（江苏专用）2013年高考数学总复习 第二章第10课时 导数与函数的单调性、极值和最值课时闯关（含解析）

1 江苏专用 江苏专用 20132013 年高考数学总复习年高考数学总复习 第二章第第二章第 1010 课时课时 导数导数 与函数的单调性 极值和最值与函数的单调性 极值和最值 课时闯关 含解析 课时闯关 含解析 A 级 双基巩固 一 填空题 1 函数y x 2sinx在 0 2 内的单调增区间为 解析 y 1 2cosx 由Error 即Error 得 x 3 5 3 函数y x 2sinx在 0 2 内的增区间为 3 5 3 答案 3 5 3 2 设a R R 若函数f x ex ax x R R 有大于零的极值点 则a的取值范围是 解析 f x ex a 0 则 ex a x ln a x 0 ln a 0 且a1 即a0 1 求f x 的单调区间 2 求所有的实数a 使 e 1 f x e2对x 1 e 恒成立 注 e 为自然对数的底数 解 1 因为f x a2ln x x2 ax 其中x 0 所以f x 2x a a2 x x a 2x a x 由于a 0 所以f x 的增区间为 0 a 减区间为 a 2 由题意得f 1 a 1 e 1 即a e 由 1 知f x 在 1 e 内单调递增 要使 e 1 f x e2对x 1 e 恒成立 只要Error 解得a e 10 2011 高考山东卷 某企业拟建造如图所示的容器 不计厚度 长度单位 米 其中 容器的中间为圆柱形 左右两端均为半球形 按照设计要求容器的容积为立方米 且 80 3 3 l 2r 假设该容器的建造费用仅与其表面积有关 已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元 半球形部分每平方米建造费用为c c 3 千元 设该容器的建造费用为y千元 1 写出y关于r的函数表达式 并求该函数的定义域 2 求该容器的建造费用最小时的r 解 1 设容器的容积为V 由题意知V r2l r3 又V 4 3 80 3 故l r V 4 3 r3 r2 80 3r2 4 3 4 3 20 r2 r 由于l 2r 因此 0 r 2 所以建造费用y 2 rl 3 4 r2c 2 r 3 4 r2c 4 3 20 r2 r 因此y 4 c 2 r2 0 r 2 160 r 2 由 1 得y 8 c 2 r 160 r2 03 所以c 2 0 当r3 0 时 r 20 c 2 3 20 c 2 令 m 则m 0 3 20 c 2 所以y r m r2 rm m2 8 c 2 r2 当 0 m 时 当r m时 y 0 当r 0 m 时 y 0 所以r m是函数y的极小值点 也是最小值点 当m 2 即 3 c 时 9 2 当r 0 2 时 y 0 函数单调递减 所以r 2 是函数y的最小值点 综上所述 当 3 时 建造费用最小时r 9 2 3 20 c 2 B 级 能力提升 一 填空题 1 2011 高考浙江卷改编 设函数f x ax2 bx c a b c R R 若x 1 为函 数f x ex的一个极值点 则下列图象不可能为y f x 的图象是 填序号 4 解析 设h x f x ex 则h x 2ax b ex ax2 bx c ex ax2 2ax bx b c ex 由x 1 为函数f x ex的一个极值点 得当x 1 时 ax2 2ax bx b c c a 0 c a f x ax2 bx a 若方程ax2 bx a 0 有两 根x1 x2 则x1x2 1 中图象一定不满足该条件 a a 答案 2 2011 高考湖南卷改编 设直线x t和函数f x x2 g x ln x的图象分别交 于点M N 则当 MN 达到最小时 t的值为 解析 MN y t2 lnt t 0 y 2t 1 t 2t2 1 t 当 0 t 时 y 时 y 0 y在上单调递增 2 2 2 2 当t 时 MN 有最小值 2 2 答案 2 2 3 设函数f x ax3 3x 1 x R R 若对于任意x 1 1 都有f x 0 成立 则实数a的值为 解析 由题意得f x 3ax2 3 当a 0 时 有f x 3ax2 3 0 f x 在 1 1 上为减函数 f x 最小值 f 1 a 2 0 解之得a 2 与条件a 0 矛盾 不符合题意 当a 0 时 令f x 0 可得x 1 a 当x 时 f x 0 f x 为减函数 1 a 1 a x 时 f x 0 f x 为增函数 1 a 1 a 由f 1 4 a 0 可得 0 a 4 又由f a 1 1 0 可得a 4 1 a 1 a a 3 a 2 a 综上可知a 4 答案 4 4 函数f x ax3 x在 上是减函数 则a的取值范围是 解析 f x 3ax2 1 0 在 上恒成立 当x 0 时 显然成立 当x 0 时 即a 恒成立 而 0 a 0 1 3x2 1 3x2 5 答案 0 二 解答题 5 某市政府为科技兴市 欲将如图所示的一块不规则非农业用地规划建成一个矩形高 科技工业园区 已知AB BC OA BC 且AB BC 2AO 8 km 曲线段OC是一条河流 经 过的路线是以点O为顶点且开口向右的抛物线的一部分 河流宽度忽略不计 如果要使矩 形的相邻两边分别落在AB BC上 且一个顶点落在曲线段OC上 问应如何规划才能使矩 形工业园区的用地面积最大 并求出最大面积 解 以O为原点 OA所在直线为y轴建立直角坐标系 依题意可设抛物线方程为 y2 2px p 0 且C 8 4 在曲线上 代入求得p 1 所以y2 2x 0 x 8 0 y 4 设P y 0 y 4 是曲线段OC上任意一点 则在矩形PQBN中 y2 2 PQ 4 y PN 8 y2 2 所以工业园区的面积S PQ PN 4 y 8 2y2 8y 32 y2 2 y3 2 由S y2 4y 8 0 0 y 4 解得y 3 2 4 3 又 0 y 时 S 0 y 4 时 S 0 4 3 4 3 y 时 S取得极大值也是最大值 4 3 此时PQ 4 y km PN 8 km 16 3 y2 2 64 9 S 2y2 8y 32 32 km2 y3 2 160 27 1024 27 所以把工业园区规划成长为 km 宽为 km 时面积最大 最大面积为 km2 64 9 16 3 1024 27 6 已知函数f x ax3 bx2 3x a b R R 在点 1 f 1 处的切线方程为y 2 0 1 求函数f x 的解析式 2 若对于区间 2 2 上任意两个自变量的值x1 x2 都有 f x1 f x2 c 求实 数c的最小值 解 1 f x 3ax2 2bx 3 根据题意 得Error 即Error 解得Error 所以f x x3 3x 2 令f x 0 即 3x2 3 0 得x 1 x 2 2 1 1 1 1 1 1