高考数学 考前最后一轮基础知识巩固之第九章 第1课 椭圆

1 第第 1 1 课课 椭圆椭圆 考点导读 1 掌握椭圆的第一定义和几何图形 掌握椭圆的标准方程 会求椭圆的标准方程 掌握椭圆简 单的几何性质 2 了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法 能运用椭圆的标准方程和几何性质处 理一些简单的实际问题 基础练习 1 已知 ABC的顶点B C在椭圆上 顶点A是椭圆的一个焦点 且椭圆的另外 2 2 1 3 x y 一个焦点在BC边上 则 ABC的周长是 4 3 2 椭圆的离心率为14 22 yx 2 3 3 已知椭圆中心在原点 一个焦点为 F 2 0 且长轴长是短轴长的 2 倍 则该椭圆3 的标准方程是 22 1 164 xy 4 已知椭圆的离心率 则的值为1 98 22 y k x 2 1 ek 5 4 4 kk 或 5 椭圆的焦点 P 为椭圆上的一点 已知 则 的1 925 22 yx 1 F 2 F 21 PFPF 21PF F 面积为 9 范例导析 例例 1 1 1 求经过点 且与椭圆有共同焦点的椭圆方程 3 5 2 2 22 9445xy 2 已知椭圆以坐标轴为对称轴 且长轴长是短轴长的 3 倍 点 P 3 0 在该椭圆上 求椭圆的方程 分析 由所给条件求椭圆的标准方程的基本步骤是 定位 即确定椭圆的焦点在哪轴上 定量 即根据条件列出基本量a b c的方程组 解方程组求得a b的值 写出方程 解解 1 椭圆焦点在轴上 故设椭圆的标准方程为 y 22 22 1 yx ab 0ab 由椭圆的定义知 2222 353531 2 2 2 10102 10 222222 a 又 10a 2c 222 1046bac 2 所以 椭圆的标准方程为 22 1 106 yx 2 方法一 若焦点在 x 轴上 设方程为 点 P 3 0 在 22 22 10 xy ab ab 该椭圆上 即又 椭圆的方程为 若焦点在 y 2 9 1 a 2 9a 3ab 2 1b 2 2 1 9 x y 轴上 设方程为 点 P 3 0 在该椭圆上 即又 22 22 10 yx ab ab 2 9 1 b 2 9b 椭圆的方程为3ab 2 81a 22 1 819 yx 方法二 设椭圆方程为 点 P 3 0 在该椭圆上 22 10 0 AxByABAB 9A 1 即 又 椭圆的方程为或 1 9 A 3ab 1 1 81 B 或 2 81a 2 2 1 9 x y 22 1 819 yx 点拨 求椭圆标准方程通常采用待定系数法 若焦点在 x 轴上 设方程为 若焦点在 y 轴上 设方程为 有时为了运 22 22 10 xy ab ab 22 22 10 yx ab ab 算方便 也可设为 其中 22 1AxBy 0 0 ABAB 例例 2 2 设椭圆的左焦点 右焦点分别为 点 P 在椭圆上 22 22 10 xy ab ab 1 F 2 F 求证 的面积 12 2FPF 12 PFF 2 tanSb 分析 有关椭圆的焦半径问题用定义解决比较方便 解 设 则 又 由余弦定理得 1 PFm 2 PFn 1 sin2 2 Smn 12 2FFc 2 22 22cos2cmnmn 于是 2 22cosmnmnmn 2 221 cos2amn 3 所以 22 21 cos244mnac 2 4b 从而有 2 2 1 cos2 b mn 2 12 sin2 2 1 cos2 b S 2 tanb 点拨 解与 P F1F2 P 为椭圆上的点 有关的问题 常用正弦定理或余弦定理 并且结 合 PF1 PF2 2a来求解 注意解题过程中的整体消元方法 例例 3 3 点 A B 分别是椭圆长轴的左 右端点 点 F 是椭圆的右焦点 点 P 在椭1 2036 22 yx 圆上 且位于轴上方 xPFPA 1 求点 P 的坐标 2 设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点 M 到直线 AP 的距离等于 求椭圆上的点到点 M 的 MB 距离的最小值 d 分析 列方程组求得 P 坐标 解几中的最值问题通常可转化为函数的最值来求解 要 注意椭圆上点坐标的范围 解 1 由已知可得点 A 6 0 F 0 4 设点 P 则 6 4 由已知可得xyAP xyFP xy 22 2 1 3620 6 4 0 xy xxy 则 2 9 18 0 或 6 2 xxx 2 3 x 由于 0 只能 于是 yx 2 3 y 2 35 点 P 的坐标是 2 3 2 35 2 直线 AP 的方程是 6 0 x3y 设点 M 0 则 M 到直线 AP 的距离是 m 2 6 m 于是 又 6 6 解得 2 2 6 m 6m mm 椭圆上的点 到点 M 的距离有xyd 4 222222 549 2 4420 15 992 dxyxxxx 由于 6 6 当 时 d 取得最小值mx 2 9 15 点拨点拨 本题考查了二次曲线上的动点与定点的距离范围问题 通常转化为二次函数值域问题 例例 4 4 如图 某隧道设计为双向四车道 车道总宽 22 米 要求通行车辆限高 4 5 米 隧道全 长 2 5 千米 隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状 1 若最大拱高 h 为 6 米 则隧道设计的拱 宽l是多少 2 若最大拱高 h 不小于 6 米 则应如何设 计拱高 h 和拱宽l 才能使半个椭圆形隧 道的土方工程量最最小 半个椭圆的面积公式为 柱体体积为 底面积乘以高 本题结果精确到 0 1lhS 4 米 解 1 如图建立直角坐标系 则点 P 11 4 5 椭圆方程为 1 2 2 2 2 b y a x 将 b h 6 与点 P 坐标代入椭圆方程 得 因此隧 3 33 7 788 2 7 744 ala此时 道的拱宽约为 33 3 米 2 解法一 由椭圆方程 得1 2 2 2 2 b y a x 1 5 411 2 2 2 2 ba 4 6 1 312222 2 29 211 2 15 411 2 99 24 2 99 5 41125 411 2 2 2 2 2 2 2 2 bhal ba ba S ab lhS bhalab abba 此时 得有取最小值时当 所以 且即因为 故当拱高约为 6 4 米 拱宽约为 31 1 米时 土方工程量最小 解法二 由椭圆方程 得 于是1 2 2 2 2 b y a x 1 5 411 2 2 2 2 ba 1214 81 2 2 2 a a b 121 121 121 99 12181 2421212 4 81 242 121 121 121 4 81 2 2 2 2 2 2 222 a aSab a aba 有取最小值时当即 例 4 图 5 得以下同解一 2 29 211 ba 反馈练习 反馈练习 1 如果表示焦点在 y 轴上的椭圆 那么实数 k 的取值范围是 0 1 2 22 kyx 2 设椭圆的两个焦点分别为 F1 F2 过 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P 若 F1PF2为等 腰直角三角形 则椭圆的离心率是21 3 椭圆 1 的焦点为F1和F2 点P在椭圆上 如果线段PF1的中点在y轴上 那么 312 22 yx PF1 是 PF2 的 7 倍 4 若椭圆的离心率 则的值为 22 1 5 xy m 10 5 e m 25 3 3 或 5 椭圆的右焦点到直线的距离为1 34 22 yx xy3 3 2 6 与椭圆具有相同的离心率且过点 2 的椭圆的标准方程是 22 1 43 xy 3 或 22 1 86 xy 22 34 1 2525 yx 7 已知数列的两顶点 A C 是椭圆的二个焦点 顶点 B 在椭圆上 则ABC 1 925 22 yx sin sinsin B AC 5 4 8 椭圆上的点到直线的最大距离是1 416 22 yx 022 yx10 9 若动点 x y 在曲线 b 0 上变化 则x2 2y的最大值为1 4 2 22 b yx 4 2 40 4 4 2 bb b b 10 已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上 点到两焦点的距离分别为和 过PP 3 54 3 52 点作焦点所在轴的垂线 它恰好过椭圆的一个焦点 求椭圆方程 P 分析 分析 讨论椭圆方程的类型 根据题设求出和 或和 的值 从而求得椭圆方ab 2 a 2 b 6 程 解 解 设两焦点为 且 1 F 2 F 3 54 1 PF 3 52 2 PF 从椭圆定义知 即 522 21 PFPFa5 a 从知垂直焦点所在的对称轴 21 PFPF 2 PF 所以在中 12F PFRt 2 1 sin 1 2 21 PF PF FPF 可求出 从而 6 21 FPF 3 52 6 cos2 1 PFc 3 10 222 cab 所求椭圆方程为或 1 10 3 5 22 yx 1 510 3 22 yx 11 设 P 是椭圆短轴的一个端点 为椭圆上的一个动点 求的 2 2 2 11 x ya a QPQ 最大值 解析 依题意可设 P 0 1 Q x y 则 PQ 又因为 Q 在椭圆上 2 2 1xy 所以 x2 a2 1 y2 PQ 2 a2 1 y2 y2 2y 1 1 a2 y2 2y 1 a2 1 a2 y 2 1 a2 2 1 1a 2 1 1a 因为 y 1 a 1 若a 则 1 当y 时 PQ 取最大值 2 2 1 1a 2 1 1a 22 2 1 1 aa a 若 1 a 则当y 1 时 PQ 取最大值 2 2 12 已知椭圆的焦点是 F1 1 0 F2 1 0 P 为椭圆上的一点 且 F1F2 是 PF1 和 PF2 的等差中项 1 求椭圆方程 2 若点 P 在第三象限 且 P F1F2 120 求