高二数学 上学期直线的方程 第三课时教案二

用心 爱心 专心 高二数学高二数学 上学期直线的方程教案二 第三课时上学期直线的方程教案二 第三课时 教学目标 一 教学知识点 直线方程的一般式 二 能力训练要求 1 明确直线方程一般式的形式特征 2 会根据直线方程的一般式求斜率和截距 3 会把直线方程的点斜式 两点式化为一般式 三 德育渗透目标 1 认识事物之间的普遍联系与相互转化 2 用联系的观点看问题 教学重点 直线方程的一般式 教学难点 直线方程一般式的理解与应用 教学方法 学导式 在前两节学习直线方程的点斜式 斜截式 两点式 截距式的基础上 引导学生认识 它们的实质 即都是二元一次方程 从而对直线和二元一次方程的关系进行研究 在研究二元一次方程时 通过对x y的系数进行分类讨论 来得出直线方程的一般式 与几种特殊形相互转化的条件 为下一节利用直线方程的一般式进一步研究两条直线的位置 关系打好基础 教具准备 投影片三张 第一张 直线和二元一次方程的关系 记作 7 2 3 A 第二张 例题 6 记作 7 2 3 B 第三张 例题 7 记作 7 2 3 C 教学过程 课题导入 师 前面几节课 我们学习了直线方程的点斜式 斜截式 两点式 截距式等形式 对直线方程的表示形式有了一定的认识 现在 我们来回顾一下它们的基本形式 生 点斜式的基本形式 y y1 k x x1 适用于斜率存在的直线 斜截式的基本形式 y kx b 适用于斜率存在的直线 两点式的基本形式 x1 x2 y1 y2 12 1 12 1 xx xx yy yy 适用于斜率存在且不为 0 的直线 截距式的基本形式 1 a b 0 b y a x 用心 爱心 专心 适用于横纵截距都存在且不为 0 的直线 师 大家从上述四种形式的直线方程中 能否找到它们的共同特点呢 生 都是关于x y的二元一次方程 师 由此我们可以得出 直线与二元一次方程有着一定的关系 这也正是这节课 我们将继续研究的内容 讲授新课 给出投影片 7 2 3 A 1 直线和二元一次方程的关系 1 在平面直角坐标系中 对于任何一条直线 都有一个表示这条直线的关于x y 的二元一次方程 因为在平面直角坐标系中 每一条直线都有倾斜角 在 90 和 90 两种情况 下 直线的方程可分别写成y kx b和x x1这两种形式 它们又都可变形为 Ax By C 0 的形式 且A B不同时为 0 2 在平面直角坐标系中 任何关于x y的二元一次方程都表示一条直线 因为x y的二元一次方程的一般形式是Ax By C 0 其中A B不同时为 0 在 B 0 和B 0 的两种情况下 二元一次方程可分别化成直线的斜截式方程y 和表示与y轴平行或重合的直线方程x B C x B A A C 师 根据上述结论 我们可以得到直线方程的一般式 2 直线方程的一般式 Ax By C 0 其中A B不同时为 0 师 从直线与二次一次方程的关系的讨论中 我们得知 直线方程的几种特殊形式 与直线方程的一般式在一定条件下可以转化 下面我们通过例题来具体地研究 3 例题讲解 例 6 已知直线经过点A 6 斜率为 求直线的点斜式和一般式方程 3 4 分析 本题中的直线方程的点斜式可直接代入点斜式得到 主要让学生体会由点斜式 向一般式的转化 把握直线方程一般式的特点 解 经过点A 6 并且斜率等于 的直线方程的点斜式是 3 4 y x 6 3 4 化成一般式得 x 3y 12 0 评述 对于直线方程的一般式 一般作如下约定 x的系数为正 x y的系数及常数 项一般不出现分数 一般按含x项 含y项 常数项顺序排列 求直线方程的题目 无特别要求时 结果写成直线方程的一般式 例 7 把直线l的方程x 2y 6 0 化成斜截式 求出直线l的斜率和它在x轴与 y轴上的截距 并画图 解 将原方程移项 得 2y x 6 两边除以 2 得斜截式y x 3 令y 0 可得 2 1 x 6 因此 直线l的斜率k 它在x轴上的截距为 6 在y轴上的截距是 3 2 1 用心 爱心 专心 由上述过程可得直线l与x轴 y轴的交点为A 6 0 B 0 3 过点A B作直 线 就得直线l 评析 此题应启发学生掌握直线方程一般式与斜截式的互化 并能求出直线的斜率与 截距 师 下面 我们主要通过练习来熟悉直线方程的一般式 课堂练习 课本P 3练习 1 根据下列各条件写出直线的方程 并且化成一般式 1 斜率是 经过点A 2 2 1 2 经过点B 2 平行于x轴 3 在x轴和y轴上的截距分别是 3 2 3 4 经过两点P1 3 2 P2 5 解 1 由点斜式得 y 2 x 2 1 化成一般式得 x 2y 0 2 由斜截式得 y 2 化成一般式得y 2 0 3 由截距式得1 3 2 3 yx 化成一般式得 2x y 3 0 4 由两点式得 35 3 2 4 2 xy 化成一般式得x y 1 0 2 已知直线Ax By C 0 1 当B 0 时 斜率是多少 当B 0 时呢 2 系数取什么值时 方程表示通过原点的直线 答 1 当B 0 时 方程可化为斜截式 y x 斜率k B A B C B A 当B 0 时 A 0 时 方程化为 用心 爱心 专心 x 与x轴垂直 所以斜率不存在 A C 2 若方程表示通过原点的直线 则 0 0 符合直线方程 则C 0 所以C 0 时 方程表示通过原点的直线 3 求下列直线的斜率和在y轴上的截距 并画出图形 1 3x y 5 0 2 1 2 x 2y 0 7x 6y 0 5 54 yx 2y 7 0 解 1 k 3 在y轴上截距为 5 2 化成斜截式得 y x 5 k b 5 4 5 4 5 3 化成斜截式得 y x k b 0 2 1 2 1 4 化成斜截式得 y 3 2 6 7 3 2 6 7 bkx 5 化成斜截式得 y k 0 b 2 7 2 7 图形如下依次给出 1 2 3 4 用心 爱心 专心 5 课时小结 通过本节学习 要求大家掌握直线方程的一般式 并能把点斜式 两点式化成一般式 并能求出直线的斜率和截距 对直线与二元一次方程的关系有一定的认识 课后作业 课本P44习题 7 2 5 一条直线和y轴相交于点P 0 2 它的倾斜角的正弦值是 求这条直线的方程 5 4 这样的直线有几条 解 设所求直线的倾斜角为 则 sin cos 5 4 2 5 4 1 5 3 tan 3 4 由点斜式得 y 2 x 3 4 所求直线有两条 方程分别为 y x 2 y x 2 3 4 3 4 9 菱形的两条对角线长分别等于 8 和 6 并且分别位于x轴和y轴上 求菱形各边所 在的直线的方程 解 设菱形的四个顶点为A B C D 如右图所示 根据菱形的对角线互相垂直且平分可知 顶点A B C D在 坐标轴上 且A C关于原点对称 B D也关于原点对称 所以A 0 C 0 B 0 3 D 0 3 由截 距式得 1 34 yx 即 3x y 12 0 这是直线AB的方程 由截距式得 1 即 3x y 12 0 34 yx 这是直线BC的方程 由截距式得 1 34 yx 即 3x y 12 0 这是直线AD的方程 由截距式得 用心 爱心 专心 1 即 3x y 12 0 34 yx 这是直线CD的方程 10 求过点P 2 3 并且在两轴上的截距相等的直线方程 解 在两轴上的截距都是 0 时符合题意 此时直线方程为 3x 2y 0 若截距不为 0 则设直线方程为 1 a y a x 将点P 2 3 代入得 1 aa 32 解得a 5 直线方程为 1 55 yx 即x y 5 11 直线方程Ax By C 0 的系数A B C满足什么关系时 这条直线有以下性质 1 与两条坐标轴都相交 2 只与x轴相交 3 只与y轴相交 4 是x轴所在直线 5 是y轴所在直线 答 1 当A 0 B 0 直线与两条坐标轴都相交 2 当A 0 B 0