简单六方结构二维光子晶体能带的COMSOL模拟

简单六方结构二 维光子晶体能带的 COMSOL 模拟 北京东之星 应用物理研究所 伍 勇 1 引言引言 COMSOL 携带的案例库里 其中一篇 以下简称 对砷化镓简单正方格子 2D 光子能带进行了完整计算和研究 本文将程序用于简单六方结构 并将结果在此做一介绍 2 关于关于 Floquet 弗洛盖 弗洛盖 波矢波矢 F k 这是入门 COMSOL 光子晶体能带模拟的重要概念 在另一案例 中 在 Floquet 周期性边界条件一段写明 由此由此我判断 Floquet 波矢就是波矢就是 BlochBloch 布 布 dk i e dx p x p 洛赫 波矢洛赫 波矢 但 帮助 文档中有 以正格子基矢表示 sinancosa sinkk 21211F 21 a a 其文没有任何几何插图和物理说明 使我决定必须在六方格子中 选择矩形单胞作为周期单元 以使计算机程序能够运行我的几何方 案 3 几何建模几何建模 图 1 作为试探选择的几何模型 圆形柱代表以 GaAs 作为格点材 料 在空气介质中周期性排列 形成二维六方结构人造晶体 是a 晶格常数 是 z 方向的单z 位矢量 形单胞六方格子光子晶体的矩图 1 以上根据倒格子基矢定义计算出 及其分量 由倒格子基矢 1 b 2 b 构建长方格子的布里渊区也是长方结构如图 2 1 b 2 b a3 a K M x k y k aa 1 aa3 2 z a 3 2 3aS 单胞面积 S aa kji aa a aa b yx 100 0 22 22 321 32 1 xyyxyx yx a aa aaa aa S 212122 11 100 0 0 S ya pi b x 22 1 S xa pi b y 22 1 aa a aa b 321 13 2 2 S ya pi b x 12 2 S xa pi b y 12 2 里渊区六方结构光子晶体的布图2 4 二维光子晶体主方程二维光子晶体主方程 COMSOL 在 模型开发器 电磁波 频域 写出方程 形式如下 0 0 2 0 1 E j kE rr 在中 下面目录 波方程 电 中直接简化为 0 2 0 Ek E r 电磁波在光子晶体中的传播遵从麦克斯韦方程 上述方程可由麦克 斯韦方程组出发导出 介质中的麦克斯韦方程组 D1 B30 t B E2 t D JH4 ED HB EJ 在电介质中一般认为自由电荷 自由电流密度 电导率 为零 本文档不考虑磁性质 0 0 J 1 r 传播模态电场函数 COMSOL 表达为 ti e z z ik e y x E t z y x E5 在周期结构中 它应具有 Bloch 波的性质 不考虑衰减损耗 注意 这里次上标的符号与我们习惯的教科书里正负符号相反 由 2 两端取旋度 将 4 代入得 2 2 t E E 22 k绝缘介质 22 0 2 0 2 00 22 nk c k rrrr rr v c n 00 折射率1 r 2 n r 为真空波数 应用 5 0 000 c k 如期得到前面提到的中的假设波方程 0 22 0 Enk E 利用 EE E E 22 偏振时 又称横磁场模式 对应的二维光子晶体主方程二维光子晶体主方程是 是 ETM 这里电场方 y x z Ekn y x z E yx 60 2 0 2 2 2 2 2 向平行于 z 轴 而磁场方向只分布在 x y 平面内 二维光子晶体主方程二维光子晶体主方程 是计算光子能带的出发点和源依据 6 5 折射率色散函数折射率色散函数 f n 是 COMSOL 计算能带的第二个关键点 描述折射率随频 f n 率参量的变化 格点材料砷化镓的 在有如下f f n 定义 n GaAs 3 3285e5 s 3 3285e5 s m c const f 3 5031m c const f 3 5031 参变量 参变量 f f 单位单位 HzHz 下限 下限 0 0 上限 上限 1 1 表示真空光速 我在软件 s m const c299792458 Mathematica 上化简这个函数 给出 并绘制图 3 如下 f GaAs n131097884950313 0 00 20 40 60 81 0 2 0 1014 4 0 1014 6 0 1014 8 0 1014 1 0 1015 1 2 1015 f n GaAs 的折射率随频率的变化光子晶体图GaAs3 经 COMSOL 计算机程序进行求解 得到 E 偏振情况下 2D 介质 GaAs 光子晶体能带结构 6 光子能带图 选取能量最低的光子能带图 选取能量最低的 5 个能带 个能带 1 沿布里渊区 10 方向 图 2 K 2 沿布里渊区 01 方向 M 1 2 7 电场传播模态电场传播模态 Z 分量分量的平面图的平面图 1 和高度图和高度图 2 y x z E A 10 band 1 平移组合了 6 个单胞图 1 2 B 01 band 5 1 2 8 讨论 作者又在文献 BandgapBandgap AndAnd FieldField PropagationPropagation AnalysisAnalysis UsingUsing PhotonicPhotonic CrystalCrystal I Internationalnternational J Journalournal ofof I Innovativennovative R Researchesearch inin C Computeromputer andand C Communicationommunication E Engineeringngineering An ISO 3297 2007 Certified Organization Vol 3 Special Issue 1 February 2015 中 看到晶体周 期单元适合计算机运行的相同本文的图示 受到启发 计算机看自然可能不会拘于人类目光所决定的一种格式 晶体状态也会有它本身具有的所有高低不同对称性和不同的能量