高中数学《合情推理与演绎证明》文字素材2 新人教A版选修1-2

用心 爱心 专心1 剖析演绎推理证明的几种常见错误剖析演绎推理证明的几种常见错误 1 1 偷换论题偷换论题 例 1 求证四边形的内角和等于 0 360 证明 设四边形ABCD是矩形 则它的四个角都是直角 有 00000 36090909090 DCBA 所以 四边形的内角和等于 0 360 剖析 剖析 上述推理过程是错误的 犯了偷换论题的错误 在证明过程中 把论题中的四 边形改为矩形 正证 正证 对于任意四边形ABCD 连结对角线AC 则得CDAABC 和 因为三角形内角和等于 0 180 0 180 BCAABCCAB 0 180 DACCDAACD BCAABCCAB 0 360 DACCDAACD 又DABDACCAB BCDACDBCA 0 360 DABCDABCDABC 四边形的内角和等于 0 360 2 2 虚假论据虚假论据 例 2 已知2和3是无理数 试证32 也是无理数 错证 错证 依题设2和3是无理数 而无理数与无理数的和是无理数 所以32 也是无理数 剖析 剖析 上述推理过程是错误的 犯了虚假论据的错误 使用的论据是 无理数与无 理数的和是无理数 这个论据是假的 因为两个无理数的和不一定是无理数 因此 原题 的真假性仍无法断定 正证 正证 假设32 不是无理数 那么它就是有理数 于是 存在互质的正整数nm 使得32 n m 从而有nm 32 因此 22 625 nm 即 222 625nnm 4222 24 5 nnm 用心 爱心 专心2 即010 2244 nmnm 22222 8 nmnm 2 2 22 mn nm 因为nm 为互质的正整数 mn nm 2 22 为有理数 而2为无理数 2 2 22 mn nm 矛盾 故假设不成立 32 也是无理数 3 3 循环论证循环论证 例 3 在ABCRt 中 0 90 C求证 222 cba 错证 错证 因为AcbAcacos sin AcAcba 222222 cossin 2222 cos sincAAc 剖析 剖析 上述推理过程是错误的 犯了循环论证的错误 本题的论证就是人们熟知的勾 股定理 上述证明中用了 1cossin 22 AA 这个公式 按照现行中学教材系统 这 个公式是由勾股定理推出来的 这就间接地用待证命题的真实性作为证明的论据 犯了循 环论证的错误 正证 正证 分别以ABC 的三边BCABAC 为边向外作正方形BFGCADEBACHK 连 结CDBK 作DECL 显然 以A为旋转中 心 将ACD 逆时针旋转 0 90 则ACD 与AKB 重合 于是ACD AKB 因为正方形ABKACHK 与同底等高 且矩形ADCADLM 与同底等高 ADLMACHK SS A C B DE L M F G H K 用心 爱心 专心3 即AMcb 2 同理 MLEBEFGC SS 即MBca 2 222 cMBAMcMBcAMcba 即 222 cba 4 4 不能推出不能推出 例 4 设 8 1 tan 5 1 tan 2 1 tan 2 0 且 求证 4 错证 错证 因为 tantantantantantan1 tantantantantantan tan 1 8 1 5 1 8 1 5 1 5 1 2 1 1 8 1 5 1 2 1 8 1 5 1 2 1 4 剖析 剖析 上述推理过程是错误的 犯了不能推出的错误 因为1 tan 只能推 出 4 Znn 至于关系式 4 是否唯一地成立 却无法断 定 因此 只有进一步推出 4 0 即 4 3 0 原题才能得证 正证 正证 因为函数xytan 在区间 2 0 上是增函数 又 2 0 且1 8 1 tan1 5 1 tan1 2 1 tan 4 0 4 0 4 0 4 3 0 又因为 tantantantantantan1 ta