相似三角形的判定及习题精讲(含答案)

相似三角形的判定相似三角形的判定 一 填空 1 若 3x 7y 0 则 y x 2 若 a 7 b 4 c 5 则 b a c 的第四比例项 d 3 若线段 a 4 b 6 则 a b 的比例中项为 4 已知 则 5 已知 a b c 3 4 5 a b c 4 则 4a 2b 3c 6 若 则 x 7 已知 ABC 中 DE BC 交 AB 于 D AC 于 E AB 10 AD DB 2 BC 9 则 DE 8 已知 Rt ABC 中 ACB 90 CD AB 于 D AD 4 BD 2 则 CD AC 9 ABC 中 ACB 90 CD 是高 AC 3 BC 4 则 CD AD BD 10 ABC 中 AB AC 10 A 36 BD 是角平分线交 AC 于 D 则 CD 11 等边三角形的边长为 a 则它的内接正方形的边长为 12 ABC 中 DE BC DE 交 AB AC 于 D E AD DB 5 4 则 S 梯形 BCED S ADE 13 两个相似多边形面积比是 1 3 则周长比是 14 两个相似多边形的面积比为 25 9 其中一个多边形的周长为 45 则另一个多边形的 周长为 15 如果两个相似多边形的最长边分别为 35cm 和 14cm 它们的周长差为 60cm 那么这两 个多边形的周长分别为 二 选择题 1 在 ABC 中 DE BC 交 AB 于 D AC 于 E 若四边形 DECB 的面积为 ADE 面积的 3 倍 则 DE BC A 1 3 B 1 9 C 3 1 D 1 2 2 如图 在 ABC 中 设 AD 与 CE 的交点为 P 则 CP PE A 5 1 B 4 1 C 3 1 D 5 2 3 一个直角三角形两条直角边之比是 1 2 则它们在斜边上射影的比是 A 1 B 1 C 1 4 D 1 5 4 ABC 中 AD BC 于 D DE AB 于 E DF AC 于 F 则下列式子中错误的是 A AD2 BD DC B CD2 CF CA C DE2 AE EB D AD2 AF AC 5 ABC 中 D E F 分别在 AB BC AC 上 四边形 ADEF 是菱形 AB a AC b 则菱形 ADEF 的边长是 A B C D 6 正方形 ABCD 中 E 是 AD 中点 BM CE 于 M AB 6cm 则 BM 的长为 A 12cm B cm C 3cm D cm 7 要把一个三角形的面积扩大到原来面积的 8 倍 而它的形状不变 那么它的边长要 增大到原来的 倍 A 2 B 4 C 2 D 64 8 梯形 ABCD 中 AD BC AC BD 交于 E 点 S ADE S ADC 1 3 则 S ADE S DBC A 1 3 B 1 4 C 1 5 D 1 6 三 已知 如图 在 ABC 中 AD 为中线 E 在 AB 上 AE AC CE 交 AD 于 F EF FC 3 5 EB 8cm 求 AB AC 的长 四 矩形 DGFE 内接于 ABC DG DE 3 5 S 矩形 DGFE 60cm2 高 AH 10cm 求 S ABC 五 如图 在 ABC 中 AD 是 BC 边上中线 E 是 AD 中点 求证 AF FC EF BE 六 已知 如图 在 ABC 中 D 为 AB 边上一点 Q 为 BC 延长线上一点 DQ 交 AC 于 P 且 BDQ PCQ 求证 AB QD AC QB 七 已知 ABC 中 C 90 AC 8cm BC 6cm 求 在 ABC 内作正方形 使正方形的四个顶点都在三角形的边或顶点上 求这个正方形 的边长 练习参考答案 练习参考答案 一 填空 1 3 7 合比性质 2 注意顺序为 b a c 的第四比例项 3 2 注意线段的比例中项仍然是线段 4 本题用到等比性质 5 10 6 2 注意与 3 小题的区别 7 5 4 由平行得比例 从而计算出 DE 的长 8 2 2 双垂直条件下 灵活运用乘积式及勾股定理 9 CD AD BD 方法与 8 小题类似 10 提示 如图 易证 ABC BCD BC BD AD 10 CD 解得 CD 15 5 ABC 是一个特殊的三角 形 我们应熟悉它的一些性质 11 提示 应利用 相似三角形对应高的比等于相似比的性质 如图 等边 ABC AB BC AC a 正方形 DEFG 内接于 ABC 设正方形边长为 x 作 AH BC 于 H 交 DG 于 P DG BC ADG ABC AH a 解得 x 2 3 a 12 56 25 用到相似三角形面积比等于相似比的平方 13 14 75 或 27 提示 当小多边形的周长为 45 时 大多边形的周长为 45 75 当大多 边形的周长为 45 时 小多边形的周长为 45 27 15 100cm 和 40cm 二 选择题 1 D 2 A 提示 过 E 作 EG AD 交 BD 于 G 则 设 BG 2k GD 3k 则 BD 5k CD 15k EG PD 3 C 4 A 5 D 6 B 提示 如图 易证 BMC CDE ED AD 3 CD 6 EC 3 BM 7 C 8 D 三 AB 20cm AC 12cm 提示 过 D 点作 DH AB 交 CE 于 H AD 是中线 EH CH 设 EF 3k FC 5k 则 EH 4k FH k BE 8cm DHBE DH 4cm DH AE AE 3DH 12cm AC AE 12cm AB 20cm 四 125cm2 提示 设 DG 3k DE 5k S 矩形 DGFE 60cm2 3k 5k 60 求得 k 2 得 DG 6cm DE 10cm DE BC ADE ABC 由相似三角形对应高的比等于相似比可得 即 BC 25 S ABC BC AH 25 10 125 cm2 五 略 六 提示 过点 D 作 DM AC 交 BC 于 M 证 BDM BAC 及 QDM QBD 通过等比代 换可得 七 本题由正方形在三角形中的位置不同引起分类讨论 提示如下 解 直角三角形内接正方形有两种不同的位置 如下图 1 如图 1 作 CP AB 于 P 交 GF 于 H 则 CH GF GF A