高二数学 代数不等式的解法典型例题分析

用心 爱心 专心 1 代数不等式的解法代数不等式的解法 例题例题 例例 5 3 15 3 1 解不等式 16x x4 x5 16 解解 原不等式可同解变形为 x5 x4 16x 16 0 左边分解因式 得同解不等式 x 1 x2 4 x 2 x 2 0 用数轴标根法 得不等式的解集为 x 2 x 1 或 x 2 注注 解实系数一元高次不等式 可先把最高次项的系数化为正数 并使右边为 0 再通 过因式分解 将左边变形 最后用数轴标根法求解集 例例 5 3 25 3 2 1 已知关于 x 的不等式 ax2 bx c 0 的解集为 求 ax2 bx c 的解集 并说明 b 的取值范围 a c 的关系 2 若 a 0 解不等式 a 1 x2 b 2 a x b2 0 解解 1 由题设知 a 0 所以 x x 0 由此可知 当 时 不等式 ax2 bx c 0 的解集为 x x 当 时 不等式无解 又由题设 a 0 且 b2 4ac 0 即 b2 4ac 因此 当 c 0 时 有 4ac 0 这时 b 可取 任意实数 当 c 0 时 则 4ac 0 这时 用心 爱心 专心 2 2 由于 a 0 从而 a 1 0 故所给不等式同解于 若 b 0 此不等式即为 x2 0 这时无解 解集为 注注 解一元二次不等式时 应充分利用二次函数的图象 通过形数结合 提高解题的速 度 解解 法一 移项 化简 原不等式同解于 x 1 x x 1 x 3 0 由下图可知 原不等式的解集是 x 1 x 0 或 1 x 3 法二 原不等式同解于不等式组 用心 爱心 专心 3 故 的解集为 x 1 x 3 的解集为 x 1 x 0 从而所求解集为 x 1 x 3 x 1 x 0 x 1 x 3 或 1 x 0 注注 将不等式同解变形为不等式组时 要注意区分解集的 交 并 关系 例例 5 3 45 3 4 解下列不等式 解解 1 原不等式同解于不等式组 解不等式组 得 0 x 1 无解 故原不等式的解集是 x 0 x 1 2 令 t x2 x 则原不等式化为 此不等式的允许值集确定于不等式组 另一方面 不等式 i 可化为 用心 爱心 专心 4 注注 解含根式的不等式 关键在于去掉根号 使之化为有理不等式 去掉二次根号的常 用方法是平方法 有时也采用变量代换的方法或配成完全平方的方法 无论采用哪种方法 都要注意转化的同解性 例例 5 3 55 3 5 解下列不等式 解解 1 原不等式可化为 用心 爱心 专心 5 2 原不等式的允许值集为 x x 3 原不等式可化为 两边立方 得 化简并整理后即为 解前一不等式组得 x 4 后一不等式组无解 故原不等式的解集为 x x 4 例例 5 3 65 3 6 解关于 x 的不等式 当 a 0 时 由 i 得 t 1 a 0 即 当 a 0 时 i 无解 用心 爱心 专心 6 于是 当 a 1 时 i 无解 综上所述 当 a 0 时 原不等式的解集为 当 a 0 或 a 1 时 原不等式无解 注注