高二数学 上学期曲线和方程例题（二）

用心 爱心 专心 高二数学高二数学 上学期曲线和方程例题 二 上学期曲线和方程例题 二 例 1 过定点 A a b 任作互相垂直的直线 l1和 l2 分别与 x 轴 y 轴交于 M N 点 求线段 MN 中 点的轨迹方程 说明 要求学生注意求解曲线轨迹方程一般步骤的应用 解 设线段 MN 的中点为 P x y 则点 M 2x 0 N 0 2y 根据勾股定理得 AM 2 AN 2 MN 2 即 a 2x 2 b2 a2 b 2y 2 2x 2 2y 2 化简得 2ax 2by a2 b2 0 例 2 动点 B 在直线 y 2x 上滑动 x 轴上有一定点 A 3 0 求 OAB 的重心 G 的轨迹方程 分析 在曲线轨迹方程求出之后 应注意应根据题意考查特殊点是否符 合题意 解 设 OAB 的重心 G x y B x1 y1 则 x 3 00 3 30 11 y y x x1 3x 3 y1 3y 又 点 B x1 y1 在直线 y 2x 上 3y 2 3x 3 即 2x y 2 0 此直线平行于直线 y 2x 与 x 轴交点 1 0 不符题意 应除去 所以所求重心轨迹方程为 2x y 2 0 x 1 相关高考真题 例 1 1999 全国 如图 给出定点 A a 0 a 0 a 1 和直线 l x 1 B 是直线 l 上的动点 BOA 的角平分线交 AB 于点 C 求点 C 的轨迹方程 并讨论方程表示的曲线类型与 a 值的关系 解法一 依题意 记 B 1 b b R 则直线 OA 和 OB 的方程分别为 y 0 和 y bx 设点 C x y 则有 0 x a 由 OC 平分 AOB 知点 C 到 OA OB 距离相等 根据点到直线的距离公式得 2 1 b bxy y 依题设 点 C 在直线 AB 上 故有 1 ax a b y 由 x a 0 得 y ax a b 1 将 式代入 式得 22 2 2 2 1 1 1 ax xya yy ax a y 整理得0 1 2 1 222 yaaxxay 若 y 0 则 1 a x2 2ax 1 a y2 0 0 x a 若 y 0 则 b 0 AOB 点 C 坐标为 0 0 满足上式 故点 C 的轨迹方程为 用心 爱心 专心 1 a x2 2ax 1 a y2 0 0 x a a 1 0 x a 1 1 1 1 2 2 2 2 2 a a y a a a a x 由此知 当 0 a 1 时 方程 表示椭圆弧段 当 a 1 时 方程 表示双曲线一支的弧段 解法二 如图 设 D 是 l 与 x 轴的交点 过点 C 作 CE x 轴 E 是垂足 当 BD 0 时 设点 C x y 则 0 x a y 0 由 CE BD 得 BD 1 a xa y EA DACE COA COB COD BOD COA BOD 2 COA BOD 1 1 2 1 tan tan tan tan tan1 tan2 2tan 2 2 2 a xa y x y x y a xa y OD BD BOD x y COA BODBOD COA COA COA 整理得 1 a x2 2ax 1 a y2 0 0 x a 当 BD 0 时 BOA 则点 C 坐标为 0 0 满足上式 综合 得到C的轨迹方 程为 1 a x2 2ax 1 a y2 0 0 x a 以下同解法一 例 2 1995 年全国 已知椭圆直线 l x 12 P 是 l 上一点 1 1624 22 yx 射线 OP 交椭圆于点 R 又点 Q 在 OP 上 且满足 OQ OP OR 2 当点 P 在 l 上移动时 求点 Q 的轨迹方程 并说明轨迹是什么曲线 解 设点 P Q R 坐标分别为 12 yP x y xR yR 由题设知 xR 0 x 0 由点 R 在椭圆上及点 O Q R 共线 得方程组 x y x y yx R R RR 1 1624 22 用心 爱心 专心 解得 22 2 2 22 2 2 32 48 32 48 yx y y yx x x R R 由点 O Q P 共线 得 12x yyP 即 x y yP 12 由题设 OQ OP OR 2 得 2222222 12 RRP yxyyx 将 代入上式 整理得点 Q 的轨迹方程 x 0 1 3 2 1 2 2 y x 所以