放缩法的应用技巧

放缩法的应用技巧放缩法的应用技巧 放缩法证明数列不等式是高考数学命题的热点和难点 所谓放缩法就是利用不等式的传递性 对不放缩法证明数列不等式是高考数学命题的热点和难点 所谓放缩法就是利用不等式的传递性 对不 等式的局部进行合理的放大和缩小从而向结论转化 其难度在于放缩的合理和适度 证明数列型不等式 等式的局部进行合理的放大和缩小从而向结论转化 其难度在于放缩的合理和适度 证明数列型不等式 因其思维跨度大 构造性强 需要有较高的放缩技巧从而充满思考性和挑战性 为了帮助更多的学生突因其思维跨度大 构造性强 需要有较高的放缩技巧从而充满思考性和挑战性 为了帮助更多的学生突 破这一难点 我们从以下几个方面对放缩法证明数列不等式的基本策略进行分析 破这一难点 我们从以下几个方面对放缩法证明数列不等式的基本策略进行分析 一 常见的放缩方法一 常见的放缩方法 证题中经常用到的放缩方法法有 1 添舍 放缩 对不等式一边添项或舍项以达到放大和缩小的效果 2 分式放缩 分别放缩分式的分子 分母或者同时放缩分子分母以达到放缩的效果 3 利用重要的不等式或结论放缩 把欲证不等式变形构造 然后利用已知的公式或恒不等式进行放缩 例如均值不等式 柯西不等式 绝对值不等式 二项式定理 贝努力公式 真分数性质定理等 4 单调性放缩 挖掘不等式的结构特征和函数内涵来构造单调数列或单调函数 利用单调性 值域产 生的不等关系进行放缩 二 常见的放缩控制二 常见的放缩控制 当我们选择了正确的放缩方法后 却往往会在放缩的过程中不知不觉间失控 导致放缩的过大或过 小 达不到欲证的目标 那么如何控制好放缩的尺度呢 例例 1 1 求证 4 71 3 1 2 1 1 1 2222 n 分析 1 不等式左边不能直接求和 我们希望通过合适的放缩后可以求和 若采取 的方法向右端放大 1 11 2 nnn 2 1 1 1 n nn 则左边 nn 1 1 32 1 21 1 1 2 1 1 1 1 3 1 2 1 4 7 2 1 2 1 1 1 nnn 很明显 放得有点大了 导致传递性失败 不等式链中断 放缩失败 那怎么办呢 1 调整放缩的调整放缩的 量量 的大小的大小 分析 2 分析 1 中 放 的有点过大 因为所以可 放大了 4 1 21 1 2 1 2 放大了18 1 32 1 3 1 2 以通过调整放大的 量 来控制放缩的效果 在分母减少了 n 我们可以把分母 1 11 2 nnn 只减少 1 即这样放的量就少了 2 1 1 1 1 2 1 1 11 22 n nnnn 证明 1 左边 1 1 4 时 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 2 1 11 11 1111 2343 165454 mm mmm aaaaaaaa 8 7 4 1 2 3 2 1 2 1 1 4 1 2 3 2 1 4 m 当 m 为奇数且 m 4 时 为偶数 1 m 8 71111111 15454 mmm aaaaaaa 综上可知 对于任意整数 m 4 都有 8 7111 54 m aaa 例例 9 9 求证 2 2 1 2 1 12 1 4 1 3 1 2 1 1Nnn n nn 分析 观察分母的变化规律 把若干项 捆绑 并为一项后进行放缩 然后求和就很容易实现欲证的目 标 证明 左边 2 1 12 1 12 1 16 1 15 1 10 1 9 1 8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 1nnn 2 1 2 1 2 1 16 1 16 1 16 1 16 1 8 1 8 1 8 1 8 1 4 1 4 1 2 1 1 nnn 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 n n 个共 四 利用递推关系式放缩四 利用递推关系式放缩 利用递推关系式本身蕴含的不等关系或放缩产生的不等关系 在很多题目中可以起到很好的放缩效果 例例 10 10 已知求证 2 12 3 11 kaaa kk 2 1 1 1 1 1 1 1 21 n aaa 分析 根据欲证不等式的结构特点 通过递推关系式构造关于的不等式 然后实现对通项的放缩 k a 1 证明 12 1 kk aa 41 1 21 11 aaa kk 且 1k 1 1 2 2 1 1 242221 1 1 1 1 1 1 1 a a a a a a a a k k k k k 1k 2 1 1 1 k a 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1n32 n 左边 例例 11 11 已知 证明 12 n n a 3 2111 132 n aaa 分析 通过对的适度放缩产生关于的不等递推关系式 然后谋求对的放缩 转化为熟悉的问题 n a n a k a 1 证明 1 1 2 12 22212 n nnn n aa 3 1 2 2 21 1 aan a a n n 且 323 2 2 2 3 2 1 1 n n n n n n a a a a a a a an 时 2 2 1 3 1 n n a 左边 3 2 2 1 1 3 2 2 1 2 1 2 1 1 3 1 12 n n 五 构造和数列后进行放缩五 构造和数列后进行放缩 如果数列不等式没有直接的求和的形式 很多时候可以间接的构造和数列 然后进行放缩处理 例例 12 12 已知 正数列满足 log 2 11 3 1 2 1 2n n n a 2 0 1 1 1 n an na aba n n n 证明 2 log2 2 2 n nb b an 分析 根据已知构造关于的递推关系式 然后利用 累加法 把不等式的左边转化为和数列的形式 n a 1 证明 1 1 0 n n n an na a naa nn 111 1 2 111 1 n naa nn bnnaaaaaaaa n nnnnn 1 2 1 1 111 11 11 11 1 2 112211 时 0 2 log21 log 2 11 2 2 b nb b n an log2 2 2n b b an 例例 13 13 已知函数 定义数列 2 1 2 f x x n x 1 0 x 1 nn xf x nN 若 证明 对任意都有 1 0 2 3 4 2 k xk mN 1 1 3 4 m kk k xx 分析 利用递推式构造关于的不等式 利用 绝对值不等式 把放缩为和数列的形式 1kk xx m kk xx 证明 由得 当时 1 0 x 2 1 2 x 3 4 9 x 2k 1 0 2 k x 22 1 1 2222 11 11 22 2 2 kk kk kkkk xx xx xxxx 11 4 kkkk xxxx 1 4 kk xx 114322 13232 11232 111 4418 kkkkkk kk kkkk xxxxxx xxxxxx xxxxxx 对 mN 1121 m kkm km km km kkk xxxxxxxx 1121m km km km kkk xxxxxx 342 1111 18 444 m km kk 2 111 1 11 1 181181111 44 1 1 182744274343 4 1 4 k m kkk mk 上面介绍的数列不等式主要与 求和 的形式有关 如果不等式的一边与求和没有直接的关系 也 可以辨析题目的结构特征