高二数学圆锥曲线章节复习人教版知识精讲

高二数学圆锥曲线章节复习人教版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 圆锥曲线章节复习 二 重点 难点 1 重点 椭圆 双曲线 抛物线的定义 标准方程 几何性质 2 难点 直线和圆锥曲线的位置关系 最值问题 几何性质的应用 三 知识结构 典型例题典型例题 例 1 已知 试讨论当的值变化时 方程表示曲线的 0 1cossin 22 yx 形状 解 解 1 当时 方程为 即 表示两条平行于轴的直线 0 1 2 y1 yx 2 当时 方程可化为 表示焦 4 0 0sincos 1 cos 1 sin 1 22 yx 点在轴上的椭圆 x 3 当时 方程为 表示圆心在原点 半径为的圆 4 2 22 yx 4 2 4 当时 方程表示焦点在 2 4 0cossin 1cossin 22 yx 轴上的椭圆 y 5 当时 方程化为 表示两条平行于轴的直线 2 1 2 xy 6 当时 方程表示焦 2 0sin 0cos 1cossin 22 yx 点在轴上的双曲线 x 例 2 已知双曲线的中心在原点 焦点 在坐标轴上 一条渐近线方程为 且 1 F 2 Fxy 过点 4 10 1 求双曲线方程 2 若点 M 3 在此双曲线上 求 m 1 MF 2 MF 3 求的面积 21MF F 解 解 1 由题意知 双曲线的方程是标准方程 双曲线的一条渐近线方程为 设双曲线方程为xy 22 yx 把点 4 代入双曲线方程得 10 22 10 46 所求双曲线方程为6 22 yx 2 由 1 知双曲线方程为6 22 yx 双曲线的焦点为 M 点在双曲线上 0 32 1 F 0 32 2 F 63 22 m3 2 m 222 21 32 3 332 332 mmmMFMF 033 3 为直角三角形0 21 MFMF 21 MFMF 21MF F 31224 332 22 1 mMF 31224 332 22 2 mMF 63122431224 2 1 2 1 21 21 MFMFS MFF 例 3 已知抛物线的焦点为 A 以 B 为圆心 长为半径 0 4 2 aaxy0 4 aAB 在轴上方的半圆交抛物线于不同的两点 M N P 是 MN 的中点 x 1 求的值 ANAM 2 是否存在这样的值 使 成等差数列 aAMAPAN 解 解 如下图 A 圆的方程为0 a4 AB16 4 22 yax 与联立得axy4 2 08 4 2 22 aaxax 解得0 8 4 4 4 22 aaa10 a 4 2 21 axxaaxx8 2 21 设 则 2211 yxNyxMaxAM 1 axAN 2 82822 21 aaaxxANAM 2 设 P 则 00 y x 210 2xxx 210 2yyy 22 210 axaxy aaxaxy 210 aaaaxxxx82282 2 2121 8228 4 2 aaaaaP 若 成等差数列 则AMANAP 4 AP 16 8228 24 22 aaaaa 解得 这与矛盾1 a10 a 故不存在 使成等差数列aANAPAM 例 4 已知双曲线与点 P 1 2 过 P 点作直线 与双曲线交于 A B 两点 1 2 2 2 y xl 若 P 为 AB 的中点 1 求直线 AB 的方程 2 若 Q 1 1 证明 不存在以 Q 为中点的弦 方法一 方法一 1 解 解 设过 P 1 2 点的直线为 代入双曲线方程 1 2 xky 得0 64 42 2 2222 kkxkkxk 由线段 AB 中点为 P 1 2 2 2 42 2 2 21 k kk xx 解得 又时 使 从而直线 AB 方程为1 k1 k016 01 yx 2 证明 证明 按同样方法求得 而使 所以直线 CD 不存在2 k2 k0 方法二 方法二 设 A B 11 y x 22 y x1 2 2 12 1 y x1 2 2 22 2 y x 得 0 2 1 21212121 yyyyxxxx 21 21 21 21 2 yy xx xx yy 1 4 22 写出直线方程 即 检验与双曲线有交点12 xy1 xy 例 5 已知双曲线 的左 右两个焦点分别为 F1 F2 P 是1 2 2 2 2 b y a x 0 a0 b 它左支上一点 P 到左准线的距离为 双曲线的一条渐近线为 问是否存在点dxy3 P 使 成等比数列 若存在 求出 P 的坐标 若不存在 请说明理由 d 1 PF 2 PF 解 解 假设存在点 P 满足题中条件 00 y x 双曲线的一条渐近线为 xy3 3 a b ab3 即 22 3ab 23 222 a c aac 2 e 由 得 2 1 1 2 d PF PF PF 12 2PFPF 双曲线的两准线方程为 c a x 2 ax c a xPF 0 2 01 222 点 P 在双曲线的左支上ax c a xPF 0 2 02 222 代入 得 0201 exaPFexaPF 2 00 exaexa 代入 得 ax 2 3 0 1 2 2 0 2 2 0 b y a x ay 2 15 0 存在点 P 使成等比数列 点 P 的坐标是 21 PFPFd aa 2 15 2 3 例 6 如图 直线和相交于点 M 点 N 以 A B 为端点的曲线段 C 上 1 l 2 l 21 ll 1 l 的任一点到的距离与到点 N 的距离相等 若为锐角三角形 2 lAMN 17 AM 3 且 建立适当的坐标系 求曲线段 C 的方程 AN6 BN 解 方法一 解 方法一 以为轴 MN 的中点 O 为原点建立如图的直角坐标系 由题意可知 1 lx 曲线段 C 所在的抛物线在直角坐标系中的位置是标准的 并且点 N 是该抛物线的焦点 是准线 所以可令抛物线的方程为 过点 A 作 2 l 0 2 2 ppxy 2 lAQ 1 lAE 垂足分别为 Q 和 E 由于是锐角三角形 则点 E 必在线段 MN 上 AMN 所以 3 ANAQ17 AM22 22 AQAMQM 22 QMAE1 22 AEANEN 4 ENAQENMEMNp 抛物线方程为xy8 2 由上述可知 点 B 到准线的距离为 6 则点 B 的横坐标为 4 又曲线段1 OE 2 l 在轴上方 故曲线段 C 的方程为x 0 41 8 2 yxxy 方法二 方法二 以为轴 为轴建立如下图的直角坐标系 其中 M 点为原点 这时焦 1 lx 2 ly 点 N 在轴上 顶点应是线段 MN 的中点 令曲线段 C 所在的抛物线方程为 x O 设 0 2 2 pxxpy O 22 22 2 2 2 1 2 1 y p p y By p p y A 则 3 36 22 2 9 22 1 17 22 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 y p p y y p p y y p p y 由 1 2 得 代入 1 得8 2 1 y9 2 4 2 p p pp68 2 3 p4 p0 1 y22 1 y 代入 3 得 曲线段 C 的方程为24 2 y 2422 2 8 2 yxy 例 7 设分别为椭圆 C 的左 右两个焦点 21 FF 1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 1 若椭圆 C 上的点 A 1 到两点的距离之和等于 4 写出椭圆 C 的 2 3 21 FF 方程和焦点坐标 2 设点 K 是 1 中所得椭圆上的动点 求线段 F1K 的中点的轨迹方程 3 已知椭圆具有性质 若 M N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点 点 P 是椭圆 上任意一点 当直线 PM PN 的斜率都存在 并记为时 那么与之积 PNPM kk PM k PN k 是与点 P 位置无关的定值 试对双曲线写出具有类似特性的性质 并加以证1 2 2 2 2 b y a x 明 解 解 1 椭圆 C 的焦点在轴上 椭圆上的点 A 到两点的距离和是 4 x 21 FF 得 即42 a2 a 又 点 A 在椭圆上 得 2 3 1 1 2 3 2 1 2 2 2 b 3 2 b 椭圆 C 的方程为 焦点为 1 222 bac1 34 22 yx 0 1 1 F 0 1 2 F 2 设椭圆 C 上的动点为 K 线段 F1K 的中点 Q 满足 11 y xyx 2 2 1 11 y y x x yyxx2 12 11 因此 即为所求的轨迹方程1 3 2 4 12 22 yx 1 3 4 2 1 2 2 y x 3 类似的性质为 若 M N 是双曲线上关于原点对称的两个点 点 P1 2 2 2 2 b y a x 是双曲线上任意一点 当直线 PM PN 的斜率都存在 并记为 时 那么与 PM k PN k PM k 之积是与点 P 位置无关的定值 证明如下 设点 M 的坐标为 则点 N 的坐标 PN knm 为 其中 又设点 P 的坐标为 由 nm 1 2 2 2 2 b n a m yx mx ny kPM PN k 得 mx ny 22 22 mx ny mx ny mx ny kk PNPM 将 代入得 命题得证 22 2 2 2 bx a b y 22 2 2 2 bm a b n 2 2 a b kk PNPM 例 8 直线 与双曲线 C 的右支交于不同的两点 A B l1 kxy12 22 yx 1 求实数的取值范围 k 2 是否存在实数 使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F 若存在 k 求出的值 若不存在 说明理由 k 解 解 1 将直线 的方程代入双曲线 C 的方程后 整理 得l1 kxy12 22 yx 依题意 直线 与双曲线 C 的右支交于不同两点 故022 2 22 kxxkl 解得的取值范围为 0 2 2 0 2 2 0 2 8 2 02 2 2 22 2 k k k kk k k22 k 2 设 A B 两点的坐标分别为 则由 式得 2211 yxyx 假设存在实数 使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦 2 2 2 2 2 21 2 21 k xx k k xx k 点 F 则由 FA FB 得0 c0 2121 yycxcx 即0 1 1 2121 kxkxcxcx 整理得 01 1 2 2121 2 cxxckxxk 把 式及代入 式化简得 2 6 c06625 2 kk 解得或 舍去 5 66 k 2 2 5 66 k 可得使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 5 66 k 模拟试题模拟试题 答题时间 60 分钟 一 选择题 1 椭圆的一条准线为 则椭圆的离心率等于 1 6 4 3 22 m yx 7 xe A B C D 2 1 2 2 2 3 4 1 2 双曲线的离心率 则的取值范围是 1 4 22 k yx 2 1 ek A B C D 0 0 12 0 3 12 60 3 若椭圆和双曲线有相同的左 右1 22 n y m x 0 mm1 22 b y a x 0 ba 焦点 P 是两条曲线的一个交点 则的值是 1 F 2 F 21 PFPF A B C D am 2 1 am 22 am am 4 双曲线的焦点为 弦 AB 过且两端点在双曲线的一支上 若1 2 2 2 2 b y a x 1 F 2 F 1 F 则 2 22 ABBFAF AB A 为定值 B 为定值 C 为定值 D 不为定值a2a3a4 5 设 P 是椭圆上一点 是椭圆的两个焦点 则的最小1 49 22 yx 1 F 2 F 21 cosPFF 值是 A B C D 9 1 1 9 1 2 1 6 若点 P 在抛物线上 点 Q 在圆上 则的最小值为 xy 2 1 3 22 yx PQ A B C D 13 1 2 10 21 2 11 7 抛物线上到顶点与焦点距离相等的点的坐标为 xy16 2 A B C D 2 24 2 24 24 2 24 2 8 将离心率为的椭圆 绕着它的左焦点按顺时针方向旋转 4 3 1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 后 所得新椭圆的一条准线方程为 则新椭圆的另一条准线方程为 2 3 14 y A B C D 3 14 y 3 23 y 3 32 y 3 50 y 二 填空题 1 已知 是双曲线的两个焦点 PQ 是经过且垂直 1 F 2 F1 2 2 2 2 b y a x 0 0 ba 1 F 于轴的双曲线的弦 如果 则双曲线的离心率是 x 90 2 QPF 2 已知点是椭圆上的一点 P 是椭圆上的动点 当弦 AP 的长度最 1 0 A44 22 yx 大时 则点 P 的坐标是 3 正三角形的一个顶点位于坐标原点 另外两个顶点在抛物线上 这个正三xy72 2 角形的边长是 4 抛物线的弦 AB 垂直于轴 若 则焦点到 AB 的距离为 xy4 2 x34 AB 三 解答题 1 已知中心在原点 一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的 50 0 F23 xyl 横坐标为 求椭圆的方程 2 1 2 设 AB 是抛物线上的动弦 且 为常数 求弦 AB 中点 M 到 2 xy aAB 1 a 轴的最近距离 并研究的情况 x10 a 3 求抛物线上的点到直线的距离的最小值 并求取得最小xy64 2 04634 yx 值时的抛物线上的点的坐标 试题答案试题答案 一 1 A 2 B 3 A 4 C 5 A 6 D 7 C 8 D 二 1 2 3 4 21 3 1 2 3 4 31442 三 1 解 椭圆的中心在原点 焦点在轴上 椭圆的方程为标准方程y 椭圆的方程可写成50 c50 22 ba1 50 2 2 2 2 b x b y 把直线代入椭圆的方程并整理得23 xyxbxb 222 12 5 10 046 24 bb 弦的中点的横坐标为 5 10 12 2 2 21 b b xx 2 1 所求椭圆的方程为1 5 10 12 2 2 b b 25 2 b75 2 a1 2575 22 xy 2 1 解法一 设直线 AB 的方程为 A B 两点的坐标分别为 bkxy 11 yxA 由 得 2 xB 2 y 2 xy bkxy 0 2 bkxxkxx 21 bxx 21 化简得abkkxxkAB 41 1 22 21 2 1 4 2 422 k kka b 点 M 到轴的距离为x 2 21 yy yd 2 2 21 bxxk 2 2 2 kb 1 4 2 422 k kka 1 1 1 4 1 2 2 2 k k a 1 1 1 2 4 1 2 2 2 k k a 12 4 1 a 当且仅当 即时 成立 2 2 2 1 1 k k a 1 ak 1 a 解法二 设 A M B 点的纵坐标分别为 A M