高中数学《导数的几何意义》教案1 新人教A版选修2-2

1 1 1 3 1 1 3 导数的几何意义导数的几何意义 教学目标 1 了解平均变化率与割线斜率之间的关系 2 理解曲线的切线的概念 3 通过函数的图像直观地理解导数的几何意义 并会用导数的几何意义解题 教学重点 曲线的切线的概念 切线的斜率 导数的几何意义 教学难点 导数的几何意义 教学过程 一 创设情景 一 平均变化率 割线的斜率 二 瞬时速度 导数 我们知道 导数表示函数y f x 在x x0处的瞬时变化率 反映了函数y f x 在 x x0附近的变化情况 导数 0 fx 的几何意义是什么呢 二 新课讲授 一 曲线的切线及切线的斜率 如图 3 1 2 当 1 2 3 4 nnn P xf xn 沿着曲线 f x趋近于点 00 P xf x时 割线 n PP的变化趋势是什么 我们发现 当点 n P沿着曲线无限接近点P即 x 0 时 割线 n PP趋近于确定的位置 这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线 问题 割线 n PP的斜率 n k与切线PT的斜率k有什么关系 切线PT的斜率k为多少 图 3 1 2 2 容易知道 割线 n PP的斜率是 0 0 n n n f xf x k xx 当点 n P沿着曲线无限接近点P时 n k无限趋近于切线PT的斜率k 即 00 0 0 lim x f xxf x kfx x 说明 1 设切线的倾斜角为 那么当 x 0 时 割线 PQ 的斜率 称为曲线在点P处 的切线的斜率 这个概念 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法 切线斜率的本质 函数在 0 xx 处的导数 2 曲线在某点处的切线 1 与该点的位置有关 2 要根据割线是否有极限位置来判 断与求解 如有极限 则在此点有切线 且切线是唯一的 如不存在 则在此点处无切线 3 曲线的切线 并不一定与曲线只有一个交点 可以有多个 甚至可以无穷多个 二 导数的几何意义 函数y f x 在x x0处的导数等于在该点 00 xf x处的切线的斜率 即 00 0 0 lim x f xxf x fxk x 说明 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤 求出P点的坐标 求出函数在点 0 x处的变化率 00 0 0 lim x f xxf x fxk x 得到曲线在 点 00 xf x的切线的斜率 利用点斜式求切线方程 二 导函数 由函数f x 在x x0处求导数的过程可以看到 当时 0 fx 是一个确定的数 那么 当x变化时 便是x的一个函数 我们叫它为f x 的导函数 记作 fx 或 y 即 0 lim x f xxf x fxy x 注 在不致发生混淆时 导函数也简称导数 三 函数 f x在点 0 x处的导数 0 fx 导函数 fx 导数 之间的区别与联系 1 函数在一点处的导数 0 fx 就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的 极限 它是一个常数 不是变数 2 函数的导数 是指某一区间内任意点x而言的 就是函数 f x 的导函数 3 函数 f x在点 0 x处的导数 0 fx就是导函数 fx 在 0 xx 处的函数值 这也是 求函数在点 0 x处的导数的方法之一 三 典例分析 例 1 1 求曲线y f x x2 1 在点P 1 2 处的切线方程 2 求函数y 3x2在点 1 3 处的导数 解 1 222 1 00 1 1 11 2 limlim2 x xx xxx y xx 3 所以 所求切线的斜率为 2 因此 所求的切线方程为22 1 yx 即20 xy 2 因为 2222 1 111 33 13 1 limlimlim3 1 6 11 x xxx xx yx xx 所以 所求切线的斜率为 6 因此 所求的切线方程为36 1 yx 即 630 xy 2 求函数f x xx 2 在1x 附近的平均变化率 并求出在该点处的导数 解 x x xx x y 3 2 1 1 2 2 00 1 1 2 1 limlim 3 3 xx yxx fx xx AA 例 2 课本例 2 如图 3 1 3 它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 2 4 96 510h xxx 根据图像 请描述 比较曲线 h t在 0 t 1 t 2 t附近的变 化情况 解 我们用曲线 h t在 0 t 1 t 2 t处的切线 刻画曲线 h t在上述三个时刻附近的变化情况 1 当 0 tt 时 曲线 h t在 0 t处的切线 0 l平行 于x轴 所以 在 0 tt 附近曲线比较平坦 几乎没有升降 2 当 1 tt 时 曲线 h t在 1 t处的切线 1 l的斜率 1 0h t 所以 在 1 tt 附近曲线下降 即函数 2 4 96 510h xxx 在 1 tt 附 近单调递减 3 当 2 tt 时 曲线 h t在 2 t处的切线 2 l的斜 率 2 0h t 所以 在 2 tt 附近曲线下降 即函数 2 4 96 510h xxx 在 2 tt 附近单调递减 从图 3 1 3 可以看出 直线 1 l的倾斜程度小于直线 2 l的倾斜程度 这说明曲线在 1 t附近 比在 2 t附近下降的缓慢 例 3 课本例 3 如图 3 1 4 它表示人体血管中药物浓度 cf t 单位 mg mL 随时间t 单位 min 变化的图象 根据图像 估计0 2 0 4 0 6 0 8t 时 血管中药物浓度的瞬时变化率 精确到0 1 4 解 血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率 就是药物浓度 f t在此时刻的导数 从 图像上看 它表示曲线 f t在此点处的切线的斜率 如图 3 1 4 画出曲线上某点处的切线 利用网格估计这条切线的斜率 可以得到此 时刻药物浓度瞬时变化率的近似值 作0 8t 处的切线 并在切线上去两点 如 0 7 0 91 1 0 0 48 则它的斜率 为 0 480 91 1 4 1 00 7 k 所以 0 8 1 4 f 下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值 t 0