高考数学复习点拨 我看回归分析

用心 爱心 专心 我看回归分析我看回归分析 1 回归分析 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法 相关性问题是日常生活中普遍存在的问题 生活中 有些变量之间存在着明显的函数 关系 有些变量之间不满足函数关系 但是它们之间又存在着一种明显的依赖关系 利用回归分析法对两个具有线性相关关系的变量研究的步骤为 1 画出这两个变量 的散点图 2 求回归直线方程 3 利用回归直线方程进行预报 2 随机误差 当样本点散布在某一条直线附近 而不是在一条直线上时 我们不能用一次函数 来描述两个具有线性相关关系的变量之间的关系 而是把这两个关系用下面的ybxa 线性回归模型来表示 ybxae 其中为模型的未知参数 称为随机误差 ab e 注 线性回归模型与我们所熟悉的一次函数模型的不同之处是增加了随ybxae 机误差项 因变量的值由自变量和随机误差共同确定 即自变量只能解释部分eyxex 的变化 y 3 样本点中心 最小二乘估计和就是未知参数和的最好估计 a bab 其计算公式为 11 2 22 11 nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynxy b xxxnx aybx 其中 称为样本点的中心 1 1 n i i xx n 1 1 n i i yy x y n 注 回归直线过样本点的中心 4 衡量两个变量之间线性相关关系的方法 我们常用相关系数 r 来衡量两个变量之间的线性相关关系 具体计算公式为 1 22 11 i n ii i nn i ii xxyy r xxyy 当时 表明两个变量正相关 当时 表明两个变量负相关 的绝对值越0r 0r r 接近 表明两个变量的线性相关性越强 的绝对值接近于 时 表明两个变量之间几r 乎不存在线性相关关系 5 总偏差平方和 残差平方和 回归平方和 在数学上 把每个效应 观测值减去总的平均值 的平方加起来 即用 用心 爱心 专心 表示总的效应 称为总偏差平方和 2 1 n i i yy 数据点和它在回归直线上相应位置的差异是随机误差的效应 称 ii yy 为残差 然后分别将所得值的平方后加起来 称为残差平方和 它代表了随机 iii eyy 误差的效应 用数学符号表示为 2 1 n ii i yy 回归平方和 总偏差平方和 残差平方和 注 我们可以用相关指数来刻画回归的效果 其计算公式 2 R 为 2 2 1 2 1 1 n ii i n i i yy R yy 显然 的值越大 说明残差平方和越小 也就是说模型的拟合效果越好 在线性回 2 R 归模型中 表示解释变量对预报变量变化的贡献率 2 R 6 残差分析 在研究两个变量间的关系时 首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关 是否 可以用线性回归模型来拟合数据 然后 我们可以通过残差来判断模型 123 neeee 拟合的效果 判断原始数据中是否存在可疑数据 这方面的分析工作称为残差分析 7 建立回归模型的一般步骤 1 确定研究对象 明确哪个变量是解释变量 哪个变量是预报变量 2 画出确定好的解释变量和预报变量的散点图 观察它们之间的关系 如是否存在 线性关系等 3 由经验确定回归方程的类型 如我们观察到数据呈线性关系 则选用线性回归方 程 ybxa 4 按一定规则估计回归方程中的参数 如最小二乘法 5 得出结果后分析残差图是否有异常 个别数据对应残差过大 或残差呈现不随机 的规律性等等 若存在异常 则检查数据是否有误 或模型是否合适等 8 比较拟合效果的基本步骤 对于给定的样本点 两个含有未知参数的模型 1122 nn xyxyxy 和 其中和都是未知参数 可以按如下的步骤来比较 1 yf xa 2 yg xb ab 它们的拟合效果 1 分别建立对应于两个模型的回归方程与 1 yf xa 其中和分别是参数和的估计值 2 分别计算两个回归方程的 2 yg xb a bab 用心 爱心 专心 残差平方和与 3 若 则 1 1 2 1 n