高中数学 直线、平面、简单几何课时-13教材素材

用心 爱心 专心1 三垂线定理 一 三垂线定理 一 一 素质教育目标一 素质教育目标 一 知识教学点 1 三垂线定理及其逆定理的形成和论证 2 三垂线定理及其逆定理的简单应用 二 能力训练点 1 猜想和论证能力的训练 2 由线面垂直证明线线垂直的方法 线面垂直法 3 训练学生分清三垂线定理及其逆定理中各条直线之间的关系 4 善于在复杂图形中分离出适用的直线用于解题 三 德育渗透点 通过定理的论证和练习的训练渗透化繁为简的思想和转化的思想 二 教学重点 难点 疑点及解决方法二 教学重点 难点 疑点及解决方法 1 教学重点 1 掌握三垂线定理 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线的射影垂 直 那么它也和这条斜线垂直 2 掌握三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线 垂直 那么它也和这条斜线的射影垂直 2 教学难点 两个定理的证明及应用 3 教学疑点及解决方法 1 三垂线定理及其逆定理 揭示了平面内的直线与平面的垂线 斜线及斜线在平 面内的射影这三条直线的垂直关系 其实质是平面内的一条直线与平面的一条斜线 或斜 线在平面内的射影 垂直的判定定理 用心 爱心 专心2 2 本节课的两个定理 涉及的直线较多 学生在认识和理解上都会存在困难 为 了加深印象并说明复杂的直线位置关系 可以采用一些教具 或者让学生准备三根竹签 按照教师的要求摆放 在学生感性认识的基础上 进行理性的证明和记忆 有助于定理的 掌握 3 三垂线定理是先有直线 a 垂直于射影 AO 的条件 然后得到 a 垂直于斜线 PO 的 结论 而其逆定理则是已知直线 a 垂直于斜线 PO 再推出 a 垂直于射影 AO 在引用时容易 引起混淆 解决的办法是 构造一个同时使用这两个定理的问题 引导学生分清 4 教学核心是定理的形成教学 教学的指导思想是 遵循由具体探究抽象 由简 单到复杂的认识规律 启发学生反复思考 不断内化成为自己的认知结构 三 课时安排三 课时安排 本课题共安排 2 课时 本节课为第一课时 四 学生活动设计四 学生活动设计 三垂线定理及其逆定理的条件和结论都比较简单 但应用却很广泛 为了培养学生的 能力 应让学生探索定理的命题形式 充分利用好手中的三根竹签 设计学生活动符合建构主义的教学思想 也符合教师为主导 学生为主体的教学思想 教师根据教学要求 提出问题 创设情景 引导学生观察 猜想 主动发现 主动发展 从而调动了学生学习的积极性 五 教学步骤五 教学步骤 一 温故知新 引入课题 师 我们已经学习了直线和平面的垂直关系 学新课之前 让我们作个简单的回顾 1 直线和平面垂直的定义 2 直线和平面垂直的判定定理 3 什么叫做平面的斜线 斜线在平面上的射影 4 已知平面 和斜线 l 如何作出 l 在平面 上的射影 板书 l A 作出 l 在平面 上的射影 二 猜想推测 激发兴趣 师 根据直线与平面垂直的定义我们知道 平面内的任意一条直线都和平面的垂线垂 直 那么 平面内的任意一条直线是否也都和平面的一条斜线垂直呢 用心 爱心 专心3 教师演示教具 用一个三角板的一条直角边当平面的斜线 一根包有色纸的竹竿摆 放在桌面的不同位置当作平面内的不同直线 学生容易看出它们不一定互相垂直 师 是否平面内的任意一条直线都不和这条平面的斜线垂直呢 教师将三角板的另一条直角边平放在桌面上 并提示学生注意这条直角边与平面的 关系 在平面上 与斜线的关系 垂直 师 在平面上有几条直线和这条斜线垂直 学生可能会回答一条 也可能回答无数条 教师应调整桌面上的竹竿位置 使其平 行于三角板的直角边 然后平行移动 并向学生说明 这些直线都与斜线垂直 师 平面内一条直线具备什么条件 才能和平面的一条斜线垂直 学生的直觉判断是要与那条和桌面接触的直角边平行 这是正确的 但无多大用途 这时教师提醒学生注意斜线在平面内的射影 并调整教具 将三角板的斜边当作平面的斜 线 构成垂线 斜线和射影的立体模型 要求学生与同桌配合 摆放课前准备的竹签成教 师示范的模型 然后在教师的引导之下观察 猜想 与同桌的探讨中发现了只要与斜线的 射影垂直就和斜线垂直 三 层层推进 证明定理 师 猜测和实验的结论不一定正确 那么你想怎样证明这个猜想呢 若用幻灯或投影仪 可以节省板书时间 已知 PA PO 分别是平面 的垂线 斜线 AO 是 PO 在平面 用心 爱心 专心4 求证 a PO 师 这是证明两条直线互相垂直的问题 你准备怎么证明 分析 从直线和平面垂直的定义可知 要证两条直线互相垂直 只要证明其中一条直 线垂直于另一条直线所在的平面即可 师 这个平面你找到了吗 生 是平面 PAO 师 怎样证明 a 平面 PAO 呢 生 只要证明 a 垂直于平面 PAO 内的两条相交直线 证明 说明 1 定理的证明 体现了 由线面垂直证明线线垂直 的方法 2 上述命题反映了平面内的直线 平面的斜线和斜线在平面内的射影这三条直线之 间的垂直关系 这就是著名的三垂线定理 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条三垂线定理 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直 那么它也和这条斜线垂直 斜线的射影垂直 那么它也和这条斜线垂直 3 改变定理的题设和结论 得到逆命题 在平面内的一条直线 如果和这个平面的在平面内的一条直线 如果和这个平面的 一条斜线垂直 那么它也和这条斜线的射影垂直 可以用同样的方法证明 这就是三垂线一条斜线垂直 那么它也和这条斜线的射影垂直 可以用同样的方法证明 这就是三垂线 定理的逆定理定理的逆定理 请学生简要说明其证明方法和步骤 4 定理中包含了三个垂直关系 PA AO a PO a 看出三垂线定理名称的来由 5 从定理的条件看 关键的是直线和平面的相对位置关系 而与平面本身是否水平 放置无关 在平面内的直线 a 与斜线或斜线的射影的位置关系关键在于垂直 这样直线 a 的如下四种位置关系 都是三垂线定理及其逆定理常见的情形 用心 爱心 专心5 6 从定理的结论看 三垂线定理及其逆定理是判断直线垂直的重要命题 四 初步运用 提高能力 1 见课后练习题 1 已知 点 O 是 ABC 的垂心 OP 平面 ABC 求证 PA BC 学生先思考 教师作如下点拨 1 什么叫做三角形垂心 2 点 O 是 ABC 的垂心可以得到什么结论 3 可以考虑使用三垂线定理证明 你能找出本题中 应用三垂线定理必须涉及到 的几个重要元素 生 首先先确定一个平面 平面 ABC 斜线是 PA PA 在平面 ABC 上的射影是 AD AD 垂直于 BC PA BC 师 他的回答是否有缺漏 生 应该交代 BC 是平面 ABC 上的一条直线 师 对 这个交代是必需的 视学生程度作适当补充 用教具演示 还可以举反例 说明 证明 连接 AO 并延长交 BC 与 D 用心 爱心 专心6 师 三垂线定理是证明空间两条直线互相垂直的重要方法 上面的示例反映了应用三 垂线定理解题的一般步骤 即确定一个平面 平面的垂线 斜线和斜线在平面上的射 影 同时要注意的是平面内的一条直线和射影垂直 有这条直线和斜线垂直 定理 平 面内的一条直线和斜线垂直 有这条直线和射影垂直 逆定理 同学们必须理解掌握 2 见课本例 1 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等 那么这一点在平 面上的射影在这个角的平分线上 AC PO 垂足分别是 E F O PE PF 求证 BAO CAO 学生思考 教师作适当的点拨 1 在平面几何中 证明点在角的平分线上的常规方法是什么 2 PE PF 给我们提供了什么结论 3 所缺的垂直关系可以用三垂线定理或逆定理证明 你能列出证明所需的条件吗 证明 用心 爱心 专心7 3 课堂练习 师生共同完成 如图 1 91 点 P 为平面 ABC 外一点 PA BC PC AB 求证 PB AC 分析 证明直线与直线垂直的问题 可以考虑三垂线定理及其逆定理 图形中缺少的 平面的垂线需要添加上去 证明 过 P 作平面 ABC 的垂线 垂足为 O 连结 AO BO CO PA BC AO BC 三垂线逆定理 同理可证 CO AB O 是 ABC 的垂心 OB AC PB AC 三垂线定理 五 归纳小结 强化思想 师 这节课 我们学习了三垂线定理及其逆定理 定理的证明方法是证明空间两条直 线互相垂直的基本方法 我们称之为线面垂直法 还通过三个练习的训练加深了定理的理 解 同时得到立体几何问题解决的一般思路 六 布置作业六 布置作业 作为一般要求 完成习题四 11 12 13 提高要求 完成以下两个补充练习 用心 爱心 专心8 1 如图 1 92 PA ABC 所在平面 AB AC 13 BC 10 PA 5 求点 P 到直线 BC 的距离 参考答案 设 BC 的中点为 D 连结 PD AB AC 13 BC 10 AD BC 且 AD 12 又 PA 平面 ABC PD BC 即 PD 的长度就是 P 到直线 BC 的距离 而 PD 13 2 课后练习题 2 略作改变 如图 1 93 l 是平面 的斜线