高一数学竞赛模拟试题

用心 爱心 专心 高一数学竞赛模拟试题高一数学竞赛模拟试题 一 选择题 1 某流程如图所示 现输入如下四个函数 则可以输出的函数是 D A 2 f xx B 1sinf xx C ln26f xxx D 2 lg 1 f xxx 2 已知cba 均为正数 且都不等于 1 若实数zyx 满足 0 111 zyx cba zyx 则abc的值等于 A 1B 2C 3D 4 3 函数 3 log 3 x y 的图象是 A 用心 爱心 专心 S 4 设集合 22 8 29 AaaNBbbN 若ABP 则P中元素个数为 C A 0B 1C 2D 至少 3 个 5 若 1 618 0 3Zkkka a 则k的值为 B A 0 B 1 C 1 D 以上均不对 6 函数 y log2 x2 3x 2 的递增区间为 B A 1 B 2 C 2 3 D 2 3 7 函数 2 2 1 在 x ax y上为增函数 则实数a的取值范围是 D A 2 1 a B 2 1 a C 2 1 a D 2 1 a 8 盒子中有 10 只螺丝钉 其中有 只是坏的 现从盒中随机地抽取 4 个 那么 3 10 等于 C 恰有 只是坏的概率 恰有 只是好的概率 至多 只是坏的概率 只全是好的概率 9 如图 正三棱锥 S ABC 的侧棱与底面边长相等 如果 E F 分别是 SC AB 的中点 那 么异面直线 EF 与 SA 所成的角等于 B A 90 B 45 C 60 D 30 10 已知 yyyy xxyxxx 则且 0 1 22的值等于 B A 2 或 2B 2C 2D 2 11 图输出的是 D 用心 爱心 专心 2005 B 65 64 63 12 方程0 12 2 mxmmx 有两个不等实根 则实数m 的取值范围是 D A 4 1 m B 4 1 m C 4 1 m D 0 4 1 mm 二 填空题 13 已知无论 k 为何实数 直线 2k 1 x k 2 y k 8 0 恒通过一个定点 则这个定点 是 14 长方体 1111 ABCDABC D 中 已知 1 4AB 1 3AD 则对角线 1 AC的取值范围 是 答案 4 5 15 已知 xf是定义在 R 上的函数 且 2 1 2 1 xf xf xf 若 3 23f 则 2007 f 的值为 16 如图 E F 分别为正方体的面 11A ADD 面 11B BCC的中心 则四边形EBFD1在 用心 爱心 专心 该正方体的面上的射影可能是 填出所有可能的序号 三 解答题 17 已知 xxxf 1ln1ln 1 求 0 f 2 判断此函数的奇偶性 3 若 2ln af 求a的值 18 如图 四棱锥 P ABCD 的底面是 AB 2 BC 2的矩形 侧面 PAB 是等边三角形 且侧面 PAB 底面 ABCD 证明 BC 侧面 PAB 用心 爱心 专心 证明 侧面 PAD 侧面 PAB 求侧棱 PC 与底面 ABCD 所成角的大小 19 已知正四棱锥 R ABCD 的底面边长为 4 高为 6 点 O 是底面 ABCD 的中心 点 P 是 RO 的中点 点 Q 是 RBC 的重心 1 求证 面 ROQ 面 RBC 2 求直线 PQ 与底面 ABCD 所成的角 3 求异面直线 PQ 与 BR 所成的角的余弦值 用心 爱心 专心 20 已知函数 22 22 xx xx xf 1 求函数的定义域 2 判断函数的奇偶性 并证明 3 讨论函数在定义域上的单调性如何 并思考函数f x 的图象上是否存在两个不同的 点 A B 使直线 AB 恰好与 y 轴垂直 若存在 求出 A B 两点的坐标 若不存在 说明理由并加以 证明 用心 爱心 专心 参考答案参考答案 一 选择题 DAACB BDCBB DD 二 填空题 13 2 3 14 4 5 16 15 23 解 4 1 4 2 2 4 1 4 1 1 4 1 4 1 1 2 1 2 1 xfxf xf xf xf xf xf xf xf 8 xfxf 即函数的周期为 8 故 11 2007 7 32 3 23 ff f 用心 爱心 专心 三 解答题 17 解 1 因为 xxxf 1ln1ln所以 0 f 000 01ln 01ln 2 由01 x 且01 x知 11 x所以此函数的定义域为 1 1 又 1ln 1 ln 1ln 1ln xxxxxf xf 由上可知此函数为奇函数 3 由 2ln af知 aa 1ln1ln2ln 1 1 ln a a 得 11 a且2 1 1 a a 解得 3 1 a 所以a的值为 3 1 18 解 证 侧面 PAB 垂直于底面 ABCD 且侧面 PAB 与底面 ABCD 的交线是 AB 在矩形 ABCD 中 BC AB BC 侧面 PAB 证 在矩形 ABCD 中 AD BC BC 侧面 PAB AD 侧面 PAB 又 AD 在平面 PAD 上 所以 侧面 PAD 侧面 PAB 解 在侧面 PAB 内 过点 P 做 PE AB 垂足为 E 连结 EC 侧面 PAB 与底面 ABCD 的交 线 是 AB PE AB PE 底面 ABCD 于是 EC 为 PC 在底面 ABCD 内的射影 PCE 为侧棱 PC 与底面 ABCD 所成的角 在 PAB 和 BEC 中 易求得 PE 3 3 EC 在 Rt PEC 中 PCE 450 19 解 1 正四棱锥 R ABCD 中 Q 是 RBC 的重心 RQ BC 又 RO 底面 ABCD RO BC RO RQ R BC 平面 ROQ 平面 ROQ 平面 RBC 2 延长 RQ 交 BC 于点 M 由 PQ 与 OM 不平行且共面 所以它们必相交 设 PQ OM N 则 PNO 为直线 PQ 与底面 ABCD 所成的角 可求得 4 3 tan PNO 即直线 PQ 与底面 ABCD 所 成的角为 4 3 arctan 3 在 BC 上取一点 K 使 3 1 BCBK 则BRQK 计算可得 3 112 3 5 3 11 OKPQPK 由此可求得 PQ 与 BR 所成的角为 55 1113 arccos 20 解 1 由014022 xxx 得所以 xf的定义域 Rxx 2 奇 3 不存在 因为 xfy 在 R 上为增函数 证明 任设x1 x2 则 14 14 44 14 14 14 14 21 21 2 2 1 1 21 xx xx x x x x xfxf 因为x1