高考数学试题分类详解圆锥曲线

用心 爱心 专心 2007 年高考数学试题分类详解年高考数学试题分类详解 圆锥曲线圆锥曲线 一 选择题 1 全国 1 文理 已知双曲线的离心率为 2 焦点是 则双曲线方程为 4 0 4 0 A B C D 22 1 412 xy 22 1 124 xy 22 1 106 xy 22 1 610 xy 解 已知双曲线的离心率为 2 焦点是 则 c 4 a 2 双曲线方 4 0 4 0 2 12b 程为 选 A 22 1 412 xy 2 全国 1 理 11 文 12 抛物线的焦点为 F 准线为 l 经过 F 且斜率为的直线 2 4yx 3 与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A 垂足为 K 则 AKF 的面积是AKl A 4 B C D 83 34 3 解 抛物线的焦点 F 1 0 准线为 l 经过 F 且斜率为的直线 2 4yx 1x 3 与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A 3 2 垂足为3 1 yx 3AKl K 1 2 AKF 的面积是 4 选 C 33 3 山东文 9 设是坐标原点 是抛物线的焦点 是抛物线上的OF 2 2 0 ypx p A 一点 与轴正向的夹角为 则为 FA x60 OA A B C D 21 4 p21 2 p13 6 p 13 36 p 答案答案 B 分析分析 利用圆锥曲线的第二定义 利用圆锥曲线的第二定义 过 A 作轴于 D 令 ADx FDm 则 2FAm 2pmm mp 用心 爱心 专心 22 21 3 22 p OAppp 4 天津理 4 设双曲线的离心率为且它的一条准线与抛物线 22 22 1 0 0 yx ab ab 3 的准线重合 则此双曲线的方程为 2 4yx A B C D 22 1 1224 yx 22 1 4896 yx 22 2 1 33 yx 22 1 36 yx 答案 D 分析 由可得故选 D3 c a 2 1 a c 3 6 3 abc 5 天津文 7 设双曲线的离心率为 且它的一条准线与抛 22 22 1 00 xy ab ab 3 物线的准线重合 则此双曲线的方程为 2 4yx 22 1 1224 xy 22 1 4896 xy 22 2 1 33 xy 22 1 36 xy 解 D 解析 抛物线的准线为 故有 2 4yx 1x 2 1 a c 又 双曲线的离心率为 故有 22 22 1 00 xy ab ab 33 c a 得到 进而求出 双曲线的方程为 3a 2 3 6cb 22 1 36 xy 6 全国 2 理 11 设 F1 F2分别是双曲线的左 右焦点 若双曲线上存在点 22 22 1 xy ab A 使 F1AF2 90 且 AF1 3 AF2 则双曲线离心率为 A B C D 5 2 10 2 15 2 5 用心 爱心 专心 解 设 F1 F2分别是双曲线的左 右焦点 若双曲线上存在点 A 使 22 22 1 xy ab F1AF2 90 且 AF1 3 AF2 设 AF2 1 AF1 3 双曲线中 12 2 2aAFAF 离心率 选 B 22 12 2 10cAFAF 10 2 e 7 全国 2 文 11 已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍 则椭圆的离心率等于 A B C D 1 3 3 3 1 2 3 2 解 已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍 椭圆的离心率 选 D 2ab 3 2 c e a 8 全国 2 文 12 设分别是双曲线的左 右焦点 若点在双曲线上 12 FF 2 2 1 9 y x P 且 则 12 0PF PF A 12 PFPF A B C D 102 1052 5 解 设分别是双曲线的左 右焦点 若点在双曲线上 且 12 FF 2 2 1 9 y x P 则 选 B 12 0PF PF A 12 PFPF 2 PO 12 2 10FF 9 安徽文 2 椭圆的离心率为14 22 yx A B C D 2 3 4 3 2 2 3 2 解析 椭圆中 离心率为 选 A 14 22 yx 1 1 2 ab 3 2 c 2 3 10 安徽理 9 如图 和分别是双曲线 1 F 2 F 的两个焦点 和是以为圆心 0 0 1 2 2 2 2 ba b r a x ABO 用心 爱心 专心 以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点 且 是等边三角形 则双曲线 1 FOABF2 的离心率为 A B C D 35 2 5 31 解析 如图 和分别是双曲线的两个焦点 和是以 1 F 2 F 0 0 1 2 2 2 2 ba b r a x AB 为圆心 以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点 O 1 FO 且 是等边三角形 连接 AF1 AF2F1 30 ABF2 AF1 c AF2 c 双曲线的离心率为32 31 ac 选 D 31 11 北京文 4 椭圆的焦点为 两条准线与轴的交点分 22 22 1 0 xy ab ab 1 F 2 Fx 别为 若 则该椭圆离心率的取值范围是 MN 12 MNFF 1 0 2 2 0 2 1 1 2 2 1 2 解析 椭圆的焦点为 两条准线与轴的交点分别为 22 22 1 0 xy ab ab 1 F 2 Fx 若 则 该椭圆离心率MN 2 2 a MN c 12 2FFc 12 MNFF 2 2 a c c e 取值范围是 选 D 2 22 1 2 12 江苏 3 在平面直角坐标系中 双曲线中心在原点 焦点在轴上 一条渐近线xOyy 方程为 则它的离心率为 A 20 xy A B C D 5 5 2 32 用心 爱心 专心 解析 由 选 Aab b a 2 2 1 得abac5 22 5 a c e 13 福建理 6 以双曲线的右焦点为圆心 且与其渐近线相切的圆的方程是 A B C D 解析 右焦点即圆心为 5 0 一渐近线方程为 即 xy 3 4 034 yx 圆方程为 即 A 选 A4 5 020 r16 5 22 yx 14 福建文 10 以双曲线 x2 y2 2 的右焦点为圆心 且与其右准线相切的圆的方程是 A x2 y2 4x 3 0B x2 y2 4x 3 0 C x2 y2 4x 5 0D x2 y2 4x 5 0 解析 双曲线 x2 y2 2 的右焦点为 2 0 即圆心为 2 0 右准线为 x 1 半径为 1 圆方程为 即 x2 y2 4x 3 0 选 B1 2 22 yx 14 湖南理 9 设分别是椭圆 的左 右焦点 若在其右 12 FF 22 22 1 xy ab 0ab 准线上存在 使线段的中垂线过点 则椭圆离心率的取值范围是 P 1 PF 2 F A B C D 2 0 2 3 0 3 2 1 2 3 1 3 答案 D 解析 由已知 P 所以的中点 Q 的坐标为 由 2 a y c 1 FP 2 22 by c 1212 4 22 2222 1 2 2 F PQFF PQF cycyb kkkkyb bbcc 222 22 113 3 0 3 0 1 3 yace ee 当时 不存在 此时为中点 1 0 F P k 2 QF k 2 F 2 3 2 3 a cce c 用心 爱心 专心 综上得 3 1 3 e 15 湖南文 9 设分别是椭圆的左 右焦点 P 是其右准线 12 FF 22 22 10 xy ab ab 上纵坐标为 为半焦距 的点 且 则椭圆的离心率是3cc 122 FFF P A B C D 31 2 1 2 51 2 2 2 答案 D 解析 由已知 P 所以化简得c c a 3 2 22 2 3 2cc c a c 2 2 02 22 a c eca 16 江西理 9 文 12 设椭圆的离心率为 右焦点为 22 22 1 0 xy ab ab 1 e 2 0 F c 方程的两个实根分别为和 则点 2 0axbxc 1 x 2 x 12 P xx 必在圆内 必在圆上 22 2xy 22 2xy 必在圆外 以上三种情形都有可能 22 2xy 解析 由 得 a 2c b 所以 所以点 1 e 2 a c c3 2 1 2 3 2121 a c xx a b xx 到圆心 0 0 的距离为 12 P xx 所以点 P 在圆内 选 A2 4 7 1 4 3 2 21 2 21 2 2 2 1 xxxxxx 17 江西文 7 连接抛物线的焦点与点所得的线段与抛物线交于点 2 4xy F 10 M A 设点为坐标原点 则三角形的面积为 OOAM 12 3 2 2 12 3 2 2 用心 爱心 专心 x y M F1F2 D L O 解析 线段所在直线方程与抛物线交于则 FM1xy 00 A xy 选 B 0 2 1 32 2 4 xy y xy 1 1 32 2 2 OAM S 3 2 2 18 湖北理 7 双曲线的左准线为 左焦点和右焦点分别 22 1 22 1 00 xy Cab ab l 为和 抛物线的准线为 焦点为与的一个交点为 则 1 F 2 F 2 Cl 21 FC 2 CM 等于 A B C 121 12 FFMF MFMF 1 1 1 2 D 1 2 答案 选 A 解析 由题设可知点同时满足双曲线和抛物线的定义 M 且在双曲线右支上 故 由定义可得 12 2 1 2MFMFa MFMD c MFMD a 2 12 22 aca MFMF caca 故原式 选 A 2 2 2 1 2 2 ac ccac ca ac aaa ca ca 19 浙江理 9 文 10 已知双曲线的左 右焦点分别为 22 22 1 00 xy ab ab 1 F 是准线上一点 2 FP 且 则双曲线的离心率是 12 PFPF 12 4PFPFab A 2323 答案答案 B 分析分析 设准线与 x 轴交于 A 点 在中 21F PFRt 21 PFPFPAFF 21 用心 爱心 专心 又 c ab c ab PA 2 2 4 AFAFPA 21 2 c a c c a c c ba 22 2 22 4 化简得 故选答案 B 22 3ac 3 e 20 海 宁理 6 文 7 已知抛物线的焦点为 点 2 2 0 ypx p F 在抛物线上 且 则有 111222 P xyP xy 333 P xy 213 2xxx 123 FPFPFP 222 123 FPFPFP 213 2 FPFPFP 2 213 FPFPFP 答案答案 C 分析分析 由抛物线定义 即 213 2 222 ppp xxx 213 2 FPFPFP 21 重庆文 12 已知以 F1 2 0 F2 2 0 为焦点的椭圆与直线340 xy 有且仅有一个交点 则椭圆的长轴长为 A B C D 23627224 答案答案 C 分析分析 设椭圆方程为消 x 得 22 1 0 mxnymn 22 1 340 mxny xy 即 2 3 8 31610 0316 mn ymymmnmn 又 联立解得 31 16 nm 11 24 c mn 由焦点在 x 轴上 故长轴长为 1 1 7 1 1 5 3 mm n n 或2 7 22 辽宁理 11 设为双曲线上的一点 是该双曲线的两个焦点 若P 2 2 1 12 y x 12 FF 则的面积为 12 3 2PFPF 12 PFF 用心 爱心 专心 A B C D 6 31212 324 解析 因为 设 根据双曲线定义得 12 3 2PFPF xPFxPF2 3 21 所以 2223 21 axxxPFPF132 4 6 2121 FFPFPF 为直角三角形 其面积为 选 B 222 4652 132 12 PFF 1246 2 1 23 辽宁文 3 双曲线的焦点坐标为 22 1 169 xy A B 7 0 7 0 07 07 C D 5 0 5 0 05 0 5 解析 因为 a 4 b 3 所以 c 5 所以焦点坐标为 选 C 5 0 5 0 24 四川文理 5 如果双曲线上一点到双曲线右焦点的距离是 2 那么点 22 1 42 xy P 到轴的距离是 Py A B C D 4 6 3 2 6 3 2 62 3 解析 选 A 由点到双曲线右焦点的距离是 2 知在双曲线右支上 又由双曲线P 6 0 P 的第二定义知点到双曲线右准线的距离是 双曲线的右准线方程是 故P 2 6 3 2 6 3 x 点到轴的距离是 Py 4 6 3 25 四川理 8 文 10 已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点 2 3yx 0 xy A 则等于 BAB A 3 B 4 C D 3 24 2 解析 选 C 设直线的方程为 由AByxb 用心 爱心 专心 进而可求出的中点 2 2 12 3 301 yx xxbxx yxb AB 又由在直线上可求出 11 22 Mb 11 22 Mb 0 xy 1b 由弦长公式可求出 本题考查直线 2 20 xx 22 1 114 2 3 2AB 与圆锥曲线的位置关系 自本题起运算量增大 26 陕西文理 3 抛物线的准线方程是yx 2 A 4y 1 0 B 4x 1 0 C 2y 1 0 D 2x 1 0 解析 P 准线方程为 y 即 选 A 2 1 4 1 2 P 014 y 27 陕西理 7 文 9 已知双曲线 C a 0 b 0 以 C 的右焦点为圆心且与 C1 2 2 2 2 b y c a 的浙近线相切的圆的半径是 A B C a D bab 22 ba 解析 圆的半径是 C 0 到渐近线的距离 所以 R x a b y b c bc ab abc 22 0 选 D 二 填空题 1 广东理 11 在直角坐标系 xOy 中 有一定点 A 2 1 若线段 OA 的垂直平分线过抛 物线的焦点 则该抛物线的准线方程是 2 2 0 ypx p 答案 5 4 x 解析 OA 的垂直平分线的方程是 y 令 y 0 得到 x 1 2 1 2 x 5 4 2 广东文11 在平面直角坐标系xOy中 已知抛物线关于x轴对称 顶点在原点O 且过点 P 2 4 则该抛物线的方程是 解析 设所求抛物线方程为 依题意 故所求为 2 yax 2 428aa 2 8yx 3 山东理 13 设是坐标原点 是抛物线的焦点 是抛物线上的OF 2 2 0 ypx p A 一点 与轴正向的夹角为 则为 FA x60 OA 用心 爱心 专心 答案答案 分析分析 过 A 作轴于 D 令 则 21 2 pADx FDm 2FAm 2pmm mp 22 21 3 22 p OAppp 4 江苏 15 在平面直角坐标系中 已知顶点和 顶点在xOyABC 4 0 A 4 0 CB 椭圆上 则 5 4 1 925 22 yxsinsin sin AC B 解析 利用椭圆定义和正弦定理 得 b 2 4 81052 ca sinsin sin AC B 4 5 8 10 b ca 5 上海理 8 已知双曲线 则以双曲线中心为焦点 以双曲线左焦点为顶点 22 1 45 xy 的抛物线方程为 答案答案 3 12 2 xy 解析解析 双曲线的中心为O 0 0 该双曲线的左焦点为F 3 0 则抛物线 22 1 45 xy 的顶点为 3 0 焦点为 0 0 所以p 6 所以抛物线方程是 2 12 3 yx 6 上海文 5 以双曲线的中心为顶点 且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物1 54 22 yx 线方程是 答案答案 2 12yx 解析解析 双曲线的中心为O 0 0 该双曲线的右焦点为F 3 0 则抛物线的 22 1 45 xy 顶点为 0 0 焦点为 3 0 所以p 6 所以抛物线方程是 2 12yx 7 福建理 14 已知正方形 ABCD 则以 A B 为焦点 且过 C D 两点的椭圆的离心率 为 解析 设 c 1 则12 12 1 2122 22 2 a c eaaca a b 8 福建文 15 已知长方形 ABCD AB 4 BC 3 则以 A B 为焦点 且过 C D 两点 用心 爱心 专心 C C B B F F A A O O y y x x 的椭圆的离心率为 解析 由已知 C 2 2 1 4 2 43433 22 2 a c eaaaab a b 9 湖北文 12 过双曲线左焦点 F 的直线交双曲线的左支于 M N 两点 F2为1 34 22 yx 其右焦点 则 MF2 NF2 MN 的值为 答案 8 解析 根据双曲线定义有 MF2 MF 2a NF2 NF 2a 两式相加得 MF2 NF2 MN 4a 8 10 海 宁文理 13 已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2 焦点到渐近线 的距离为 6 则该双曲线的离心率为 答案答案 3 分析分析 如图 过双曲线的顶点 A 焦点 F 分别 向其渐近线作垂线 垂足分别为 B C 则 6 3 2 OFFCc OAABa 11 重庆理 16 过双曲线的右焦点 F 作倾斜角4 22 yx为的直线 交 0 105 双曲线于 P Q 两点 则 FP FQ 的值为 答案答案 8 3 3 分析分析 2 2 0 F 0 tan105 23 k 23 2 2 lyx 代入得 4 22 yx 2 64 3 4 2 74 3 6032 30 xx 设 11221212 4 2 74 3 6032 3 64 364 3 P x yQ xyxxxx 又 22 12 1 2 2 1 2 2 FPkxFQkx 2 1212 1 2 2 8 6032 316 74 3 84 3 8 64 364 3 84 3 4 8 3 364 3 FPFQkx xxx 用心 爱心 专心 12 辽宁理 14 文 16 设椭圆上一点到左准线的距离为 10 是该椭圆的 22 1 2516 xy PF 左焦点 若点满足 则 M 1 2 OMOPDF OM 解析 椭圆左准线为 左焦点为 3 0 P 由已知 22 1 2516 xy 3 25 x 3 28 3 5 M 为 PF 中点 M 所以 3 24 3 2 OM 2 3 24 3 2 22 三 解答题 1 重庆文 21 本小题满分 12 分 小问 4 分 小问 8 分 如题 21 图 倾斜角为 a 的直线经过抛物线的焦点 F 且与抛物线交于xy8 2 A B 两点 题 21 图 求抛物线的焦点 F 的坐标及准线 l 的方程 若 a 为锐角 作线段 AB 的垂直平分线 m 交 x 轴于点 P 证明 FP FP cos2a 为定 值 并求此定值 解 设抛物线的标准方程为 则 从而pxy2 2 82 p 4 p 因此焦点的坐标为 2 0 0 2 p F 又准线方程的一般式为 2 p x 从而所求准线 l 的方程为 2 x 解法一 如图 21 图作 AC l BD l 垂 足为 C D 则由抛物线的定义知 FA FC FB BD 用心 爱心 专心 记 A B 的横坐标分别为 xxxz 则 FA AC 解得 4cos 22 cos 2 aFA pp aFA p xx a FA cos1 4 类似地有 解得 aFBFBcos 4 a FB cos1 4 记直线 m 与 AB 的交点为 E 则 a a aa FBFA FBFA FAAEFAFE 2 sin cos4 cos1 4 cos1 4 2 1 2 1 2 所以 a a FE FP 2 sin 4 cos 故 8 sin sin2 4 2cos1 sin 4 2cos 2 2 2 a a a a aFPFP 解法二 设 直线 AB 的斜率为 则直线方程为 AA yxA BB yxBaktan 2 xky 将此式代入 得 故 xy8 2 04 2 4 2222 kxkxk 2 2 2 k kk xx BA 记直线 m 与 AB 的交点为 则 EE yxE 2 2 2 2 2 k kxx x BA E k xky EE 4 2 故直线 m 的方程为 2 2 4214 k k x kk y 令 y 0 得 P 的横坐标故4 42 2 2 k k xP ak k xFP P 22 2 sin 4 1 4 2 从而为定值 8 sin sin2 4 2cos1 sin 4 2cos 2 2 2 a a a a aFPFP 2 重庆理 22 本小题满分 12 分 如图 中心在原点 O 的椭圆的右焦点为 F 3 0 右准 线 l 的方程为 x 12 1 求椭圆的方程 2 在椭圆上任取三个不同点 使 证明 321 PPP 133221 FPPFPPFPP 为定值 并求此定值 1 1 1 321 FPFPFP X O F Y 2 P 1 P 3 P l 用心 爱心 专心 3 浙江文 21 本题 15 分 如图 直线 y kx b 与椭圆交于 A B 两点 记 2 2 1 4 x y AOB 的面积为 S I 求在 k 0 0 b 1 的条件下 S 的最大值 当 AB 2 S 1 时 求直线 AB 的方程 本题主要考查椭圆的几何性质 椭圆与直线的位置关系 等基础知识 考查解析几何的基本思想方法和综合解题能 力 满分 15 分 I 解 设点 A 的坐标为 点 B 的坐标为 1 x b 2 x b 由 解得 2 2 1 4 x y 2 1 2 2 1xb 所以 222 12 1 2111 2 Sb xxbbbb 当且仅当时 S 取到最大值 1 2 2 b 解 由得 2 2 1 4 ykxb x y 222 41 8440kxkbxb 22 16 41 kb AB 22 22 12 2 16 41 1 12 41 kb kxxk k y x O A B 用心 爱心 专心 又因为 O 到 AB 的距离 所以 2 2 1 1 bS d AB k 22 1bk 代入 并整理 得 42 4410kk 解得 代入 式检验 0 22 13 22 kb 故直线 AB 的方程是 或或或 26 22 yx 26 22 yx 26 22 yx 26 22 yx 4 天津文 22 本小题满分 14 分 设椭圆的左 右焦点分别为 22 22 1 0 xy ab ab 是椭圆上的一点 原点到直线的距离为 12 FFA 212 AFFF O 1 AF 1 1 3 OF 证明 2ab 求使得下述命题成立 设圆上任意点处的切线交 0 tb 222 xyt 00 M xy 椭圆于 两点 则 1 Q 2 Q 12 OQOQ 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质 直线方程 两条直线垂直 圆的方程等 基础知识 考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理 运算能力 满分 14 分 证法一 由题设及 不妨设点 其中 212 AFFF 1 0 Fc 2 0 F c A cy 由于点在椭圆上 有 0y A 22 22 1 cy ab 222 22 1 aby ab 解得 从而得到 2 b y a 2 b A c a 直线的方程为 整理得 2 AF 2 2 b yxc ac 用心 爱心 专心 22 20b xacyb c 由题设 原点到直线的距离为 即O 1 AF 1 1 3 OF 2 422 3 4 cb c ba c 将代入原式并化简得 即 222 cab 22 2ab 2ab 证法二 同证法一 得到点的坐标为 A 2 b c a 过点作 垂足为 易知 故O 1 OBAF H 112 FBCFF A 2 11 BOF A OFF A 由椭圆定义得 又 所以 12 2AFAFa 1 1 3 BOOF 22 12 1 32 F AF A F AaF A 解得 而 得 即 2 2 a F A 2 2 b F A a 2 2 ba a 2ab 解法一 圆上的任意点处的切线方程为 222 xyt 00 M xy 2 00 x xy yt 当时 圆上的任意点都在椭圆内 故此圆在点处的切线必交椭圆 0 tb 222 xyt A 于两个不同的点和 因此点 的坐标是方程组 1 Q 2 Q 111 Q xy 222 Q xy 的解 当时 由 式得 2 00 222 22 x xy yt xyb 0 0y 2 0 0 tx x y y 代入 式 得 即 2 2 22 0 0 22 tx x xb y A O 1 F 2 F H x y 用心 爱心 专心 2222422 0000 2 4220 xyxt x xtb y 于是 2 0 12 22 00 4 2 t x xx xy 422 0 12 22 00 22 2 tb y x x xy 22 0112 12 01 tx x tx x y y yy A 422 012012 2 0 1 tx txxx x x y 2422 422 00 00 22222 00000 4221 22 t xtb y tx tx yxyxy 422 0 22 00 2 2 tb x xy 若 则 12 OQOQ 4224224222 0000 1212 222222 000000 22232 0 222 tb ytb xtbxy x xy y xyxyxy 所以 由 得 在区间内此方 4222 00 32 0tbxy 222 00 xyt 42 2 320tb t 0 b 程的解为 6 3 tb 当时 必有 同理求得在区间内的解为 0 0y 0 0 x 0 b 6 3 tb 另一方面 当时 可推出 从而 6 3 tb 1212 0 x xy y 12 OQOQ 综上所述 使得所述命题成立 6 0 3 tbb 5 天津理 22 本小题满分 14 分 设椭圆的左 右焦点分别为 22 22 1 0 xy ab ab 用心 爱心 专心 是椭圆上的一点 原点到直线的距离为 12 FFA 212 AFFF O 1 AF 1 1 3 OF 证明 2ab 设为椭圆上的两个动点 过原点作直线的垂线 12 QQ 12 OQOQ O 12 QQOD 垂足为 求点的轨迹方程 DD 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质 直线方程 求曲线的方程等基础知识 考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理 运算能力 满分 14 分 证法一 由题设及 不妨设点 其中 212 AFFF 1 0 Fc 2 0 F c A cy 由于点在椭圆上 有 即 0y A 22 22 1 cy ab 222 22 1 aby ab 解得 从而得到 2 b y a 2 b A c a 直线的方程为 整理得 1 AF 2 2 b yxc ac 22 20b xacyb c 由题设 原点到直线的距离为 即 O 1 AF 1 1 3 OF 2 422 3 4 cb c ba c 将代入上式并化简得 即 222 cab 22 2ab 2ab 证法二 同证法一 得到点的坐标为 A 2 b c a 过点作 垂足为 易知 故 O 1 OBAF B 1 FBO 12 FF A 2 11 BOF A OFF A 由椭圆定义得 又 12 2AFAFa 1 1 3 BOOF 所以 22 12 1 32 F AF A F AaF A 解得 而 得 即 2 2 a F A 2 2 b F A a 2 2 ba a 2ab 解法一 设点的坐标为 D 00 xy A O 1 F 2 F B x y 用心 爱心 专心 当时 由知 直线的斜率为 所以直线的方程为 0 0y 12 ODQQ 12 QQ 0 0 x y 12 QQ 或 其中 0 00 0 x yxxy y ykxm 0 0 x k y 2 0 0 0 x my y 点的坐标满足方程组 111222 Q xyQ xy 222 22 ykxm xyb 将 式代入 式 得 222 2 2xkxmb 整理得 2222 12 4220kxkmxmb 于是 12 2 4 12 km xx k 2 12 2 22 12 mb x x k 由 式得 22 12121212 y ykxm kxmk x xkm xxk 22222 22 22 2242 121212 mbkmmb k kkmm kkk 由知 将 式和 式代入得 12 OQOQ 1212 0 x xy y 2222 2 322 0 12 mbb k k 222 32 1 mbk 将代入上式 整理得 2 00 0 00 xx kmy yy 222 00 2 3 xyb 当时 直线的方程为 的坐标满足方程组 0 0y 12 QQ 0 xx 111222 Q xyQ xy 0 222 22 xx xyb 所以 120 xxx 22 0 1 2 2 2 bx y 由知 即 12 OQOQ 1212 0 x xy y 22 2 0 0 2 0 2 bx x 用心 爱心 专心 解得 22 0 2 3 xb 这时 点的坐标仍满足 D 222 00 2 3 xyb 综上 点的轨迹方程为 D 222 2 3 xyb 解法二 设点的坐标为 直线的方程为 由 D 00 xy OD 00 0y xx y 12 ODQQ 垂足为 可知直线的方程为 D 12 QQ 22 0000 x xy yxy 记 显然 点的坐标满足方程组 22 00 mxy 0m 111222 Q xyQ xy 00 222 22 x xy ym xyb 由 式得 00 y ymx x 由 式得 222222 000 22y xy yy b 将 式代入 式得 22222 000 2 2y xmx xy b 整理得 222222 0000 2 4220 xyxmx xmb y 于是 222 0 12 22 00 22 2 mb y x x xy 由 式得 00 x xmy y 由 式得 222222 000 22x xx yx b 将 式代入 式得 22222 000 22my yx yx b 整理得 222222 0000 2 220 xyymy ymb x 于是 222 0 12 22 00 2 2 mb x y y xy 由知 将 式和 式代入得 12 OQOQ 1212 0 x xy y 222222 00 2222 0000 222 0 22 mb ymb x xyxy 用心 爱心 专心 2222 00 32 0mbxy 将代入上式 得 22 00 mxy 222 00 2 3 xyb 所以 点的轨迹方程为 D 222 2 3 xyb 6 四川文 21 本小题满分 12 分 求 F1 F2分别是椭圆的左 右焦点 2 2 1 4 x y 若 r 是第一象限内该数轴上的一点 求点 P 的作标 22 12 5 4 PFPF 设过定点 M 0 2 的直线 l 与椭圆交于同的两点 A B 且 ADB 为锐角 其中 O 为作标原点 求直线 的斜率的取值范围 lk 解析 本题主要考查直线 椭圆 平面向量的数量积等基础知识 以及综合运用数学知识 解决问题及推理计算能力 易知 2a 1b 3c 设 则 1 3 0 F 2 3 0 F P x y 0 0 xy 又 22 12 5 3 3 3 4 PF PFxyxyxy 2 2 1 4 x y 联立 解得 22 2 2 7 4 1 4 xy x y 2 2 1 1 33 42 x x yy 3 1 2 P 显然不满足题设条件 可设 的方程为 设 0 x l2ykx 11 A x y 22 B xy 联立 2 2 2222 1 4 2 4 14 16120 4 2 x y xkxkxkx ykx 12 2 12 14 x x k 12 2 16 14 k xx k 由 22 16 4 14 120kk 得 22 163 14 0kk 2 430k 2 3 4 k 用心 爱心 专心 又为锐角 AOB cos00AOBOA OB 1212 0OA OBx xy y 又 2 12121212 2 2 2 4y ykxkxk x xk xx 1212 x xy y 2 1212 1 2 4kx xk xx 2 22 1216 1 2 4 1414 k kk kk 2 22 12 1 216 4 1414 kkk kk 2 2 4 4 0 14 k k 2 1 4 4 k 综 可知 的取值范围是 2 3 4 4 k k 33 2 2 22 7 四川理 20 本小题满分 12 分 设 分别是椭圆的左 右焦点 1 F 2 F1 4 2 2 y x 若是该椭圆上的一个动点 求 的最大值和最小值 P 1 PF 2 PF 设过定点的直线 与椭圆交于不同的两点 且 为锐角 其中 2 0 MlABAOB 为坐标原点 求直线 的斜率的取值范围 Olk 本题主要考察直线 椭圆 平面向量的数量积等基础知识 以及综合应用数学知识解 决问题及推理计算能力 解 解法一 易知2 1 3abc 所以 设 则 12 3 0 3 0FF P x y 22 12 3 3 3PF PFxyxyxy 2 22 1 1338 44 x xx 因为 故当 即点为椭圆短轴端点时 有最小值 2 2x 0 x P 12 PF PF 2 用心 爱心 专心 当 即点为椭圆长轴端点时 有最大值2x P 12 PF PF 1 解法二 易知 所以 设 则2 1 3abc 12 3 0 3 0FF P x y 222 1212 12121212 12 cos 2 PFPFFF PF PFPFPFFPFPFPF PFPF 以下同解法一 22 2222 1 33123 2 xyxyxy 显然直线不满足题设条件 可设直线 0 x 1222 2 l ykxA x yB xy 联立 消去 整理得 2 2 2 1 4 ykx x y y 22 1 430 4 kxkx 1212 22 43 11 44 k xxxx kk 由得 或 2 2 1 443430 4 kkk 3 2 k 3 2 k 又 00 0090cos000A BA BOA OB 1212 0OA OBx xy y 又 2 12121212 2224y ykxkxk x xk xx 22 22 38 4 11 44 kk kk 2 2 1 1 4 k k 即 2 22 31 0 11 44 k kk 2 4k 22k 故由 得或 3 2 2 k 3 2 2 k 8 上海理 21 已知半椭圆与半椭圆组成的曲线 22 22 10 xy x ab 22 22 10 yx x bc 用心 爱心 专心 称为 果圆 其中 是对应的焦点 222 0 0abcabc 012 F F F 1 若三角形是边长为 1 的等边三角形 求 果圆 的方程 012 F F F 2 若 求的取值范围 11 A AB B b a 3 一条直线与果圆交于两点 两点的连线段称为果圆的弦 是否存在实数 使得斜率k 为的直线交果圆于两点 得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上 若存在 求出所有k 的值 若不存在 说明理由 k 解 1 F0 c 0 F1 0 F2 0 22 cb 22 cb F0F1 F1F2 1 222 bccb12 22 cb 于是 所求 果圆 方程为 4 3 2 c 4 7 222 cba x 0 x 0 4 分1 7 4 22 yx1 3 4 22 xy 2 由题意 得 a c 2b 即 abba 2 22 2b 2 b2 c2 a2 b2 2b a 2 得 7 分 5 4 a b 又 b2 c2 a2 b2 2 1 2 2 a b 5 4 2 2 a b 3 设 果圆 的方程为 x 0 x 0 1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 a x b y 记平行弦的斜率为 k 当 k 0 时 直线 y t b t b 与半椭圆 x 0 的交点是1 2 2 2 2 b y a x 与半椭圆 x 0 的交点是 Q 1 2 2 t b t ap 1 2 2 2 2 a x b y t b t c 1 2 2 用心 爱心 专心 y O 1 A 2 B 2 A 1 B M 1 F 0 F 2 F x P Q 的中点 M x y 满足 ty b tca x 2 2 1 2 得 22 2 2 1 2 xy ac b a 2b 0 2 2 2 2 2 22 bcabca b ca 综上所述 当 k 0 时 果圆 平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆 14 分 当 k 0 时 以 k 为斜率过 B1的直线 l 与半椭圆 x 0 的交点是1 2 2 2 2 b y a x 2 222 322 222 2 bak bbak bak bka 由此 在直线 l 右测 以 k 为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上 即不在某x k b y 2 2 一椭圆上 17 分 当 k 0 时 可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上 18 分 9 上海文 21 本题满分 18 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 4 分 第 2 小题满分 5 分 第 3 小题满分 9 分 我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作1 2 2 2 2 b y a x 0 x 1 2 2 2 2 c x b y 0 x 果圆 其中 222 cba 0 a0 cb 如图 设点 是相应椭圆的焦点 和 是 果圆 与 0 F 1 F 2 F 1 A 2 A 1 B 2 Bx 轴的交点 是线段的中点 yM 21A A 1 若是边长为 1 的等边三角形 求该 012 F FF 果圆 的方程 用心 爱心 专心 2 设是 果圆 的半椭圆P1 2 2 2 2 c x b y 上任意一点 求证 当取得最小值时 0 x PM 在点或处 P 12 BB 1 A 3 若是 果圆 上任意一点 求取得最小值时点的横坐标 PPMP 解 1 2222 012 0 00F cFbcFbc 22222 0212 121F FbccbFFbc 于是 2222 37 44 cabc 所求 果圆 方程为 22 4 1 0 7 xyx 22 4 1 0 3 yxx 2 设 则 P x y 2 2 2 2 y ca xPM 22 22 2 1 0 4 bac xac xbcx c 的最小值只能在或处取到 01 2 2 c b 2 PM0 xcx 即当取得最小值时 在点或处 PMP 12 BB 1 A 3 且和同时位于 果圆 的半椭圆 21 MAMA 1 B 2 B 和半椭圆上 所以 由 2 知 只需研究位于 22 22 1 0 xy x ab 22 22 1 0 yx x bc P 果圆 的半椭圆上的情形即可 22 22 1 0 xy x ab 2 2 2 2 y ca xPM 用心 爱心 专心 2 222 2 2 2 2 2 2 4 4 2 c caaca b c caa x a c 当 即时 的最小值在时取到 2 2 2 aac xa c 2ac 2 PM 2 2 2 c caa x 此时的横坐标是 P 2 2 2 c caa 当 即时 由于在时是递减的 的最a c caa x 2 2 2 ca2 2 PMax 2 PM 小值在时取到 此时的横坐标是 ax Pa 综上所述 若 当取得最小值时 点的横坐标是 若2ac PMP 2 2 2 c caa 当取得最小值时 点的横坐标是或 ca2 PMPac 10 陕西文 22 本小题满分 14 分 已知椭圆 C 1 a b 0 的离心率为 短 2 2 2 2 b y a x 3 6 轴一个端点到右焦点的距离为 3 求椭圆 C 的方程 设直线 l 与椭圆 C 交于 A B 两点 坐标原点 O 到直线 l 的距离为 求 AOB 面积 2 3 的最大值 解 设椭圆的半焦距为 依题意c 6 3 3 c a a 所求椭圆方程为 1b 2 2 1 3 x y 设 11 A xy 22 B xy 1 当轴时 ABx 3AB 2 当与轴不垂直时 ABx 用心 爱心 专心 设直线的方程为 ABykxm 由已知 得 2 3 2 1 m k 22 3 1 4 mk 把代入椭圆方程 整理得 ykxm 222 31 6330kxkmxm 12 2 6 31 km xx k 2 12 2 3 1 31 m x x k 2 22 21 1 ABkxx 222 2 222 3612 1 1 31 31 k mm k kk 22222 2222 12 1 31 3 1 91 31 31 kkmkk kk 2 42 2 2 121212 33 0 34 1 9612 36 96 k k kk k k 当且仅当 即时等号成立 当时 2 2 1 9k k 3 3 k 0k 3AB 综上所述 max 2AB 当最大时 面积取最大值 ABAOB max 133 222 SAB 11 山东理 21 本小题满分 12 分 已知椭圆的中心在坐标原点 焦点在轴上 椭圆上的点到焦点距离的最大值为 CxC3 最小值为 1 求椭圆的标准方程 C 若直线与椭圆相交于 两点 不是左右顶点 且以 l ykxm CABAB 为直径的圆过椭圆的右顶点 求证 直线 过定点 并求出该定点的坐标 ABCl 标准答案标准答案 I 由题意设椭圆的标准方程为 22 22 1 0 xy ab ab 3 1acac 2 2 1 3acb 用心 爱心 专心 22 1 43 xy II 设 由得 1122 A x yB xy 22 1 43 ykxm xy 222 34 84 3 0kxmkxm 2222 6416 34 3 0m kkm 22 340km 2 1212 22 84 3 3434 mkm xxxx kk 22 22 12121212 2 3 4 34 mk yykxmkxmk x xmk xxm k 以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 2 0 D1 ADBD kk 12 12 1 22 yy xx 121212 2 40y yx xxx 222 222 3 4 4 3 16 40 343434 mkmmk kkk 解得 22 71640mmkk 且满足 12 2 2 7 k mk m 22 340km 当时 直线过定点与已知矛盾 2mk 2 l yk x 2 0 当时 直线过定点 2 7 k m 2 7 l yk x 2 0 7 综上可知 直线 过定点 定点坐标为l 2 0 7 12 全国 2 理 20 本小题满分 12 分 在直角坐标系中 以为圆心的圆与直线xOyO 相切 34xy 1 求圆的方程 O 用心 爱心 专心 2 圆与轴相交于两点 圆内的动点使成等比数列 求OxAB PPAPOPB 的取值范围 PA PB A 解 1 依题设 圆的半径等于原点到直线的距离 OrO34xy 即 4 2 1 3 r 得圆的方程为 O 22 4xy 2 不妨设 由即得 1212 0 0 A xB xxx 2 4x 2 0 2 0 AB 设 由成等比数列 得 P xy PAPOPB 222222 2 2 xyxyxy A 即 22 2xy 2 2 PA PBxyxy AA 22 2 4 2 1 xy y 由于点在圆内 故PO 22 22 4 2 xy xy 由此得 2 1y 所以的取值范围为 PA PB A 2 0 13 全国 1 理 21 本小题满分 12 分 已知椭圆的左 右焦点分别为 过的直线交椭圆于两点 过 22 1 32 xy 1 F 2 F 1 FBD 的直线交椭圆于两点 且 垂足为 2 FAC ACBD P 用心 爱心 专心 设点的坐标为 证明 P 00 xy 22 00 1 32 xy 求四边形的面积的最小值 ABCD 证明 椭圆的半焦距 321c 由知点在以线段为直径的圆上 故 ACBD P 12 FF 22 00 1