直角三角形的边角关系教学案

11 第一章第一章 直角三角形的边角关系直角三角形的边角关系 1 1 1 1 从梯子的倾斜程度谈起 第一课时 从梯子的倾斜程度谈起 第一课时 学习目标学习目标 1 经历探索直角三角形中边角关系的过程 理解正切的意义和与现实生活的联系 2 能够用 tanA 表示直角三角形中两边的比 表示生活中物体的倾斜程度 坡度等 外能够 用正切进行简单的计算 学习重点学习重点 1 从现实情境中探索直角三角形的边角关系 2 理解正切 倾斜程度 坡度的数学意义 密切数学与生活的联系 学习难点学习难点 理解正切的意义 并用它来表示两边的比 学习方法学习方法 引导 探索法 学习过程学习过程 一 生活中的数学问题 1 你能比较两个梯子哪个更陡吗 你有哪些办法 2 生活问题数学化 如图 梯子 AB 和 EF 哪个更陡 你是怎样判断的 以下三组中 梯子 AB 和 EF 哪个更陡 你是怎样判断的 二 直角三角形的边与角的关系 如图 回答下列问题 22 Rt AB1C1和 Rt AB2C2有什么关系 有什么关系 2 22 1 11 B AC CB AC C 和 如果改变 B2在梯子上的位置 如 B3C3 呢 由此你得出什么结论 三 例题 例 1 如图是甲 乙两个自动扶梯 哪一个自动扶梯比较陡 例 2 在 ABC 中 C 90 BC 12cm AB 20cm 求 tanA 和 tanB 的值 四 随堂练习 1 如图 ABC 是等腰直角三角形 你能根据图中所给数据求出 tanC 吗 2 如图 某人从山脚下的点 A 走了 200m 后到达山顶的点 B 已知点 B 到山脚的垂直距离为 55m 求山的坡度 结果精确到 0 001 33 3 若某人沿坡度 i 3 4 的斜坡前进 10 米 则他所在的位置比原来的位置升高 米 4 菱形的两条对角线分别是 16 和 12 较长的一条对角线与菱形的一 边的夹角为 则 tan 5 如图 Rt ABC 是一防洪堤背水坡的横截面图 斜坡 AB 的长 为 12 m 它的坡角为 45 为了提高该堤的防洪能力 现将背 水坡改造成坡比为 1 1 5 的斜坡 AD 求 DB 的长 结果保留根号 五 课后练习 1 在 Rt ABC 中 C 90 AB 3 BC 1 则 tanA 2 在 ABC 中 AB 10 AC 8 BC 6 则 tanA 3 在 ABC 中 AB AC 3 BC 4 则 tanC 4 在 Rt ABC 中 C 是直角 A B C 的对边分别是 a b c 且 a 24 c 25 求 tanA tanB 的值 5 若三角形三边的比是 25 24 7 求最小角的正切值 44 6 如图 在菱形 ABCD 中 AE BC 于 E EC 1 tanB 求菱 12 5 形的边长和四边形 AECD 的周长 7 已知 如图 斜坡 AB 的倾斜角 a 且 tan 现有一小球从坡底 A 处以 20cm s 的速度向坡 3 4 顶 B 处移动 则小球以多大的速度向上升高 8 探究 a 克糖水中有 b 克糖 a b 0 则糖的质量与糖水质量的比为 若再添加 c 克糖 c 0 则糖的质量与糖水的质量的比为 生活常识告诉我们 添加的糖完全溶解后 糖 水会更甜 请根据所列式子及这个生活常识提炼出一个不等式 我们知道山坡的坡角越大 则坡越陡 联想到课本中的结论 tanA 的值越大 则坡越陡 我 们会得到一个锐角逐渐变大时 它的正切值随着这个角的变化而变化的规律 请你写出这个规律 如图 在 Rt ABC 中 B 90 AB a BC b a b 延长 BA BC 使 AE CD c 直线 CA DE 交于点 F 请运用 2 中得到的规律并根据以上提供的几何模 型证明你提炼出的不等式 1 1 1 1 从梯子的倾斜程度谈起从梯子的倾斜程度谈起 第二课时 第二课时 E D B A C B A C B D A C E F 55 学习目标 学习目标 1 经历探索直角三角形中边角关系的过程 理解正弦和余弦的意义 2 能够运用 sinA cosA 表示直角三角形两边的比 3 能根据直角三角形中的边角关系 进行简单的计算 4 理解锐角三角函数的意义 学习重点 学习重点 1 理解锐角三角函数正弦 余弦的意义 并能举例说明 2 能用 sinA cosA 表示直角三角形两边的比 3 能根据直角三角形的边角关系 进行简单的计算 学习难点 学习难点 用函数的观点理解正弦 余弦和正切 学习方法 学习方法 探索 交流法 学习过程 学习过程 一 正弦 余弦及三角函数的定义 想一想 如图 1 直角三角形 AB1C1和直角三角形 AB2C2有什么关系 2 有什么关系 呢 21 11 22 BA CA BA CA 和 21 1 2 BA BC BA BC 和 3 如果改变 A2在梯子 A1B 上的位置呢 你由此可得出什么结论 4 如果改变梯子 A1B 的倾斜角的大小呢 你由此又可得出什么结论 请讨论后回答 二 由图讨论梯子的倾斜程度与 sinA 和 cosA 的关系 三 例题 例 1 如图 在 Rt ABC 中 B 90 AC 200 sinA 0 6 求 BC 的长 例 2 做一做 如图 在 Rt ABC 中 C 90 66 cosA AC 10 AB 等于多少 sinB 呢 cosB sinA 呢 你还能得出类似例 1 的结论吗 请用 13 12 一般式表达 四 随堂练习 1 在等腰三角形 ABC 中 AB AC 5 BC 6 求 sinB cosB tanB 2 在 ABC 中 C 90 sinA BC 20 求 ABC 的周长和面积 5 4 3 在 ABC 中 C 90 若 tanA 则 sinA 2 1 4 已知 如图 CD 是 Rt ABC 的斜边 AB 上的高 求证 BC2 AB BD 用正弦 余弦函数的 定义证明 五 课后练习 1 在 Rt ABC 中 C 90 tanA 则 3 4 sinB tanB 77 D B A C B A C 2 在 Rt ABC 中 C 90 AB 41 sinA 则 AC BC 9 41 3 在 ABC 中 AB AC 10 sinC 则 BC 4 5 4 在 ABC 中 已知 AC 3 BC 4 AB 5 那么下列结论正确的是 A sinA B cosA C tanA D cosB 3 4 3 5 3 4 3 5 5 如图 在 ABC 中 C 90 sinA 则等于 3 5 BC AC A B C D 3 4 4 3 3 5 4 5 6 Rt ABC 中 C 90 已知 cosA 那么 tanA 等于 3 5 A B C D 4 3 3 4 4 5 5 4 7 在 ABC 中 C 90 BC 5 AB 13 则 sinA 的值是 A B C D 13 5 13 12 12 5 5 12 8 已知甲 乙两坡的坡角分别为 若甲坡比乙坡更徒些 则下列结论正确的是 A tan tan B sin sin C cos cos 9 如图 在 Rt ABC 中 CD 是斜边 AB 上的高 则下列线段的比中不等于 sinA 的是 A B C D CD AC DB CB CB AB CD CB 10 某人沿倾斜角为 的斜坡前进 100m 则他上升的最大高度是 m A B 100sin C D 100cos 100 sin 100 cos 11 如图 分别求 的正弦 余弦 和正切 12 在 ABC 中 AB 5 BC 13 AD 是 BC 边上的高 AD 4 求 CD sinC 13 在 Rt ABC 中 BCA 90 CD 是中线 BC 8 CD 5 求 sin ACD cos ACD 和 tan ACD 88 14 在 Rt ABC 中 C 90 sinA 和 cosB 有什么关系 15 如图 已知四边形 ABCD 中 BC CD DB ADB 90 cos ABD 4 5 求 s ABD s BCD B D A C 99 1 2 1 2 30 30 45 45 60 60 角的三角函数值角的三角函数值 学习目标 学习目标 1 经历探索 30 45 60 角的三角函数值的过程 能够进行有关的推理 进一步体会 三角函数的意义 2 能够进行 30 45 60 角的三角函数值的计算 3 能够根据 30 45 60 的三角函数值说明相应的锐角的大小 学习重点 学习重点 1 探索 30 45 60 角的三角函数值 2 能够进行含 30 45 60 角的三角函数值的计算 3 比较锐角三角函数值的大小 学习难点 学习难点 进一步体会三角函数的意义 学习方法 学习方法 自主探索法 学习过程 学习过程 一 问题引入 问题 为了测量一棵大树的高度 准备了如下测量工具 含 30 和 60 两个锐角的三角 尺 皮尺 请你设计一个测量方案 能测出一棵大树的高度 二 新课 问题 1 观察一副三角尺 其中有几个锐角 它们分别等于多少度 问题 2 sin30 等于多少呢 你是怎样得到的 与同伴交流 问题 3 cos30 等于多少 tan30 呢 问题 4 我们求出了 30 角的三个三角函数值 还有两个特殊角 45 60 它们 的三角函数值分别是多少 你是如何得到的 结论 三角函数 角度 sin co tan 30 45 60 例 1 计算 1 sin30 cos45 2 sin260 cos260 tan45 1010 例 2 一个小孩荡秋千 秋千链子的长度为 2 5 m 当秋千向两边摆动时 摆角恰好为 60 且两边的摆动角度相同 求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差 结果精 确到 0 01 m 三 随堂练习 1 计算 1 sin60 tan45 2 cos60 tan60 3 sin45 sin60 2cos45 2 2 13 2 30sin 1 1 1 2sin30 1 0 1 sin30 1 1 282 2 1 sin60 2 3 0 cos60 60tan1 1 0032 21 1 2 某商场有一自动扶梯 其倾斜角为 30 高为 7 m 扶梯的长度是多少 1111 3 如图为住宅区内的两幢楼 它们的高 AB CD 30 m 两楼问的距离 AC 24 m 现需了解甲楼 对乙楼的采光影响情况 当太阳光与水平线的夹角为 30 时 求甲楼的影子在乙楼上有多高 精确到 0 1 m 1 41 1 73 23 四 课后练习 1 Rt ABC 中 则 8 60 cA ba 2 在 ABC 中 若 则 面积 S 2 32 bc tan B 3 在 ABC 中 AC BC 1 AB 6 B AC BC 3 4 等腰三角形底边与底边上的高的比是 则顶角为 3 2 A 600 B 900 C 1200 D 1500 5 有一个角是的直角三角形 斜边为 则斜边上的高为 30cm1 A B C D cm 4 1 cm 2 1 cm 4 3 cm 2 3 6 在中 若 则 tanA 等于 ABC 90CAB 2 A B C D 3 3 3 2 3 2 1 7 如果 a是等边三角形的一个内角 那么 cosa的值等于 A B C D 1 2 1 2 2 2 3 8 某市在 旧城改造 中计划内一块如图所示的三角形空 地上种植某种草皮以美化环境 已知这种草皮每平方米a 150 20东30东 1212 元 则购买这种草皮至少要 A 450a元 B 225a元 C 150a元 D 300a元 9 计算 60cos60sin 22 30cos30sin260sin 45cos30sin 2 3245cos2 00 45cos360sin2 130sin5 60cos3 0 0 tan60 30sin2 2 60cos30tan 30tan45sin 22 10 请设计一种方案计算 tan15 的值 1313 1 4 1 4 船有触礁的危险吗船有触礁的危险吗 学习目标 学习目标 1 经历探索船是否有触礁危险的过程 进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用 2 能够把实际问题转化为数学问题 能够借助于计算器进行有关三角函数的计算 并能对 结果的意义进行说明 学习重点 学习重点 1 经历探索船是否有触礁危险的过程 进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用 2 发展学生数学应用意识和解决问题的能力 学习难点 学习难点 根据题意 了解有关术语 准确地画出示意图 学习方法 学习方法 探索 发现法 学习过程 学习过程 一 问题引入 海中有一个小岛 A 该岛四周 10 海里内有暗礁 今有货轮由西向东航行 开始在 A 岛南偏 西 55 的 B 处 往东行驶 20 海里后 到达该岛的南偏西 25 的 C 处 之后 货轮继续往东航 行 你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗 你是如何想的 与同伴进行交流 二 解决问题 1 如图 小明想测量塔 CD 的高度 他在 A 处仰望塔顶 测得仰角为 30 再往塔的方向前进 50m 至 B 处 测得仰角为 60 那么该塔有多高 小明的身高忽略不计 结果精确到 1 m 2 某商场准备改善原来楼梯的安全性能 把倾角由 40 减至 35 已知原楼梯长为 4 m 调 整后的楼梯会加长多少 楼梯多占多长一段地面 结果精确到 0 0l m 1414 三 随堂练习 1 如图 一灯柱 AB 被一钢缆 CD 固定 CD 与地面成 40 夹角 且 DB 5 m 现再在 C 点上 方 2m 处加固另一条钢缆 ED 那么钢缆 ED 的长度为多少 2 如图 水库大坝的截面是梯形 ABCD 坝顶 AD 6m 坡长 CD 8m 坡底 BC 30m ADC 135 1 求 ABC 的大小 2 如果坝长 100 m 那么建筑这个大坝共需多少土石料 结果精确到 0 01 m3 3 如图 某货船以 20 海里 时的速度将一批重要物资由 A 处运往正西方向的 B 处 经 16 小时 的航行到达 到达后必须立即卸货 此时 接到气象部门通知 一台风中心正以 40 海里 时的速 度由 A 向北偏西 60 方向移动 距台风中心 200 海里的圆形区域 包括边界 均受到影响 1 问 B 处是否会受到台风的影响 请说明理由 2 为避免受到台风的影响 该船应在多少小时内卸完货物 供选用数据 1 4 2 1 7 3 1515 四 课后练习 1 有一拦水坝是等腰楼形 它的上底是 6 米 下底是 10 米 高为 2米 求此拦水坝斜坡的坡度3 和坡角 2 如图 太阳光线与地面成 60 角 一棵大树倾斜后与地面成 36 角 这时测得大树在地面上的 影长约为 10 米 求大树的长 精确到 0 1 米 太阳光线 B 60 D A 36 C 3 如图 公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇 且 QPN 30 点 A 处有一所学校 AP 160 米 假设拖 拉机行驶时 周围 100 米以内会受到噪声的影响 那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 的方向行驶时 学校是否会受到噪声影响 请说明理由 N Q A M P 4 如图 某地为响应市政府 形象重于生命 的号召 在甲建筑物上从点 A 到点 E 挂一长为 30 米 的宣传条幅 在乙建筑物的顶部 D 点测得条幅顶端 A 点的仰角为 40 测得条幅底端 E 的俯角为 26 求甲 乙两建筑物的水平距离 BC 的长 精确到 0 1 米 1616 B D A C E F 5 如图 小山上有一座铁塔 AB 在 D 处测得点 A 的仰角为 ADC 60 点 B 的仰角为 BDC 45 在 E 处测得 A 的仰角为 E 30 并测得 DE 90 米 求小山高 BC 和铁塔高 AB 精确到 0 1 米 6 某民航飞机在大连海域失事 为调查失事原因 决定派海军潜水员打捞飞机上的黑匣子 如图所 示 一潜水员在 A 处以每小时 8 海里的速度向正东方向划行 在 A 处测得黑匣子 B 在北偏东 60 的方向 划行半小时后到 达 C 处 测得黑匣子 B 在北偏东 30 的方向 在潜水员继续 向东划行多少小时 距离黑匣子 B 最近 并求最近距离 7 以申办 2010 年冬奥会 需改变哈尔滨市的交通状况 在大直街拓宽工程中 要伐掉一棵树 AB 在地面上事先划定以 B 为圆心 半径与 AB 等长的圆形危 险区 现在某工人站在离 B 点 3 米远的 D 处测得树的顶点 A 的仰角为 60 树的底部 B 点的俯角为 30 如图所示 问距离 B 点 8 米远的保护物是否 在危险区内 8 如图 某学校为了改变办学条件 计划在甲教学楼的正北方 21 米处的一块空地上 BD 21 米 再建一幢与甲教学等高的乙教学 楼 甲教学楼的高 AB 20 米 设计要求冬至正午时 太阳光线必 须照射到乙教学楼距地面 5 米高的二楼窗口处 已知该地区冬 至正午时太阳偏南 太阳光线与水平线夹角为 30 试判断 计 划所建的乙教学楼是否符合设计要求 并说明理由 B D A C E B 30 D A 60 C E 乙 教 学 楼 甲 教 学 楼 B 30 D AC 南 F 30 北 A 60 C 1717 9 如图 两条带子 带子 的宽度为 2cm 带子 b 的宽度为 1cm 它 们相交成 角 如果重叠部分的面积为 4cm2 求 的度数 1 51 5 测量物体的高度测量物体的高度 1 下表是小明同学填写活动报告的部分内容 课题在两岸近似平行的河段上测量河宽 测量目 标图示 BD A C E 测得数据 CAD 60 AB 30m CBD 45 BDC 90 请你根据以上的条件 计算出河宽 CD 结果保留根号 2 下面是活动报告的一部分 请填写 测得数据 和 计算 两栏中未完成的部分 课题测量旗杆高 测量示意图 BD A C E b a 1818 测量项目第一次第二次平均值 BD 的长 24 19m23 97m 测倾器的高 CD 1 23mCD 1 19m 测得数据 倾斜角 a 31 15 a 30 45 a 31 计算旗杆高 AB 精确到 0 1m 3 学习完本节内容后 某校九年级数学老师布置一道利用测倾器测量学校旗杆高度的活动课题 下表是小明同学填写的活动报告 请你根据有关测量数据 求旗杆高 AB 计算过程填在下表计 算栏内 用计算器计算 活动报告活动报告 课题利用测倾器测量学校旗杆的高 测量示意图 BD A C E BD 的长 BD 20 00m 测倾器的高 CD 1 21m 测量数据 倾斜角 28 计算 旗杆高 AB 的计算过程 精确到 0 1m 4 某市为促进本地经济发展 计划修建跨河大桥 需要测出河的宽度 AB 在河边一座高度为 300 米的山顶观测点 D 处测得点 A 点 B 的俯角分别为 30 60 求河的宽度 精确到 0 1 米 B D AC 1919 5 为了测量校园内一棵不可攀的树的高度 学校数学应用实践小组做了如下的探索 实践一 根据 自然科学 中光的反射定律 利用一面镜子和一根皮尺 设计如图 1 的测 量方案 把镜子放在离树 AB 8 7 米 的点 E 处 然后沿着直线 BE 后退到点 D 这时恰好在镜子 里看到树梢顶点 A 再用皮尺量得 DE 2 7 米 观察者目高 CD 1 6 米 请你计算 树 AB 的高度 精确到 0 1 米 实践二 提供选用的测量工具有 皮尺一根 教学用三角板一副 长为 2 5 米的标杆 一根 高度为 1 5 米的测角仪一架 请根据你所设计的测量方案 回答下列问题 1 在你设计的方案中 选用的测量工具是 2 在图 2 中画出你的测量方案示意图 3 你需要测得示意图中哪些数据 并分别用 a b c 等表示测得的数据 4 写出求树高的算式 AB B 1 D A C E B 2 6 在 1 50000 的地图上 查得 A 点在 300m 的等高线上 B 点在 400m 的等高线上 在地图上量得 AB 的长为 2 5cm 若要在 A B 之间建一条索道 那么缆索至少要多长 它的倾斜角是多少 说明 地图上量得的 AB 的长 就是 A B 两点间的水平距离 AB 由 B 向过 A 且平行于地面 的平面作垂线 垂足为 B 连接 AB 则 A 即是缆索的倾斜角 300 350 400 A B 2020 A B 太阳 光线 C D E 100m 2 5cm 50000 B A B 7 为了测量校园内一棵不可攀的树的高度 学校数 学应用实践小组做了如下的探索 实践一 根据 自然科学 中的反射定律 利用 一面镜子和一根皮尺 设计如右示意图的测量方案 把镜子放在离树 AB 8 7 米的点E处 然后沿着直 线BE后退到点D 这是恰好在镜子里看到树梢顶点 A 再用皮尺量得DE 2 7 米 观察者目高CD 1 6 米 请你计算树 AB 的高度 精确到 0 1 米 实践二 提供选用的测量工具有 皮尺一根 教学用三角板一副 长为 2 5 米的标 杆一根 高度为 1 5 米的测角仪 能测量仰角 俯角的 仪器 一架 请根据你所设计的测量方案 回答下列问题 1 在你设计的方案中 选用的测量工具是 用工 具的序号填写 2 在右图中画出你的测量方案示意图 3 你需要测得示意图中的哪些数据 并分别用 a b c 等表示测得的数据 4 写出求树高的算式 AB A B 2121 第一章回顾与思考第一章回顾与思考 1 等腰三角形的一腰长为 底边长为 则其底角为 cm6cm36 A B C D 0 30 0 60 0 90 0 120 2 某水库大坝的横断面是梯形 坝内斜坡的坡度 坝外斜坡的坡度 则两个3 1 i1 1 i 坡角的和为 A B C D 0 90 0 60 0 75 0 105 3 如图 在矩形 ABCD 中 DE AC 于 E 设 ADE 且 AB 4 则 AD 的长为 5 3 cos A 3 B C D 3 16 3 20 5 16 4 在课外活动上 老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝 其面积为 450 则对角线所用的竹条至少需 2 cm A B 30cm C 60cm D cm230 cm260 5 如果是锐角 且 那么 135cossin 22 6 如图 在坡度为 1 2 的山坡上种树 要求株距 相邻两树间的水平距离 是 6 米 斜坡上 相邻两树间的坡面距离是 米 7 如图 P 是 的边 OA 上一点 且 P 点坐标为 3 4 则 sin cos 8 支离旗杆 20 米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为 如果测 角仪高为 1 5 米 那么旗杆的有为 米 用含的三角比 表示 9 在 Rt中 A B CM 是斜边 AB 上的中线 将ABC P o y x 3 4 A B C D E 55 5 8m 10m 2222 沿直线 CM 折叠 点 A 落在点 D 处 如果 CD 恰好与 AB 垂直 那么 A 等于 ACM 度 10 如图 某公路路基横断面为等腰梯形 按工程设计要求路面宽度为 10 米 坡角为 路 55 基高度为 5 8 米 求路基下底宽 精确到 0 1 米 11 曙光中学 有一块三角形形状的花圃 ABC 现可直接测量到AC 40 米 BC A 30 25 米 请你求出这块花圃的面积 12 如图 在小山的东侧 A 处有一热气球 以每分钟 28 米的速度沿着与