（广东专用）2013高考数学总复习第八章第九节 课时跟踪训练 理

1 课时知能训练课时知能训练 一 选择题 1 2012 清远模拟 过点 0 1 作直线 使它与抛物线 y2 4x 仅有一个公共点 这样的直线 有 A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 解析 设过点 0 1 斜率为 k 的直线方程为 y kx 1 由Error 得 k2x2 2k 4 x 1 0 当 k 0 时 方程 只有一根 当 k 0 时 2k 4 2 4k2 16k 16 由 0 即 16k 16 0 得 k 1 k 0 或 k 1 时 直线与抛物线只有一个公共点 又直线 x 0 和抛物线只有一个公共点 故选 C 答案 C 2 直线 y x 1 截抛物线 y2 2px 所得弦长为 2 此抛物线方程为 6 A y2 2x B y2 6x C y2 2x 或 y2 6x D 以上都不对 解析 由Error 得 x2 2 2p x 1 0 x1 x2 2p 2 x1x2 1 2 61 12 x1 x2 2 4x1x2 2 2p 2 2 4 解得 p 1 或 p 3 抛物线方程为 y2 2x 或 y2 6x 答案 C 3 双曲线 C 1 a 0 b 0 的右焦点为 F 直线 l 过焦点 F 且斜率为 k 则直 x2 a2 y2 b2 线 l 与双曲线 C 的左 右两支都相交的充要条件是 A k B k b a b a C k 或 k D k b a b a b a b a 解析 由双曲线渐近线的几何意义知 k b a b a 答案 D 4 斜率为 1 的直线 l 与椭圆 y2 1 相交于 A B 两点 则 AB 的最大值为 x2 4 A 2 B 4 5 5 C D 4 10 5 8 10 5 解析 设椭圆与直线相交于 A x1 y1 B x2 y2 两点 由Error 消去 y 得 5x2 8tx 4 t2 1 0 2 则有 x1 x2 t x1x2 8 5 4 t2 1 5 AB x1 x2 1 k2 2 8 5t 2 4 4 t2 1 5 4 2 55 t2 当 t 0 时 AB max 4 10 5 答案 C 5 抛物线 y 2x2 上两点 A x1 y1 B x2 y2 关于直线 y x m 对称 且 x1 x2 1 2 则 m 等于 A B 2 C D 3 3 2 5 2 解析 kAB 1 且 y2 y1 2 x x y2 y1 x2 x12 22 1 得 x2 x1 又 在直线 y x m 上 1 2 x2 x1 2 y2 y1 2 m y2 y1 x2 x1 2m y2 y1 2 x2 x1 2 2 x x x2 x1 2m 2 22 1 2 x2 x1 2 2x2x1 x2 x1 2m 2m 3 m 3 2 答案 A 二 填空题 6 已知 4 2 是直线 l 被椭圆 1 所截得的线段的中点 则 l 的方程是 x2 36 y2 9 解析 设直线 l 与椭圆相交于 A x1 y1 B x2 y2 则 1 且 1 x2 1 36 y2 1 9 x2 2 36 y2 2 9 两式相减得 y1 y2 x1 x2 x1 x2 4 y1 y2 又 x1 x2 8 y1 y2 4 故直线 l 的方程为 y 2 x 4 即 x 2y 8 0 y1 y2 x1 x2 1 2 1 2 答案 x 2y 8 0 7 直线 y kx 1 与椭圆 1 恒有公共点 则 m 的取值范围是 x2 5 y2 m 解析 直线 y kx 1 过定点 0 1 由题意 点 0 1 在椭圆内或椭圆上 m 1 且 m 5 答案 m 1 且 m 5 8 2012 惠州调研 已知点 P 在直线 x y 5 0 上 点 Q 在抛物线 y2 2x 上 则 PQ 的最 小值等于 3 解析 设直线 l 平行于直线 x y 5 0 且与抛物线相切 设 l y x m 由 Error 得 y2 2y 2m 0 由 4 8m 0 得 m 1 2 则两直线距离 d 即 PQ min 5 1 2 2 9 2 4 9 2 4 答案 9 2 4 三 解答题 图 8 9 3 9 如图 8 9 3 过椭圆 1 内一点 M 1 1 的弦 AB x2 16 y2 4 1 若点 M 恰为弦 AB 的中点 求直线 AB 的方程 2 求过点 M 的弦的中点的轨迹方程 解 1 设直线 AB 的斜率为 k 则 AB 的方程可设为 y 1 k x 1 由Error 消去 y 得 1 4k2 x 8k 1 k x 4 1 k 2 16 0 设 A x1 y1 B x2 y2 则 x1 x2 8k k 1 1 4k2 又 M 1 1 是 AB 中点 则 1 x1 x2 2 综上 得 2 解得 k 8k k 1 1 4k2 1 4 直线 AB 的方程为 y 1 x 1 1 4 即 x 4y 5 0 2 设 A x1 y1 B x2 y2 弦 AB 的中点为 P x y 则Error 由 得 1 4 x1 x2 y1 y2 y 1 x 1 而 x1 x2 2x y1 y2 2y 1 4 2x 2y y 1 x 1 整理 得轨迹方程为 x2 4y2 x 4y 0 10 2012 佛山模拟 已知椭圆 P 的中心 O 在坐标原点 焦点在 x 轴上 且经过点 A 0 2 3 离心率为 1 2 1 求椭圆 P 的方程 4 2 是否存在过点 E 0 4 的直线 l 交椭圆 P 于点 R T 且满足 若存在 求直 OR OT 16 7 线 l 的方程 若不存在 请说明理由 解 1 设椭圆 P 的方程为 1 a b 0 x2 a2 y2 b2 由题意得 b 2 e 3 c a 1 2 a 2c b2 a2 c2 3c2 c2 4 c 2 a 4 椭圆 P 的方程为 1 x2 16 y2 12 2 假设存在满足题意的直线 l 易知当直线 l 的斜率不存在时 0 不满足题意 OR OT 故可设直线 l 的方程为 y kx 4 R x1 y1 T x2 y2 x1x2 y1y2 OR OT 16 7 16 7 由Error 得 3 4k2 x2 32kx 16 0 由 0 得 32k 2 4 3 4k2 16 0 解得 k2 1 4 x1 x2 x1x2 32k 3 4k2 16 3 4k2 y1y2 kx1 4 kx2 4 k2x1x2 4k x1 x2 16 故 x1x2 y1y2 16 16 3 4k2 16k2 3 4k2 128k2 3 4k2 16 7 解得 k2 1 由 解得 k 1 直线 l 的方程为 y x 4 故存在直线 l x y 4 0 或 x y 4 0 满足题意 11 2012 青岛模拟 已知椭圆 C 的中心在原点 焦点在 x 轴上 点 F1 F2 分别是椭圆的 左 右焦点 在直线 x a c 分别为椭圆的长半轴和半焦距的长 上的点 P 2 满足 a2 c3 线段 PF1 的中垂线过点 F2 过原点 O 且斜率均存在的直线 l1 l2 互相垂直 且截椭圆所得 的弦长分别为 d1 d2 1 求椭圆 C 的方程 2 求 d d 的最小值及取得最小值时直线 l1 l2 的方程 2 12 2 解 1 设椭圆 C 的方程为 1 a b 0 x2 a2 y2 b2 依题意有 PF2 F1F2 2c 所以Error 解得Error 所以 b 1 所求椭圆方程为 y2 1 x2 2 5 2 设 kl1 k 则 kl2 1 k 直线 l1 y kx 与椭圆 y2 1 联立得 x2 x2 2 2 1 2k2 y2 2k2 1 2k2 所以 d 4 x2 y2 4 2 1 4 2 2k2 1 2k2 4 1 2k2 同理可得