高中数学：第四章：三角 平面向量复数（竞赛精讲）

用心 爱心 专心 第四章第四章 三角三角 平面向量平面向量 复数复数 一 能力培养 1 数形结合思想 2 换元法 3 配方法 4 运算能力 5 反思能力 二 问题探讨 问题 1 设向量 cos sin a cos sin b 求证 sin sincoscossin 问题 2 设 其中向量 f xa b 2cos 1 ax cos 3sin2 bxx xR I 若且 求 II 若函数的图象 13f x 3 3 x x2sin2yx 按向量平移后得到函数的图象 求实数的值 2 cm nm yf x m n 问题 3 1 当 函数的最大值是 最小值是 4 x 2 cossinf xxx 2 函数的最大值是 32 cossincosyxxx 3 当函数取得最小值时 的集合是 22 sin2sin cos3cosyxxxx x 4 函数的值域是 sin 0 cos1 x yx x 问题 4 已知中 分别是角的对边 且 ABC a b c A B C4 5abc tantanAB 求角 A 3 1tantan AB 用心 爱心 专心 三 习题探讨 选择题 1 在复平面内 复数对应的向量为 复数对应的向量为 13 22 i OA 2 OB 那么向量对应的复数是AB A 1 B C D 1 3i3i 2 已知是第二象限角 其终边上一点 P 且 则 5x 2 cos 4 x sin A B C D 10 4 6 4 2 4 10 4 3 函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是2sin 3 4 yx A B C D 3 2 3 4 3 4 已知向量 向量 向量 则向量 2 0 OB 2 2 OC 2cos 2sin CA 与向量的夹角的取值范围是OA OB A B C D 0 4 5 4 12 5 122 5 12 12 5 已知 且与的夹角为钝角 则的取值范围是 2 a 3 5 b ab A B C D 10 3 10 3 10 3 10 3 6 若是三角形的最小内角 则函数的值域是xsincossin cosyxxxx A B C D 1 1 2 0 2 1 1 2 2 填空题 7 已知 则 sinsin1 cos 8 复数 则在复平面内的对应点位于第 象限 1 3zi 2 1zi 12 zzz 9 若 则 tan2 22 4sin3sincos5cos 10 与向量和的夹角相等 且长度为的向量 3 1 a 1 3 b 2c 11 在复数集 C 内 方程的解为 2 2 5 60 xi x 用心 爱心 专心 解答题 12 若 求函数的最小值 并求相应的的值 12 12 cos sin2 4 y 13 设函数 若当时 11 22 xx f x xR 0 2 2 cos2sin fm 恒成立 求实数的取值范围 22 0fm m 14 设 且 复数满足 求的最大值与最小值勤 5 arg 4 z 2 2z R z 1 z 15 已知向量 且 33 cos sin 22 axx cos sin 22 xx b 0 2 x I 求及 II 求函数的最小值 a b ab 4f xa bab 16 设平面向量 若存在实数和角 3 1 a 13 22 b 0 m m 2 2 使向量 且 2 tan3 cab tandmab cd I 求函数的关系式 II 令 求函数的极值 mf tant mg t 用心 爱心 专心 参考答案 问题 1 证明 由 且coscossinsina b cos cos a bab 得 cos coscossinsin 在 中以代换得 2 cos 2 cos cossin sin 22 即 sin sincoscossin 温馨提示 向量是一种很好用的工具 运用好它 可简捷地解决一些三角 平几 立几 解几等问 题 问题 2 解 I 可得 2 2cos3sin212sin 2 6 f xxxx 由 1 得12sin 2 6 x 3 3 sin 2 62 x 又 得 有 解得 33 x 5 2 266 x 2 6 x 3 4 x II 函数的图象按向量平移后得到函数 2sin2yx cm n 2sin2 ynxm 即的图象 也就是 的图象 yf x 1y 2sin2 12 x 而 有 2 m 12 m 1n 问题 3 解 1 22 15 1 sinsin sin 24 yxxx 而 有 4 x 22 sin 22 x 当 即时 当 即时 1 sin 2 x 6 x max 5 4 y 2 sin 2 x 4 x min 32 22 y 2 令 则 有 32 cos 1 cos cosyxxx costx 11t 得 32 1yttt 2 321ytt 令 有 0y 1 1t 2 1 3 t 当时 为增函数 当时 为减函数 1 1 3 t 0y y 1 1 3 t 0y y 而 32 111 1 333 y 极大 32 27 y x 1 1 1 1 10 于是的最大值是 y 32 27 用心 爱心 专心 3 2 2cos1 sin2sin2cos222sin 2 2 4 yxxxxx 当 即时 22 42 xk 3 8 xk min 22y 4 可得 有cos2sinyxyx sincos2xyxy 得 有 2 1sin 2yxy 2 2 sin 1 1 y x y 得 又 于是有的值域是 33 33 y 0y y 3 0 3 问题 4 解 由已知得 即 又 tantan 3 1tantan AB AB tan 3AB 00 0180AB 得 0 120AB 0 60C 又得由余弦定理 4 5 abc 5 bc 220 16 5 8 5 60ccc cos 得 7 2 c 3 2 b 由正弦定理得 有 0 7 4 2 sinsin60A 4 3 sin 7 A 又 得为最大角 acb A 又 有 于是 0 3 31 sinsin30 142 B 0 30B 0 90BC 所以得 4 3 7 Aarc 习题 1 得 选 D 2 13 22 i 1313 3 2222 ABOBOAiii 2 又 得或 舍去 2 5OPx 2 2 cos 4 5 x x x 3x 3 有 选 A 6 cos 4 2 10 sin1 cos 4 3 它的对称轴为 即 有 选 A 3 42 xk 34 k x 1 34343 kk 4 数形结合 由 知点 A 在以 2cos 2sin CA 用心 爱心 专心 2 2 为圆心 为半径的圆周上 如图 过原点 O 作C2 圆 C 的切线 为切点 由 OA A2 2OC 2AC 知 有 6 AOC 4612 AOB 过点 O 作另一切线 为切点 则 选 D OA A 5 4612 A OB 5 由 设与的夹角为 则 310a b 2 234ab a b 00 90180 有 即 得 有 选 A 1cos0 2 310 10 234 2 2560320 3100 10 3 6 由 令而 得 0 3 x sincos2sin 4 txxx 7 4412 x 12t 又 得 2 12sin costxx 2 1 sin cos 2 t xx 得 有 选 D 2 2 11 1 1 22 t ytt 2 2 11 1 022 22 y 7 显然且 有 sin0 sin0 1 sin sin 当时 有 于是 得 则0sin1 1 1 sin sin1 sin1 sin1 coscos0 得到 cos coscossinsin1 当时 同理可得 1sin0 cos 1 8 它对应的点位于第一象限 12 3 1 24zzziii 9 由 得 有 即 tan2 sin2cos 22 sin4cos 22 1 cos4cos 则 原式 2 1 cos 5 2222 16cos6cos5cos5cos1 10 设 则 cx y 3 1 3a cx yxy 1 3 3b cx yxy 设与 的夹角分别为 则 cab 3 cos 2 2 a cxy ac 3 cos 2 2 b cxy bc 由 得 由 得 3xy 3xy c2 22 2xy 用心 爱心 专心 由 得 于是或 1 1 31 2 31 2 x y 2 2 31 2 31 2 x y 3131 22 c 3131 22 11 设 代入原方程整理得xabi a bR 22 2256 45 0abababab i 有 解得或 所以或 22 22560 450 abab abab 1 1 a b 3 2 3 2 a b 1xi 33 22 xi 12 解 cos sin2cos cos 2 442 y 2 2cos cos 1 44 令 得cos 4 t 22 19 212 48 yttt 由 得 有 1212 643 13 cos 242 13 22 t 于是当 即 得时 3 2 t 3 cos 42 12 min 31 22 y 13 解 由 知是奇函数 1 1 22 xx fxf x f x 而 11 11 2ln22ln2 1 2ln22ln20 xxxx fxx 得在 R 上为增函数 则有 f x 令有 2 cos2sin22mm sint 恒成立 2 2 21 0tmtm 0 1 t 将 转化为 2 2 1 1 mtt 0 1 t 1 当时 1t mR 2 当时 由函数在上递减 知01t 2 2 2 1 1 mh tt t 2 g xx x 0 1 当时 于是得 0t min 1ht 1 2 m 综 1 2 所述 知 1 2 m 用心 爱心 专心 14 解 设 由得 zabi a bR 5 arg 4 z 0ba 得 2 2222 2 1 2 1 1 1 zaiaa i zaia 由 得 从而 2 2z R z 2 10a 1zi 设在复平面上的对应点分别为 由条件知 W 为 z W Z 复平面单位圆上的点 的几何意义为单位圆上的点 W 到点 Z 的距离 所以z 的最小值为 最大值为 z 21OZOA 21OZOA 15 解 I 33 coscossin sin cos2 2222 xx a bxxx 得 33 coscos sinsin 2222 xx abxx 22cos22 cosabxx 2cos2x 0 2 x II 22 cos28cos2cos8cos12 cos2 9f xxxxxx 当且仅当时 cos1x min 7fx 16 解 I 由 得cd 13 310 22 a b 2 tan3 tan c dabmab 即 得 22