高中数学百大经典例题——算术平均数与几何平均数（新课标）

用心 爱心 专心 典型例题一典型例题一 例例 1 已知 求证Rcba 222 cabcabcba 证明 证明 abba2 22 bccb2 22 三式相加 得caac2 22 即 2 2 222 cabcabcba 222 cabcabcba 说明 说明 这是一个重要的不等式 要熟练掌握 典型例题二典型例题二 例例 2 已知是互不相等的正数 cba 求证 abcbaccabcba6 222222 证明 证明 02 22 abccb abccba2 22 同理可得 abcbacabccab2 2 2222 三个同向不等式相加 得 abcbaccabcba6 222222 说明 说明 此题中互不相等 故应用基本不等式时 等号不成立 特别地 cba 时 所得不等式 仍不取等号 ba cb 典型例题三典型例题三 例例 3 求证 2 222222 cbaaccbba 分析 分析 此问题的关键是 灵活运用重要基本不等式 并能由abba2 22 这一特征 思索如何将进行变形 进行创造 2cba abba2 22 证明 证明 abba2 22 两边同加得 22 ba 222 2baba 即 2 2 22 ba ba 用心 爱心 专心 2 2 2 1 22 bababa 同理可得 2 2 22 cbcb 2 2 22 acac 三式相加即得 2 222222 cbaaccbba 典型例题四典型例题四 例例 4 若正数 满足 则的取值范围是 ab3 baabab 解 解 令 得 Rba 323 abbaababy 032 2 yy 或 舍去 3 y1 y 的取值范围是9 2 abyab 9 说明 说明 本题的常见错误有二 一是没有舍去 二是忘了还原 得1 y 出 前者和后者的问题根源都是对的理解 前者忽视了后者错误 3abab 0 ab 地将视为 2 yab 因此 解题过程中若用换元法 一定要对所设 元 的取值范围有所了解 并注意还原 之 典型例题五典型例题五 例例 5 1 求的最大值 4 16 2 2 x x y 2 求函数的最小值 并求出取得最小值时的值 1 4 2 2 x xyx 3 若 且 求的最小值 0 0 yx2 yx 22 yx 解 解 1 4 16 2 2 x x y 1 3 1 6 3 1 16 2 2 2 2 x x x x 3 32 6 用心 爱心 专心 即的最大值为y 3 当且仅当时 即 时 取得此最大值 1 3 1 2 2 x x2 2 x2 x 2 1 1 4 1 1 4 2 2 2 2 x x x xy3142 的最小值为 3 当且仅当 即 y1 1 4 2 2 x x 4 1 22 x21 2 x 时取得此最小值 1 x 3 即xyyx2 22 222 2yxyx 2 2 22 yx yx 即的最小值为 2 2 yx2 22 yx 22 yx 当且仅当时取得此最小值 4 yx 说明 说明 解这类最值 要选好常用不等式 特别注意等号成立的条件 典型例题六典型例题六 例例 6 求函数的最值 x xy 3 21 分析 分析 本例的各小题都可用最值定理求函数的最值 但是应注意满足相应条件 如 应分别对两种情况讨论 如果忽视的条件 就会发生如下错误 0 x0 0 xx Rx 621 3 221 3 2 1 3 21 x x x x x xy 621 max y 解 解 当时 又 0 x0 3 02 x x6 3 2 x x 当且仅当 即时 函数有最小值 x x 3 2 2 6 x x x 3 2 62 621 max y 当时 又 0 x0 3 02 x x6 3 2 x x 当且仅当 即时 函数最小值 x x 3 2 2 6 x 3 2 x x 62 621 min y 典型例题七典型例题七 用心 爱心 专心 例例 7 求函数的最值 9 10 2 2 x x y 分析 分析 2 9 1 9 9 1 9 2 2 2 2 x x x x y 但等号成立时 这是矛盾的 于是我们运用函数在时单调递增8 2 x x xy 1 1 x 这一性质 求函数的最值 3 1 t t ty 解 解 设 39 2 xt t t x x y 1 9 10 2 2 当时 函数递增 3 t t ty 1 故原函数的最小值为 无最大值 3 10 3 1 3 典型例题八典型例题八 例例 8 8 求函数的最小值 4 5 2 2 x x y 分析 分析 用换元法 设 原函数变形为 再利用函数24 2 xt 2 1 t t ty 的单调性可得结果 或用函数方程思想求解 2 1 t t ty 解 解 解法一 设 故24 2 xt 2 1 4 5 2 2 t t t x x y 21 21 21 21 212112 1 11 2 tt tt tt tt ttyytt 设 由 得 故 20 2121 tttt 01 21 tt 21 yy 函数为增函数 从而 2 1 t t ty 2 5 2 1 2 y 解法二 设 知 可得关于 的二次方程 由根与24 2 tx 2 1 t t tyt01 2 ytt 系数的关系 得 1 21 tt 用心 爱心 专心 又 故有一个根大于或等于 2 2 t 设函数 则 即 故 1 2 ytttf0 2 f0124 y 2 5 y 说明 说明 本题易出现如下错解 要知道 2 4 1 4 4 5 2 2 2 2 x x x x y 无实数解 即 所以原函数的最小值不是 2 错误原因是忽视了等 4 1 4 2 2 x x2 y 号成立的条件 当 为常数 且为定值 时 不能直接求最大 小 值 可以ababba ab ba 2 利用恒等变形 当之差最小时 再求原函数的最大 小 abbaba4 2 ba 值 典型例题九典型例题九 例例 9 9 求的最小值 4 0 0 baba 22 11 b b a a 分析 分析 此题出现加的形式和平方 考虑利用重要不等式求最小值 解 解 由 得 4 ba 2162 222 ababbaba 又得 即 2 22 abba abab2216 4 ab 2 11 11 2 22 b b a a b b a a 2 25 2 4 4 4 4 4 4 22 ab 故的最小值是 22 11 b b a a 2 25 说明 说明 本题易出现如下错解 故844 1 2 1 2 11 22 22 b b a a b b a a 的最小值是 8 22 11 b b a a 错误的原因是 在两次用到重要不等式当等号成立时 有和 但在的条1 a1 b4 ba 件下 这两个式子不会同时取等号 排除错误的办法是看都取等号时 与31 ba时 题设是否有矛盾 典型例题十典型例题十 用心 爱心 专心 例例 1010 已知 求证 Rcba cba c ab b ac a bc 分析 分析 根据题设 可想到利用重要不等式进行证明 证明 证明 2 22 2 c b ac a bc c ab abc b ac a bc 即 同理 a c ab b ac b c ab a bc 2 2 22cba c ab b ac a bc cba c ab b ac a bc 说明 说明 证明本题易出现的思维障碍是 1 想利用三元重要不等式解决问题 2 不会利 用重要不等式的变式 3 不熟练证明轮换对称不等式的常用方法 因此 在ab ba 2 证明不等式时 应根据求证式两边的结构 合理地选择重要不等式 另外 本题的证明方法 在证轮换对称不等式时具有一定的普遍性 典型例题十一典型例题十一 例例 1111 设 且 Redcba 8 edcba 求的最大值 16 22222 edcbae 分析 分析 如何将与用不等式的形式联系起来 是本题获解的关键 算术平均 22 ba ba 数与几何平均数定理两边同加之后得 abba2 22 22 ba 222 2 1 baba 解 解 由 则有 222 2 1 baba 4 1 2 1 2222222 dcbadcbadcba 5 16 0 8 4 1 16 22 eee 5 16 5 6 时 当 最大值 edcba 说明 说明 常有以下错解 abcdcdabdcbae4 216 22222 4 48abcddcbae 故 abcd e abcd e 4 2 22 4 8 4 16 用心 爱心 专心 两式相除且开方得 5 16 01 4 8 16 2 2 e e e 错因是两不等式相除 如 相除则有 2 1 1 12 22 不等式是解决从 和 到 积 的形式 从 和 到 积 怎么办呢 222 2 1 baba 有以下变形 或 222 2 1 baba 2 1 2 22 ba ba 典型例题十二典型例题十二 例例 1212 已知 且 求证 并且求等号成立的条0 yx 1 xy22 22 yx yx 件 分析 分析 由已知条件 可以考虑使用均值不等式 但所求证的式子中有 Ryx yx 无法利用 故猜想先将所求证的式子进行变形 看能否出现型 xyyx2 1 yx yx 再行论证 证明 证明 1 0 0 xyyxyx 又 yx xyyx yx yx 2 222 yx yx 2 22 2 2 yx yx 等号成立 当且仅当时 2 yx yx 4 2 2 222 yxyxyx 6 1 2 yxxy 6 yx 用心 爱心 专心 由以上得 2 26 2 26 yx 即当时等号成立 2 26 2 26 yx 说明 说明 本题是基本题型的变形题 在基本题型中 大量的是整式中直接使用的均值不等式 这容易形成思维定式 本题中是利用条件将所求证的式子化成分式后再使用均值不等式 要 注意灵活运用均值不等式 典型例题十三典型例题十三 例例 1313 已知 且 求的最大值 00 yx 302 xyyxxy 分析 分析 由 可得 302 xyyx 300 2 30 x x x y 故 令 300 2 30 2 x x xx xy x xx t 2 30 2 利用判别式法可求得 即 的最大值 但因为有范围的限制 还必须txyx300 x 综合韦达定理展开讨论 仅用判别式是不够的 因而有一定的麻烦 下面转用基本不等式求 解 解法一 解法一 由 可得 302 xyyx 300 2 30 x x x y x xx x xx xy 2 64 2 34 2 2 30 22 2 64 2 34 x x 注意到 16 2 64 2 2 2 64 2 x x x x 可得 18 xy 当且仅当 即时等号成立 代入中得 故 2 64 2 x x6 x302 xyyx3 y 的最大值为 18 xy 解法二 解法二 Ryx xyxyyx 22222 代入中得 302 xyyx3022 xyxy 解此不等式得 下面解法见解法一 下略 180 xy 说明 说明 解法一的变形是具有通用效能的方法 值得注意 而解法二则是抓住了问题的本 用心 爱心 专心 质 所以解得更为简捷 典型例题十四典型例题十四 例例 1414 若 且 求证 Rcba 1 cba81 1 1 1 1 1 cba 分析 分析 不等式右边的数字 8 使我们联想到可能是左边三个因式分别使用基本不等式 所得三个 2 连乘而来 而 a bc a cb a a a 21 1 1 证明 又 a cb a a a 1 1 1 0 a0 b0 c 即 a bc a cb2 a bc a a21 同理 b ca b 2 1 1 c ab c 2 1 1 81 1 1 1 1 1 cba 当且仅当时 等号成立 3 1 cba 说明 说明 本题巧妙利用的条件 同时要注意此不等式是关于的轮换式 1 cbacba 典型例题十五典型例题十五 例例 1515 设 求证 Rcba 2 222222 cbaaccbba 分析 分析 本题的难点在于不易处理 如能找出与 222222 accbba 22 ba 之间的关系 问题可得到解决 注意到 ba babababaabba 2 22 2222222 则容易得到证明 证明 证明 2222222 2 22baabbabaabba 于是 2 2 2 2 22 bababa 同理 2 2 22 cbcb 2 2 22 acac 三式相加即得 2 222222 cbaaccbba 用心 爱心 专心 说明 说明 注意观察所给不等式的结构 此不等式是关于的轮换式 因此只需抓住cba 一个根号进行研究 其余同理可得 然后利用同向不等式的可加性 典型例题十六典型例题十六 例例 1616 已知 其中表示正实数 Rba R 求证 ba ab bababa 11 2 222 2 22 分析 分析 要证明的这一串不等式非常重要 称为平方根 称为算术平均 2 22 ba 2 ba 数 称为几何平均数 称为调和平均数 ab ba 11 2 证明 证明 0 4 1 22 2 2 2 22 ba baba 2 2 22 22 baba Rba 当且仅当 时等号成立 22 22 baba ba 0 4 1 22 2 2 ba baba 等号成立条件是 2 22 baba ba 0 4 1 2 2 2 baab ba 等号成立条件是 ab ba 2 2 ba ba ababba ba ab ab ba ab 2 2 11 2 用心 爱心 专心 0 2 2 ba baab ba abbaab 等号成立条件是 ba ab 11 2 ba 说明 说明 本题可以作为均值不等式推论 熟记以上结论有利于处理某些复杂不等式的证明 问题 本例证明过程说明 不等式性质中的比较法是证明不等式的最基本 最重要的方法 典型例题十七典型例题十七 例例 1717 设实数 满足 求 1 a 1 b 1 c 2 a 2 b 2 c0 21 aa 2 111 bca 2 222 bca 证 2 212121 bbccaa 分析 分析 由条件可得到 同号 为方便 不妨都设为正 将求证式子的左 1 a 2 a 1 c 2 c 边展开后可看出有交叉项和无法利用条件 但使用均值不等式变成乘积后 重新搭 21c a 12c a 配 可利用条件求证 证明 证明 同号 2121 0aaaa 同理 由知与同号 与同号 2 222 2 111 bcabca 1 a 1 c 2 a 2 c 同号 不妨都设为正 1 a 1 c 2 a 2 c 122122112121 cacacacaccaa 1221 2 2 2 1 2cacabb 2211 2 2 2 1 2cacabb 2 2 2 1 2 2 2 1 2bbbb 2 21 2 2 2 1 bbbb 2 2121 2 2 2 1 2bbbbbb 即 2 212121 bbccaa 说明 说明 本题是根据题意分析得 同号 然后利用均值不等式变形得 1 a 1 c 2 a 2 c 证 换一个角度 由条件的特点我们还会联想到使用二次方程根的判别式 可能会有另一类 证法 用心 爱心 专心 实际上 由条件可知 为同号 不妨设同为正 又 1 a 1 c 2 a 2 c 2 111 bca 2 222 bca 2 111 44bca 2 222 44bca 不等式 对任意实数恒成立 根据二次三02 11 2 1 cxbxa02 22 2 2 cxbxax 项式恒为正的充要条件 两式相加得 它对任意0 2 2121 2 21 ccxbbxaa 实数恒成立 同上可得 x 2 212121 bbccaa 典型例题十八典型例题十八 例例 1818 如下图所示 某畜牧基地要围成相同面积的羊圈 4 间 一面可利用原有的墙壁 其余各面用篱笆围成 篱笆总长为 36m 问每间羊圈的长和宽各为多少时 羊圈面积最大 分析 分析 可先设出羊圈的长和宽分别为 即求的最大值 注意条件xyxy 的利用 3664 yx 解 解 设每间羊圈的长 宽分别为 则有 即 设xy3664 yx1832 yx xyS 623223218xyyxyx 2 27 2 27 Sxy即 上式当且仅当时取 yx32 此时 1832 32 yx yx 3 2 9 y x 羊圈长 宽分别为m 3m 时面积最大 2 9 说明 说明 1 首先应设出变量 此处是长和宽 将题中条件数学化 即建立数学模型 才 能利用数学知识求解 2 注意在条件之下求积的最大值的方法 直接用不1832 yxxy 等式 即可出现积 当然 也可用 减少变量 的方法 yxyx3223218 xy 当且 2 2 2182 6 1 218 2 6 1 218 3 1 218 3 1 xx xxxxxySxy 用心 爱心 专心 仅当时取 xx2182 典型例题十九典型例题十九 例例 1919 某单位建造一间地面面积为 12m2的背面靠墙的矩形小房 房屋正面的造价为 1200 元 m2 房屋侧面的造价为 800 元 m2 屋顶的造价为 5800 元 如果墙高为 3m 且不计房屋 背面的费用 问怎样设计房屋能使总造价最低 最低总造价是多少元 分析 分析 这是一个求函数最小值的问题 关键的问题是设未知数 建立函数关系 从已知 条件看 矩形地面面积为 12m2 但长和宽不知道 故考虑设宽为m 则长为m 再设总造x x 12 价为 由题意就可以建立函数关系了 y 解 解 设矩形地面的正面宽为m 则长为m 设房屋的总造价为 根据题意 可得 x x 12 y 58002800 12 312003 x xy 5800 57600 3600 x x 5800 16 236005800 16 3600 x x x x 34600580028800元 当 即时 有最小值 34600 元 x x 16 4 xy 因此 当矩形地面宽为 4m 时 房屋的总造价最低 最低总造价是 34600 元 说明 说明 本题是函数最小值的应用题 这类题在我们的日常生活中经常遇到 有求最小值 的问题 也有求最大值的问题 这类题都是利用函数式搭桥 用均值不等式解决 解决的关 键是等号是否成立 因此 在解这类题时 要注意验证等号的成立 典型例题二十典型例题二十 例例 2020 某单位决定投资 3200 元建一仓库 长方体状 高度恒定 它的后墙利用旧墙不 花钱 正面用铁栅 每 1m 长造价 40 元 两侧墙砌砖 每 1m 长造价 45 元 顶部每 1m2造价 20 元 计算 1 仓库底面积 的最大允许值是多少 2 为使 达到最大 而实际投资又不超过预算 那么正面铁栅应设计为多长 分析 分析 用字母分别表示铁栅长和一堵砖墙长 再由题意翻译数量关系 解