以尝试树形图法 本游戏可分三步进行 分步画图和分类排列相关的结论是解题的关键 从图形上可以看出所有可能出现的结果共有 12 个 即 幻灯片上用颜色区分 这些结果出现的可能性相等 1 只有一个元音字母的结果 黄色 有 5 个 即 ACH ADH BCI BDI BEH 所以 12 5 P 一个元音 有两个元音的结果 白色 有 4 个 即 ACI ADI AEH BEI 所以 3 1 12 4 P 两个元音 全部为元音字母的结果 绿色 只有 1 个 即 AEI 所以 12 1 P 三个元音 2 全是辅音字母的结果 红色 共有 2 个 即 BCH BDH 所以 6 1 12 2 P 三个辅音 通过例 2 的解答 很容易得出题后小结 当一次试验要涉及 3 个或更多的因素时 通常采用 画树形图 运用树形图法 求概率的步骤如下 幻灯片 画树形图 列出结果 确定公式 P A n m 中 m 和 n 的值 A C H A C I A D H A D I A E H A E I B C H B D H B D I B E H B E I B C I A CDE HIHIHI B CDE HIHIHI 甲 乙 丙 利用公式 P A n m 计算事件概率 接着我向学生提问 到现在为止 我们所学过的用列举法求概率分为哪几种情况 列 表法和画树形图法求概率有什么优越性 什么时候使用 列表法 方便 什么时候使用 树形图法 更好呢 设计意图 通过对上述问题的思考 可以加深学生对新方法的理解 更好的认识到 列表法和画树形图法求概率的优越性在于能够直观 快捷 准确地获取所需信息 有利于 学生根据实际情况选择正确的方法 3 应用新知 深化拓展应用新知 深化拓展 为了检验学生对列表法和画树形图法的掌握情况 提高应用所学知识解决问题的能力 在此我选择了教材 P154 课后练习作为随堂练习 1 经过某十字路口的汽车 它可能继续前行 也可能向左或向右 如果这三种可能 性大小相同 三辆汽车经过这个十字路口 求下列事件的概率 三辆车全部继续前行 两辆车向右转 一辆车向左转 至少有两辆车向左转 随堂练习 1 是一道与实际生活相关的交通问题 可用树形图法来解决 2 在 6 张卡片上分别写有 1 6 的整数 随机地抽取一张后放回 再随机地抽取 一张 那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是多少 通过解答随堂练习 2 学生会发现列出的表格和例 1 的表格完全一样 不同的是 变换了实际背景 设置的问题也不一样 这时 我提出 我们是否可以根据这个表格再编 一道用列举法求概率的题目来呢 为了进一步拓展思维 我向学生提出了这样一个问题 供学生课后思考 在前面的引例中 转盘的游戏规则是不公平的 你能把它改成一个公平的游戏吗 设计意图 以上问题的提出和解决有利于学生发现数学问题的本质 做到举一反三 融会贯通 4 归纳总结 形成能力归纳总结 形成能力 我将引导学生从知识 方法 情感三方面来谈一谈这节课的收获 要求每个学生在组 内交流 派小组代表发言 设计意图 通过这个环节 可以提高学生概括能力 表达能力 有助于学生全面地 了解自己的学习过程 感受自己的成长与进步 增强自信 也为教师全面了解学生的学习 状况 因材施教提供了重要依据 5 布置作业 巩固提高布置作业 巩固提高 考虑到学