（课标版）2013年高考数学 原创预测题 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 理

专题一 集合 常用逻辑用语 不等式 函数与导数专题一 集合 常用逻辑用语 不等式 函数与导数 新课标理 新课标理 一 选择题 1 已知集合 1 2 RxxyyM 2 2 xyxN 则 NM 1 2 1 2 2 命题 存在 04 2 aaxxRx使 为假命题 是命题 016 a 的 充要条件 必要不充分条件 充分不必要条件 既不充分也不必要条件 3 设 5 54 alog 4blogclog 2 5 3 则 bca acb cba cab 4 曲线 21 x yxex 在点 0 1 处的切线方程为 13 xy 31yx 22 xy 22 xy 5 已知函数 log x a f xax 0a 且 1 a 在 1 2 上的最大值与最小值之和为 log 26 a 则a的值为 1 2 1 4 2 4 6 求曲线 2 yx 与 yx 所围成图形的面积 其中正确的是 1 2 0 dSxx x 1 2 0 dSxxx 1 2 0 dSyyy 1 0 dSyyy 7 设函数 3 2 log x f xa x 在区间 1 2 内有零点 则实数a的取值范围是 3 1 log 2 3 0 log 2 3 log 2 1 3 1 log 4 8 函数 xfy 在定义域 3 2 3 内可导 其图象如图所示 记 xfy 的导函数为 xfy 则不等式 0 xf 的解集为 1 1 2 3 3 3 8 3 4 2 1 1 2 1 2 1 2 3 3 3 8 3 4 2 1 1 2 3 9 已知函数 lg f xx 若 ba 且 bfaf 则 ba4 的取值范围是 2 2 2 4 5 10 如图 正方形ABCD的顶点 2 0 2 A 2 0 2 B 顶点C D 位于第一象限 直 线 02 l xtt 将正方形ABCD分成两部分 记位于直线l左侧阴影部分的面积为 f t 则函数 sf t 的图象大致是 二 填空题 11 若函数 2 x f xexa 在 R 上有两个零点 则实数 a 的取值范围是 12 已知 0 0ab 则 11 2 ab ab 的最小值是 13 设变量x y 满足约束条件 0 10 30 y xy xy 则 yxz 3 的最大值为 14 定义在R上的函数 yf x 是减函数 且函数 1 yf x 的图象关于 1 0 成中心对 称 若s t满足不等式 22 2 2 f ssftt 则当1 4s 时 t s的取值范围是 三 解答题 15 设函数 x exxf 2 2 1 I 求函数 xf 的单调区间 II 若当 2 2 x 时 不等式 mxf 恒成立 求实数m的取值范围 16 已知函数 ln x a xxf I 求函数 xf 的单调增区间 II 若函数 aexf求实数上的最小值为在 2 3 1 的值 17 已知函数 x ax xf 1ln Ra 求 xf 的极值 若 0ln kxx 在 0 上恒成立 求k的取值范围 已知 0 1 x 0 2 x 且 exx 21 求证 2121 xxxx 18 已知函数 1 ln 1 a x f xx x 若函数 0 f x 在 上为单调增函数 求 a 的取值范围 设 lnln2 mnmn m nmn mn 为正实数且求证 19 已知函数 1ln ln 1 ln xax x ax xf 0 Raa 求函数 f x 的定义域 求函数 f x 的单调区间 当a 0 时 若存在 x 使得 ln 2 f xa 成立 求a的取值范围 20 已知函数 2 2 1 ln 1 1 f xxg xa x 求 g x 在 2 2 Pg 处的切线方程 l 若 f x 的一个极值点到直线l的距离为 1 求a的值 求方程 f xg x 的根的个数 答案解析 专题一 答案解析 专题一 1 选 由题意得 1 yyM 22 xxN 所以 NM 2 1 2 选 依题意 存在 04 2 aaxxRx使 为假命题 得 2 160aa 解得 016 a 所以命题 存在 04 2 aaxxRx使 为假命题 是命题 016 a 的充要条件 3 选 由对数函数 5 logyx 的图象 可得 55 0log 3log 41 2 55 log 3 log 4b a 又因为 4 log 51 cbac 4 选 2 xx xeey 切线斜率 320 0 ek 所以切线方程为 xy31 即 31yx 5 选 依题意 函数 log x a f xax 0a 且 1 a 在 1 2 上具有相同的单调性 因 此 62log2log 2 aa aa 解得 2 a 3 a 舍去 6 选 两函数图象的交点坐标是 0 0 1 1 故积分上限是1 下限是0 由于在 0 1 上 2 xx 故曲线 2 yx 与 yx 所围成图形的面积 1 2 0 dSxxx 7 选 3 2 log1f xa x 在 1 2 上是减函数 由题设有 1 0 2 0ff 解得 a 3 log 2 1 8 选 依题意 当 0 xf 时 函数 xfy 是减函数 由图象知 x 1 1 2 3 3 9 选 由题意知 0 1baab 所以 ba4 a a 4 令 10 4 a a aaf 则 af 在 1 0 上为减函数 所以 5 1 faf 10 选 依题意得 2 2 2 0 2 2 2 1 2 2 tt Sf t tt 11 解析 考查 x ye 和 2yxa 的交点情况 由于直线 2yxa 的方向确定 画出图 象易知 当直线 2yxa 和 x ye 相切时 仅有一个公共点 这时切点是 ln2 2 切线 方程是 222ln2yx 将直线 222ln2yx 向上平移 这时两曲线必有两个不同的 交点 答案 2 2ln2 12 解析 因为 1111 2222 4ababab ababab 当且仅当 11 ab 且 1 ab ab 即a b 时 取 答案 4 13 解析 约束条件确定的区域如图阴影所示 目标函数 3zxy 在点 3 0 处取得最大值 90333 max yxz 答案 9 14 解析 由 1 f x 的图象关于 1 0 成中心对称 知 f x 的图象关于 0 0 成中心对 称 故 f x 为奇函数 得 22 2 2 f ssf tt 从而 22 22ttss 化简得 2 0ts ts 又1 4s 故2 sts 从而 2 11 t ss 等号可以取到 而 21 1 1 2s 故 1 1 2 t s 答案 1 1 2 15 解析 1 2 11 2 22 xxx fxxex ee x x 令 2 11 2 0 22 xxx fxxex ee x x 得 0 x 或 2 x xf 的单调增区间为 2 和 0 令 2 11 2 0 22 xxx fxxex ee x x 得 02 x xf 的单调减区间为 0 2 2 2 2 x 令 0 x f 得 20 xx 或或 又由 1 知 0 2 xx 分别是 xf 的极大值点和极小值点 0 0 2 2 2 2 2 2 fef e f 当 2 2 x 时 22 0 2 2f xeme 16 解析 I 由题意 1 0 22 x ax x a x xfxf 且的定义域为 当 0 0 0 的单调增区间为时xfxfa 当 0 0 axfaxxfa的单调增区间为得令时 II 由 I 可知 2 x ax xf 若 1 1 0 0 1exfexfaxa在上恒成立在即则 上为增函数 2 3 2 3 1 min aafxf 舍去 若 1 1 0 0 exfexfaxea在上恒成立在即则 上为减函数 2 2 3 1 min e a e a efxf 舍去 若 1 0 1 1axfxfaxae 在时当 上为减函数 min 0 3 ln 1 2 axefxf xa e f xfaaae 当当时时在在上上为为增增函函数数 综上所述 ea 17 解析 I 2 ln x xa xf 令 0 x f 得 a ex 当 0 0 a xefxf x 时时 为增函数 当 0 a xefxf x 时时 为减函数 可知 xf 有极大值为 aa eef 欲使 0ln kxx 在 0 上恒成立 只需 k x x ln 在 0 上恒成立 设 0 ln x x x xg 由 知 xg 在 ex 处取最大值e 1 所以 e k 1 0 121 xxxe 由上可知 x x xf ln 在 0 e 上单调递增 所以 121 121 ln lnxxx xxx 即 1 21 211 ln ln x xx xxx 同理 2 21 212 ln ln x xx xxx 两式相加得 ln lnln ln 212121 xxxxxx 所以 2121 xxxx 18 解析 I 2 1 1 1 1 a xa x fx xx 22 22 1 2 22 1 1 1 xaxxa x x xx x 因为 0 f x 在 上为单调增函数 所以 0 0 fx 在 上恒成立 2 2 22 10 0 0 22 10 1 22 1 0 11 22 1 1 2 xa x xxa x ax x g xxx x g xxx xx xxg x x 即在上恒成立 当时由 得 设 所以当且仅当即时有最小值 222 2 a a 所以 所以 所以 a 的取值范围是 2 II 要证 2lnln nm nm nm 只需证 2 1 ln 1 n m n m n m 即证 2 1 ln 1 m m n m n n 只需证 2 1 ln0 1 m m n m n n 2 1 ln 1 x h xx x 设 由 I 知 1 h x 在 上是单调增函数 又 1 m n 1 0 2 1 ln0 1 m hh n m m n m n n 所以 即成立 所以 lnln2 mnmn mn 19 当 0 a 时函数 f x 的定义域为 0 当 0 a 时函数 f x 的定义域为 0 1 1 11 1 ln 1 2 xxx ax x x xf 22 2 1 ln 1 1 1 ln 1 x ax xx xxxaxxx 令 0fx 时 得ln 0ax 即 1 x a 当 0a 时 1 0 x a 时 0fx 当 1 x a 时 0fx 故当 0a 时 函数的递增区间为 1 0 a 递减区间为 1 a 当 10a 时 0 1ax 所以 0fx 故当 10a 时 f x 在 1 0 x 上单调递增 当 1a 时 若 1 1 x a 0fx 若 1 0 x a 0fx 故当 1a 时 f x 的单调递增区间为 1 0 a 单调递减区间为 1 1 a 因为当 0a 时 函数的单调递增区间为 1 0 a 单调递减区间为 1 a 若存在x使得 ln 2 f xa 成立 只需 1 ln 2 fa a 即 1 lnln2 a a a 所以 1 2 a a a 所以 0 1 1 2 a a 所以0 1a 20 解析 22 2 1 x g x x 2 2 2g 且 2 1ga 故 g x 在点 2 2 Pg 处的切线方程为 2 2 50 xya 由 2 2 0 1 x fx x 得 0 x 故 f x 仅有一个极小值点 0 0 M 根据题意得 5 1 3 a d 2a 或 8a 令 2 2 1 ln 1 1 h xf xg xxa x 222222 2211 2 1 1 1 1 xx h xx xxxx 当