数理统计试卷及答案

数理统计 B 卷 第 1 页 共 8 页 安徽大学安徽大学 2011 2012 学年第一学期学年第一学期 数理统计 考试试卷 考试试卷 B 卷 卷 闭卷 闭卷 时间时间 120 分钟 分钟 院院 系系 年级年级 专业专业 姓名姓名 学号学号 一 选择题 本大题共 5 小题 每小题 2 分 共 10 分 1 设总体 是的样本 则 1 9 XN 129 XXX X A B 1 0 1 1 X N 1 0 1 3 X N C D 1 0 1 9 X N 1 0 1 3 X N 2 设为取自总体的样本 为样本均值 n XXX 21 2 NXX 则服从自由度为的 分布的统计量为 2 1 2 1 XX n S i n i n 1 nt A B C D Xn n S Xn 1 Xn 1 n S Xn 3 若总体 其中已知 当样本容量保持不变时 如果置信度X 2 N 2 n 减小 则的置信区间 1 A 长度变大 B 长度变小 C 长度不变 D 前述都有可能 4 在假设检验中 分别用 表示犯第一类错误和第二类错误的概率 则当样本容 量一定时 下列说法中正确的是 n A 减小时也减小 B 增大时也增大 C 其中一个减小 另一个会增大 D A 和 B 同时成立 5 在多元线性回归分析中 设是的最小二乘估计 是残差向量 则 Y X X A B n 0 1 XX 2 2 n n C Co ov v I IX X X X C 是的无偏估计 D A B C 都对 1np 2 二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 2 分 共 10 分 题题 号号一一二二三三四四五五总分总分 得得 分分 得分 得分 数理统计 B 卷 第 2 页 共 8 页 6 设总体和相互独立 且都服从正态分布 而和XY 2 0 3 N 129 XXX 是分别来自和的样本 则服从的分布是 129 Y YY XY 19 22 19 XX U YY 7 设与都是总体未知参数的估计 且比有效 则与的期望与方差满 1 2 1 2 1 2 足 8 设总体 已知 为样本容量 总体均值的置信水平为的 2 NX 2 n 1 置信区间为 则的值为 XX 9 设为取自总体的一个样本 对于给定的显著性水平 已 n XXX 21 2 NX 知关于检验的拒绝域为 2 则相应的备择假设为 2 1 2 1 n 1 H 10 多元线性回归模型中 的最小二乘估计是 Y X X 三 计算题 本大题共 5 小题 每小题 10 分 共 50 分 11 已知总体的概率密度函数为其中未知参数 X 1 0 0 x ex f x 其它 0 为取自总体的一个样本 求的矩估计量 并证明该估计量是无偏估计 12 n XXX 量 12 设是来自总体 的样本 未知 求的最大似然估计量 n XXX 21 X P0 得分 数理统计 B 卷 第 3 页 共 8 页 13 已知两个总体与独立 未知 XY 2 11 X 2 22 Y 22 1212 和分别是来自和的样本 求的置信度为的置 1 12 n XXX 2 12 n Y YY XY 2 1 2 2 1 信区间 14 合格苹果的重量标准差应小于 0 005 公斤 在一批苹果中随机取 9 个苹果称重 得其样本修正标准差为公斤 试问 1 在显著性水平下 可否认为007 0 S05 0 该批苹果重量标准差达到要求 2 如果调整显著性水平 结果会怎样 0 025 023 19 9 2 025 0 919 16 9 2 05 0 535 17 8 2 025 0 507 15 8 2 05 0 15 设总体 为未知参数 为来自于的简单随机X 1 aNaRa n XXX 21 X 样本 现考虑假设 为已知数 00 aaH 01 aaH 0 a 取 试用广义似然比检验法检验此假设 写出拒绝域即可 05 0 96 1 025 0 u 65 1 05 0 u024 5 1 2 025 0 841 3 1 2 05 0 四 证明题 本大题共 2 小题 每小题 10 分 共 20 分 16 设总体服从分布 为总体的样本 证明是参数的一个X 1 Bp 12 n X XX Xp 得分 数理统计 B 卷 第 4 页 共 8 页 UMVUE 17 设是来自两参数指数分布 1 n XX 1 0 x p xex 的样本 证明是充分统计量 1 X X 五 综合分析题 本大题共 10 分 18 现收集了 16 组合金钢中的碳含量及强度的数据 求得XY 16 2 1 1616 2 11 0 125 45 788 0 3024 25 5218 2432 4566 i i iii ii xyxx xxyyyy 1 建立关于的一元线性回归方程 YXxy 10 2 对与的线性关系做显著性检验 YX05 0 60 4 14 1 05 0 F1448 2 14 025 0 t 7613 1 14 05 0 t 得分 数理统计 B 卷 第 5 页 共 8 页 安徽大学安徽大学 2011 2012 学年第一学期学年第一学期 数理统计 B 卷 考试试题参考答案及评分标准卷 考试试题参考答案及评分标准 一 选择题 每小题 2 分 共 10 分 1 A 2 D 3 C 4 C 5 B 二 填空题 每小题 2 分 共 10 分 6 7 8 9 t 1212 EEDD 2 n 9 10 2 0 2 1 2 2 C Co ov v X X X X 三 计算题 本大题共 5 小题 每小题 10 分 共 50 分 11 解 1 用代替 所以 1 0 1 x vE Xxf x dxxedx 1 1 1 n i i vXX n n i i XX n 1 1 5 分 2 所以该估计量是无偏估计 1 1 n i i EE XE XE X n 10 分 12 解 总体的分布律为X 1 2 x p xP Xxex x 设为样本的一个观察值 似然函数 12 n x xx 12 n XXX 111 ii xx nnn n i iii ii LP Xxee xx 4 分 对数似然函数 1 ln lnln n ii i Lnxx 11 11 ln 0 0 nn ii ii d Lnxx dn 2 22 1 1 ln 0 n i i x dn Lx dx 所以是的最大似然估计值 的最大似然估计量为 x X 10 分 数理统计 B 卷 第 6 页 共 8 页 13 解 设布定理知的样本方差 由抽样分 分别表示总体YXSS 2 2 2 1 2121 212 1 1 1 1 1P FnnFFnn 则 22222 12112 2 1 2122 212 1 1 1 1 1 SSSS P FnnFnn 所求的置信度为的置信区间为 2 2 2 1 1 10 分 2222 1212 1 212 212 1 1 1 1 SSSS FnnFnn 14 解 1 则应有 2 222 0 2 1 0 005 8 nS H 222 0 050 05 80 005 8 15 507P 具体计算得 所以拒绝假设 即认为苹果重量标准 2 2 2 8 0 007 15 6815 507 0 005 0 H 差指标未达到要求 5 分 2 新设 由 则接受 2 0 0 005 H 2 22 0 025 2 8 0 007 17 535 15 6817 535 0 005 假设 即可以认为苹果重量标准差指标达到要求 10 分 15 解 似然函数为 n i i aX n n eaxxL 1 2 2 1 2 1 2 1 从而 n i i aX n n eaxxL 1 2 0 2 1 2 01 2 1 又参数的极大似然估计为 于是aX n i i XX n n Ra eaxxL 1 2 2 1 2 1 2 1 sup 得似然比函数为 2 exp sup 2 0 01 1 1 aX n axxL axxL xx n n Ra n 5 分 给定 得05 0 ln2 05 0 0 2 00001 aXnPaaxxP n 因为当成立时 此即 0 H 2 0 aXn 1 2 0 2 05 0 ln284 3 1 从而上述问题的拒绝域是 84 3 2 00 aXnW 10 分 四 证明题 本大题共 2 小题 每小题 10 分 共 20 分 16 证明 的分布律为X 1 1 0 1 xx f x pppx 数理统计 B 卷 第 7 页 共 8 页 容易验证满足正则条件 于是 f x p 2 1 ln 1 I pEf x p ppp 5 分 另一方面 1 1 1 Var Var pp XX nnnI p 即得方差达到 C R 下界的无偏估计量 故是的一个 UMVUE XXp 10 分 17 证明 样本的联合密度函数为 1 1 1 1 11 n i i x nx n nn nxx P xxeIeI 5 分 取 1 1 1 1 1 2 nx n n xn tx xg teIh xx 故由因子分解定理 是充分统计量 1 X X 10 分 五 综合分析题 本大题共 10 分 18 解 1 根据已知数据可以得到回归系数的估计为 16 1 116 2 1 01 25 5218 84 3975 0 3024 45 78884 3975 0 12535 2389 ii i i i xxy