高中数学知识点训练25 函数

用心 爱心 专心 1 解答题模块练解答题模块练 训练训练 2525 函数函数 推荐时间 75 分钟 1 记函数f x 的定义域为A g x lg x a 1 2a x a0 那么该函数在 0 上是减函数 a xa 在 上是增函数 a 1 如果函数y x 在 0 4 上是减函数 在 4 上是增函数 求实常数b的值 2b x 2 设常数c 1 4 求函数f x x 1 x 2 的最大值和最小值 c x 6 已知函数f x x g x x ln x 其中a 0 1 若x 1 是函数h x f x a2 x g x 的极值点 求实数a的值 2 若对任意的x1 x2 1 e e 为自然对数的底数 都有 用心 爱心 专心 2 f x1 g x2 成立 求实数a的取值范围 答案 1 解 1 由 2 0 得 0 x 3 x 1 x 1 x 1 解上式得x0 得 x a 1 x 2a 0 由a2a 所以g x 的定义域B 2a a 1 又因为B A 则可得 2a 1 或a 1 1 即a 或a 2 1 2 因为a 1 所以 a 1 或a 2 1 2 故当B A时 实数a的取值范围是 2 1 2 1 2 解 1 f x g x x2 ax b 2 4 分别是f x x2 ax b 0 的两实根 a 2 4 2 b 2 4 8 f x x2 2x 8 2 g x 在区间 1 3 上是单调递减函数 g x 0 即f x x2 ax b 0 在 1 3 上恒成立 Error 即Error A点坐标为 2 3 a2 b2的最小值为 13 3 1 解 当a 3 时 f x x3 x2 3x 3 1 3 用心 爱心 专心 3 f x x2 2x 3 x 3 x 1 令f x 0 得x1 1 x2 3 当x0 则f x 在 1 上单调递增 当 1 x 3 时 f x 3 时 f x 0 f x 在 3 上单调递增 当x 1 时 f x 取得极大值为 f 1 1 3 3 1 3 14 3 当x 3 时 f x 取得极小值为 f 3 27 9 9 3 6 1 3 2 证明 f x x2 2x a 4 4a 4 1 a 由a 1 则 0 f x 0 在 R R 上恒成立 f x 在 R R 上单调递增 f 0 a0 当a 1 时 函数f x 的图象与x轴有且只有一个交点 4 解 1 设x1 x2 5 则 x2 5 x2 5 x1 5 x1 5 10 x2 x1 0 1 x1 5 x2 5 若a 1 则f x2 f x1 0 f x2 f x1 此时f x 在 5 内是增函数 若 0 a 1 则f x2 f x1 0 f x2 f x1 此时f x 在 5 内是减函数 2 由g x 1 loga x 3 及f x g x 得 1 loga x 3 loga a x 5 x 5 x 5 x 3 x 5 由Error x 5 令h x 则h x 0 x 5 x 3 x 5 由 x 5 12 1 h x x 3 x 5 x 5 20 x 5 4 12 5 当且仅当Error x 5 2时等号成立 5 用心 爱心 专心 4 0 h x 1 4 5 12 故所求a的取值范围是 0 a 1 12 4 5 5 解 1 由函数y x 的性质知 y x 在 0 上是减函数 在 上 a x 2b x2b2b 是增函数 4 2b 16 24 b 4 2b 2 c 1 4 1 2 c 又 f x x 在 0 上是减函数 在 上是增函数 c xcc 在x 1 2 上 当x 时 函数取得最小值 2 cc 又f 1 1 c f 2 2 c 2 f 2 f 1 1 c 2 当c 1 2 时 f 2 f 1 0 f 2 f 1 此时f x 的最大值为f 2 2 c 2 当c 2 时 f 2 f 1 0 f 2 f 1 此时f x 的最大值为f 2 f 1 3 当c 2 4 时 f 2 f 1 0 f 2 f 1 此时f x 的最大值为f 1 1 c 综上所述 函数f x 的最小值为 2 c 当c 1 2 时 函数f x 的最大值为 2 c 2 当c 2 时 函数f x 的最大值为 3 当c 2 4 时 函数f x 的最大值为 1 c 6 解 1 h x 2x ln x a2 x 其定义域为 0 h x 2 a2 x2 1 x x 1 是函数h x 的极值点 h 1 0 即 3 a2 0 a 0 a 3 经检验当a 时 x 1 是函数h x 的极值点 a 33 用心 爱心 专心 5 2 对任意的x1 x2 1 e 都有f x1 g x2 成立等价于对任意的x1 x2 1 e 都有f x min g x max 当x 1 e 时 g x 1 0 1 x 函数g x x ln x在 1 e 上是增函数 g x max g e e 1 f x 1 a2 x2 x a x a x2 且x 1 e a 0 当 0 a 1 且x 1 e 时 f x 0 x a x a x2 函数f x x 在 1 e 上是增函数 a2 x f x min f 1 1 a2 由 1 a2 e 1 得a e 又 0 a 1 a不合题意 当 1 a e 时 若 1 x a 则f x 0 x a x a x2 若a x e 则f x 0 x a x a x2 函数f x x 在 1 a 上是减函数 a2 x 在 a e 上是增函数 f x min f a 2a 由 2a e 1 得a e 1 2 又 1 a e a e e 1 2 当a e 且x 1