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数学题_数学网 2013中考综合题（六季-最值问题）（共七季）1如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点，于轴于、两点（点在点的左边）. （1）求抛物线的解析式及、两点的坐标； （2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在一点， 使的值最小？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由； （3）在以为直径的中，与相切于点,交轴于,求直线的解析式. 解：（1）由题意，设抛物线的解析式为 抛物线经过点,解得，即当时，解得，,(2)存在由（1）知，抛物线的对称轴为，因为、两点关于对称，连接交于点,则,所以，的值最小.，,的最小值为.（3）连接 是的切线 ，由题意，得,设，则在中, .， 设直线的解析式为，直线过，两点.则 解得直线的解析式为.2如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：CEQCDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由解答：解：（1）C（0，1），OD=OC，D点坐标为（1，0）设直线CD的解析式为y=kx+b（k0），将C（0，1），D（1，0）代入得：，解得：b=1，k=1，直线CD的解析式为：y=x+1（2）设抛物线的解析式为y=a（x2）2+3，将C（0，1）代入得：1=a（2）2+3，解得a=y=（x2）2+3=x2+2x+1（3）证明：由题意可知，ECD=45，OC=OD，且OCOD，OCD为等腰直角三角形，ODC=45，ECD=ODC，CEx轴，则点C、E关于对称轴（直线x=2）对称，点E的坐标为（4，1）如答图所示，设对称轴（直线x=2）与CE交于点F，则F（2，1），ME=CM=QM=2，QME与QMC均为等腰直角三角形，QEC=QCE=45又OCD为等腰直角三角形，ODC=OCD=45，QEC=QCE=ODC=OCD=45，CEQCDO（4）存在如答图所示，作点C关于直线QE的对称点C，作点C关于x轴的对称点C，连接CC，交OD于点F，交QE于点P，则PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，PCF的周长等于线段CC的长度（证明如下：不妨在线段OD上取异于点F的任一点F，在线段QE上取异于点P的任一点P，连接FC，FP，PC由轴对称的性质可知，PCF的周长=FC+FP+PC；而FC+FP+PC是点C，C之间的折线段，由两点之间线段最短可知：FC+FP+PCCC，即PCF的周长大于PCE的周长）如答图所示，连接CE，C，C关于直线QE对称，QCE为等腰直角三角形，QCE为等腰直角三角形，CEC为等腰直角三角形，点C的坐标为（4，5）；C，C关于x轴对称，点C的坐标为（1，0）过点C作CNy轴于点N，则NC=4，NC=4+1+1=6，在RtCNC中，由勾股定理得：CC=综上所述，在P点和F点移动过程中，PCF的周长存在最小值，最小值为3.已知抛物线yax2bxc经过A（4，3）、B（2，0）两点，当x=3和x=3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等经过点C（0，2）的直线l与 x轴平行，O为坐标原点（1）求直线AB和这条抛物线的解析式；（2）以A为圆心，AO为半径的圆记为A，判断直线l与A的位置关系，并说明理由；（3）设直线AB上的点D的横坐标为1，P（m，n）是抛物线yax2bxc上的动点，当PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积1yxO123424331234412(1)、因为y=ax+bx+c经过A(-4,3),B(2,0)两点，所以将A、B两点坐标带入到抛物线解析式可得 16a-4b+c=3 4a+2b+c=0 有当x=3和x=-3时，抛物线对应点纵坐标相等，有 9a+3b+c=9a-3b+c 联立以上三式解得 a=1/4 b=0 c=-1 所以抛物线的解析式为y=1/4x-1 过AB的直线可知斜率k=（3-0）/（-4-2）=-1/2截距等于1 所以 AB的解析式为 y=-1/2x+1(2)、圆o的直径为根号下(-4)+(3)=5 而圆心到直线l的距离为3+2=5. 即圆心到直线l的距离半径，直线l与A相切.(3)、由题意，把x=-1代入y=-1/2x+1，得y=3/2，即D（-1，3/2）.由（2）中点A到原点距离跟到直线y=-2的距离相等，且当点A成为抛物线上一个动点时，仍然具有这样的性质，于是过点D作DH直线l于H，交抛物线于点P，此时易得DH是D点到l最短距离，点P坐标（-1，-3/4）此时四边形PDOC为梯形，面积为17/84.如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过点A（3，0）、B(1,0)、C(2，1)，交y轴于点M.(1)求抛物线的表达式；(2)D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；(3)抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与MAO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.解：由题意可知.解得.抛物线的表达式为y=.（2）将x=0代入抛物线表达式，得y=1.点M的坐标为（0,1）.设直线MA的表达式为y=kx+b，则.解得k=，b=1.直线MA的表达式为y=x+1.设点D的坐标为（），则点F的坐标为（）.DF=.当时，DF的最大值为.此时，即点D的坐标为（）.（3）存在点P，使得以点P、A、N为顶点的三角形与MAO相似.在RtMAO中，AO=3MO,要使两个三角形相似，由题意可知，点P不可能在第一象限. 设点P在第二象限时，点P不可能在直线MN上，只能PN=3NM,，即.解得m=3（舍去）或m=8.又3M0,故此时满足条件的点不存在. 当点P在第三象限时，点P不可能在直线MN上，只能PN=3NM,，即.解得m=3或m=8.此时点P的坐标为（8，,15）. 当点P在第四象限时，若AN=3PN时,则3，即.解得m=3（舍去）或m=2.当m=2时，.此时点P的坐标为（2，）.若PN=3NA,则，即.解得m=3（舍去）或m=10，此时点P的坐标为（10，,39）.综上所述，满足条件的点P的坐标为（8，,15）、（2，）、（10，,39）.5如图，在直角体系中，直线AB交x轴于点A（5，0），交y轴于点B，AO是M的直径，其半圆交AB于点C，且AC=3。取BO的中点D，连接CD、MD和OC。（1）求证：CD是M的切线；（2）二次函数的图象经过点D、M、A，其对称轴上有一动点P，连接PD、PM，求PDM的周长最小时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当PDM的周长最小时，抛物线上是否存在点Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。解：（1）连结CM，关键是OCA=OCB=90度.(2)在直角三角形OCA中，AC=3，OA5，所以