揭阳市2018届高中毕业班高考第一次模拟考试(理数)

1 揭阳市揭阳市2018届高中毕业班高考第一次模拟考试届高中毕业班高考第一次模拟考试 数学 理科 数学 理科 本试卷共 4 页 满分 150 分 考试用时 120 分钟 注意事项 注意事项 1 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 答题前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上 2 回答第 卷时 选出每个小题答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改 动 用橡皮搽干净后 再选涂其他答案标号 写在本试卷上无效 3 回答第 卷时 将答案写在答题卡上 答在本试题上无效 4 考试结束 将本试题和答题卡一并交回 第第 卷卷 一 选择题 共一 选择题 共12小题 每小题小题 每小题5分 共分 共60分 在每个小题给出的四个选项中 只有分 在每个小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 一项是符合题目要求的 1 已知集合 则 3 Ax x 2 3 By yx AB I A B C D 3 3 3 3 6 2 已知复数 则 2 3zi z A 4 B 6 C 8 D 10 3 已知向量 若 则 1ax 1 2b ab ab A B C D 2 0 3 1 3 1 1 3 4 一个圆柱形水桶 底面圆半径与高都为 2 桶底和桶壁厚度不计 装满水后 发现桶中有一 个随处悬浮的颗粒 用一个半径为 1 的半球形水瓢 瓢壁厚度不计 从水桶中舀满水 则该 颗粒被捞出的概率为 A B C D 1 12 1 6 1 4 1 3 5 已知 实数满足 则 sincosf xxx 3ff tan2 A B C D 4 3 3 4 3 4 4 3 6 与中国古代数学著作 算法统宗 中的问题类似 有这样一个问题 四百四十一里关 初步 健步不为难 次日脚痛减一半 六朝得到其关 要见次日行里数 请公仔细算相还 其大意为 有一个人走 441 里路 第一天健步行走 从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半 走 了 6 天后到达目的地 则该人最后一天行走的路程为 A 3 5 里 B 7 里 C 14 里 D 28 里 2 1 1 x y 11 x y 11 x y 11 x y 件 2 件件 件 件 件 件 y y xlog32 1y 2x x 1 件 件 x 件 件 正视图 侧视图 俯视图 2 2 图 1 21 21 7 函数的部分图象大致为 ln xxy A B C D 8 已知两条直线与被圆截得的线段长均为 则圆 1 320lxy 2 360lxy C2 的面积为C A B C D 5 4 3 2 9 某几何体三视图如图 1 示 则此几何体的表面积为 A B 164 16 22 2 C D 84 8 22 2 10 已知 F1 F2是双曲线 C 的两个焦点 P 是 C 上一点 线段 的垂直平分线经过点 F2 且 则此双曲线 1 PF 6 21 FPF C 的离心率为 A B 13 2 1 3 C D 3 2 13 11 某地铁站有 A B C D E 五个自动检票口 有 4 人一同进站 恰好 2 人通过同一检票口 检票进站 另 2 人各自选择不同的检票口检票进站 则不同的检票进站方式的种数为 A 60 B 180 C 360 D 720 12 已知是函数的极值点 且满足 则符合要求 0 x sin 2 x f x 00 20182018fxx 的的个数为 0 x A B C D 2015201620172018 第第 卷卷 本卷包括必考题和选考题两部分本卷包括必考题和选考题两部分 第第 13 题题 第第 21 题为必考题 每个试题考生都必题为必考题 每个试题考生都必 须做答须做答 第第 22 题题 第第 23 题为选考题 考生根据要求做答题为选考题 考生根据要求做答 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 分 请把正确的答案填写在答题分 请把正确的答案填写在答题 卡相应的横线上 卡相应的横线上 13 图 2 是一个算法流程图 若输入 x 的值为 则输出的 2 log 3 y 的值是 14 已知实数满足约束条件 则的 x y 2 1 1 y xy xy 3xy 取值范围为是 3 161718192021 件 件 件 件 件 件 件 件 件 件 0 6 10 16 20 24 件 3 P F C B DA E 15 已知数列满足 设数列的前 n 项和为 则 n a 1 21 2 n n aaa n a n S n S 16 3 16 已知抛物线的焦点为 抛物线上的动点 不在原点 在轴上的投影为 2 4yx FPyE 点关于直线的对称点为 点关于直线的对称点为 当最小时 三角EPF E FPE F E F 形的面积为 PEF 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c 已知 1 cos sin3 CBA 8 sinsinsin 7 BCA 7 a 求角 A 的值 求 ABC 的面积 18 本小题满分 12 分 如图 3 在三棱锥 P ABC 中 平面 PAC 平面 ABC ABC 和 PAC 都是正三角形 E F 分别是 AC BC 的中点 且 2 AC PD AB 于 D 证明 平面 PEF 平面 PED 求二面角的正弦值 DPAE 19 本小题满分 12 分 某公司计划购买 1 台机器 该种机器使用三年后即被淘汰 机器有一易损零件 在购进机器时 可以额外购买这种零件作为备件 每个 100 元 在机器使用期间 如果备件不足再购买 则每个 250 元 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件 为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使 用期内更换的易损零件数 得图 4 的条形图 记 x 表示 1 台机器在三年使用期 内需更换的易损零件数 y 表示 1 台机器在 图 4 购买易损零件上所需的费用 单位 元 表示购机的同时购买的易损零件数 n I 若 19 求 y 与 x 的函数解析式 n II 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件发生的概率 若要求 需更换的易损零件数不大于 的概率不小于 0 5 求的最小值 nn 假设取 19 或 20 分别计算 1 台机器在购买易损零件上所需费用的数学期望 以此n 作为决策依据 购买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件 4 20 本小题满分 12 分 已知 A 是椭圆上的动点 点 点与点关于原点对称 2 2 1 4 x Ty 1 0 2 PCA I 求 PAC 面积的最大值 II 若射线 分别与椭圆 T 交于点 且 证明 APCPBDAPmPB CPnPD 为定值 mn 21 本小题满分 12 分 已知 函数 0a xx f xeeeax I 讨论的单调性 f x II 已知当时 函数有两个零点和 求证 ae f x 1 x 2 x 12 xx eaxxf 21 请考生在第 请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一个题目计分 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一个题目计分 22 本小题满分 10 分 选修 44 坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中 直线 l1的参数方程为 t 为参数 直线 l2的参数方 kty tx24 程为 m 为参数 当 k 变化时 设 l1与 l2的交点的轨迹为曲线 C k m y mx2 I 以原点为极点 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 求曲线 C 的极坐标方程 II 设曲线 C 上的点 A 的极角为 射线 OA 与直线 6 022 sin 3 l 的交点为 B 且 求的值 2 0 7 OAOB 23 本小题满分 10 分 选修 45 不等式选讲 已知函数 a 为实数 1 1 x a x axf I 当时 求不等式的解集 1 a3 xf II 求的最小值 af 5 1 42 n 数学数学 理科 参考答案 理科 参考答案 一 本解答给出了一种或几种解法供参考 如果考生的解法与本解答不同 可根据试题的主要 考查内容比照评分标准制订相应的评分细则 二 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时 如果后续部分的解答未改变该题的内容和难 度 可视影响的程度决定给分 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半 如果后续部分的解答 有较严重的错误 就不再给分 三 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四 只给整数分数 一 选择题一 选择题 题序123456789101112 答案CDBA ABCABDCB 解析 9 由三视图知 该几何体是一棱长为 2 的正方体和一底面半径为 高为 1 的圆柱的组2 合体 其表面积 222 5 222 12 2 2S 表 2 22 16 10 不妨设点 P 在第一象限 依题意有 又由 112 2 cos302 3PFFFc 122 FFPF 得 12 2PFPFa 2 322cca 31 2 c e a 11 212 454 360C C A 12 法 1 由是函数的极值点可得 即 故 0 x sin 2 x f x 0 0fx 0 cos0 2 x 因 当时 0 1 3 5 x 0 20181 1fx 0 1 3 2015x 成立 当时 0 20182x 00 20182018fxx 0 2017 2019x 00 20182018fxx 当时 综上知 满 0 2021 2023 x 0 20183x 00 20182018fxx 足题意的时 共个 0 1 3 2015x 2016 法 2 由题意知 得 由图象得的解为 k x 22 0 12 0 kxkZ xfxxf 或 即或 即或01 x1 x0 20181 0 x1 2018 0 x 0 2018 2019x 因 故无解 由得 0 2017x 12 0 kxkZ 0 2018 2019x 0 2017x 时 共个 0 1 3 2015x 2016 二 填空题二 填空题 题序13141516 答案2 3 3 9 6 解析 16 显然 即的最小值为 仅当 1E FPFPEPFPE E F 1P E F 共线且点在 之间时取等号 此时 即直线 E P F 120E PFFPEEPF PF 的斜率为 取也可 联立 可得 故3 3 2 31 4 yx yx 1 2 3 33 P 112 33 2339 PEF S 三 解答题三 解答题 17 解 由已知及 ACBcos cos 得 2 分1cossin3 AA 即 得 4 分1 6 sin 2 A 2 1 6 sin A 又 6 7 66 A 6 5 6 A 即 6 分 3 2 A 由已知及正弦定理得 7 分8 7 8 acb 由余弦定理 Abccbacos2 222 得 9 分bcbcbccb 642 49 2 解得 10 分15 bc ABC 的面积为 12 分 4 315 sin 2 1 Abc 18 解 E F 分别是 AC BC 的中点 EF AB 1 分 在正三角形 PAC 中 PE AC 又平面 PAC 平面 ABC 平面 PAC 平面 ABC AC PE 平面 ABC 3 分 PE AB 又 PD AB PE PD P AB 平面 PED 5 分 又 EF AB EF 平面 PED 又平面 PEF 平面 PEF 平面 PED 6 分 EF 解法 1 平面 PAC 平面 ABC 平面 PAC 平面 ABC AC BE AC 7 P F C B DA E z y x z y x P F C B D A E BE 平面 PAC 7 分 以点 E 为坐标原点 EA 所在的直线为 x 轴 EB 所在 的直线为 y 轴 建立空间直角坐标系如图示 则 8 分 0 0 0 E 10 0 03 0 AB 0 03 P 03 0 EB 103 13 0 PAAB 设为平面 PAB 的一个法向量 ma b c 则由得 mAB mAP 令 得 即 10 分 30 30 ac ab 1c 3 1ab 3 1 1 m 设二面角的大小为 则 EPAD 35 cos 5 53 m EB mEB 2 2 5 sin1 cos 5 即二面角的正弦值为 12 分 EPAD 2 5 5 解法 2 由 知 EF 平面 PED EF ED 以点 E 为坐标原点 ED 所在的直线为 x 轴 EF 所在的直线为 y 轴 建立空间直角坐标系如图示 AE 1 EAD 60 AD 1 2 3 2 DE 3 2 DB 又 3PE 3313 3 0 0 0 0 22222 DAB 0 03 P 则 8 分 3 1 3 22 AP 1 0 0 2 AD 3 3 0 22 EB 平面 PAC 平面 ABC 平面 PAC 平面 ABC AC BE AC BE 平面 PAE 故为平面 PAE 的法向量 9 分 3 3 0 22 EB 设为平面 PAD 的一个法向量 则由得 ma b c mAD mAP 8 G E AD B C F P 令得 故 10 分 31 30 22 1 0 2 abc b 1c 2a 2 0 1 m 设二面角的大小为 则 EPAD 35 cos 5 53 m EB mEB 2 2 5 sin1 cos 5 即二面角的正弦值为 12 分 EPAD 2 5 5 解法 3 二面角即二面角 C PA B EPAD 在平面 PAB 内过点 B 作于 G 连结 GE BGPA 平面 PAC 平面 ABC 平面 PAC 平面 ABC AC BE AC BE 平面 PAC BEPA 又 BGPA BEBGB 平面 BEG PA GE PA EGB 为二面角 C PA B 的平面角 8 分 3 BE 3 sin60 2 GEAE 11 分 2 15 22 GEBEBG 5 52 sin BG BE EGB 即二面角的正弦值为 12 分 EPAD 2 5 5 19 解 I 依题意得 3 分 1900 19 2502850 19 x yxN xx 由条形图知 16 0 06P n 17 0 16P n 18 0 24P n 19 0 24P n 故 5 分 18 16 17 18 0 46P nP nP nP n 6 分 19 18 19 0 460 240 70P nP nP n 9 由上可知 需更换的零件数不大于 18 的概率为 0 46 不大于 19 的概率为 0 7 故的最小值为 19 7 分n n 取 19 或 20 即每台机器在购机同时都购买 19 个或 20 个易损零件 设 1 台机器在购买易 损零件上所需的费用分别为元和元 1 y 2 y 则的可能取值为 1900 2150 2400 1 y 且 1 1900 0 7P y 1 2150 0 2P y 1 2400 0 1P y 故 元 9 分 1 1900 0 72150 0 22400 0 12000Ey 的可能取值为 2000 2250 2 y 且 2 2000 0 9P y 2 2250 0 1P y 故 元 11 分 2 2000 0 92250 0 12025Ey 所以购买 1 台机器的同时应购买 19 个易损零件 12 分 12 EyEy 20 解 设 依题意得点 1 分 11 A x y 11 Cxy 则 2 分 11 11 2 22 PAC SOPxx 点 A 在椭圆上 3 分 2 2 1 4 x Ty 1 2x 当且仅当时等号成立 1 1 1 2 PAC Sx 1 2x PAC 面积的最大值为 1 4 分 证法 1 当直线 AP 的斜率存在时 设其方程为 1 2 ykx 由 消去 得 5 分 2 2 1 4 1 2 x y ykx y 22 1 4430kxkx 设 由韦达定理 得 22 B xy 12 2 12 2 4 14 3 14 k xx k x x k 10 而由 得 故 APmPB 1122 11 22 xym xy 12 xmx 1 2 x x m 代入 得 1 2 2 1 2 14 1 1 4 3 1 4 k x mk x mk 两式相除 得 代入 整理得 7 分 1 3 1 4 m k x 22 1 9304 90mmx 对于射线 同样的方法可得 CP 22 1 9304 90nnx 故是方程的两个根 9 分 m n 22 1 9304 90 xxx 由韦达定理 10 分 10 3 mn 当直线 AP 的斜率不存在时 点 A 为椭圆 T 的上顶点或下顶点 当点 A 为 0 1 时 则 B C 重合于点 0 1 D A 重合 由 得这时 11 分APmPB CPnPD 1 3 3 mn 10 3 mn 若点 A 为椭圆 T 的下顶点 0 1 同理可得 10 3 mn 综上可知为定值 该值为 12 分mn 10 3 证法 2 当直线 AP 的斜率存在时 这时点 A 不在 y 轴上 即x1 0 设其方程为由 消去 得 5 分 1 2 ykx 2 2 1 4 1 2 x y ykx y 22 1 4430kxkx 设 由韦达定理 得 6 分 22 B xy 2 21 41 3 k xx 又 代入上式得 7 分 1 1 2 1 x y k 2 1 2 1 1 2 2 1 4 3 yx x x 由 得 故 APmPB 1122 11 22 xym xy 12 xmx 11 得 8 分 3 2 1 4 2 1 2 1 2 1 yx x x m 对于射线 同样的方法可得 9 分CP 3 2 1 4 3 2 1 4 2 1 2 1 2 1 2 1 yxyx n 10 分 3 10 3 2 4 2 2 1 2 1 yx nm 当直线 AP 的斜率不存在时 点 A 为椭圆 T 的上顶点或下顶点 当点 A 为 0 1 时 则 B C 重合于点 0 1 D A 重合 由 得这时 11 分APmPB CPnPD 1 3 3 mn 10 3 mn 若点 A 为椭圆 T 的下顶点 0 1 同理可得 10 3 mn 综上可知为定值 该值为 12 分 mn 10 3 21 解 1 2 1 xx x axex f xeeeax eaxex 1 2 1 x ax fx eax 若 显然恒成立 在上单调递增 2 分0a 0fx f x 若 当时 当时 20ea 1x 0fxa 1x 20 x fxea 故在上单调递减 在上单调递增 4 分 f x 1 1 若 当时 2ae 1x 0fxa 当时 由 得 由 得 1x 20 x ea 1ln 2 a x 20 x ea ln 2 a x 故在上单调递减 在上单调递增 6 分 f x ln 2 a ln 2 a 证法 1 故 结合的单调性知 ae 10fae f x 的两个零点和满足以及 且 7 分 f x 1 x 2 x 1 0axe 2 2 20 x eaxe 12 1xx 于是 8 分 2 2 2 x ee a x 2 2 1 2 x exe x aee 2 2 2 12 2 x ex x x ee 12 令 2 2 x ex g x ee 1x 则 9 分 2 22 22222 22 xxxx xx exeeexeexeexe gx eeee 记 2 xx h xeexe 1x 则 在上单调递减 故 0 xx hxexe h x 1 10h xh 0gx 即函数 在上单调递减 g x 1 11g xg 11 分 12 1x x 又在上单调递减 f x 1 12 分 12 f x xae 证法 2 故 结合的单