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1 3 1函数的单调性与导数 1 练1 判断下列函数的单调性 并求出单调区间 1 f x x3 3x 解 3x2 3 3 x2 1 0 从而函数f x x3 3x在x R上单调递增 见右图 2 2 f x x2 2x 3 解 2x 2 2 x 1 图象见右图 当 0 即x 1时 函数单调递增 当 0 即x 1时 函数单调递减 3 3 f x sinx x x 0 p 解 cosx 1 0 从而函数f x sinx x在x 0 单调递减 见右图 4 4 f x 2x3 3x2 24x 1 解 6x2 6x 24 6 x2 x 4 当 0 即时 函数单调递增 5 图象见右图 当 0 即时 函数单调递减 4 f x 2x3 3x2 24x 1 6 练习2 判断下列函数的单调性 并求出单调区间 7 总结 当遇到三次或三次以上的 或图象很难画出的函数求单调性问题时 应考虑导数法 纳 1 什么情况下 用 导数法 求函数单调性 单调区间较简便 2 试总结用 导数法 求单调区间的步骤 归 8 设是函数的导函数 的图象如右图所示 则的图象最有可能的是 A B C D C 9 思考题 A 10 求参数的取值范围 11 例2 解 由已知得 因为函数在 0 1 上单调递增 12 在某个区间上 f x 在这个区间上单调递增 递减 但由f x 在这个区间上单调递增 递减 而仅仅得到是不够的 还有可能导数等于0也能使f x 在这个区间上单调 所以对于能否取到等号的问题需要单独验证 13 14 例3 方程根的问题求证 方程只有一个根 15 B 16 2 函数y a x3 x 的减区间为则a的取值范围为 A a 0 B 11 D 0 a 1 A 17 18 19 证明 令f x e2x 1 2x f x 2e2x 2 2 e2x 1 x 0 e2x e0 1 2 e2x 1 0 即f x 0 f x e2x 1 2x在 0 上是增函数 f 0 e0 1 0 0 当x 0时 f x f 0 0 即e2x 1 2x 0 1 2x e2x 2 当x 0时 证明不等式 1 2x e2x 分析 假设令f x e2x 1 2x f 0 e0 1 0 0 如果能够证明f x 在 0 上是增函数 那么f x 0 则不等式就可以证明 点评 所以以后要证明不等式时 可以利用函数的单调性进行证明 把特殊点找出来使函数的值为0 20 3 设f x ax3 x恰有三个单调区间 试确定a的取值范围 并求其单调区间 21 提示 运用导数判断单调性 根据函
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