（三管齐下）贵州省2014届高三数学 复习试题45 空间向量及其运算 理（含解析）新人教A版

1 4545 空间向量及其运算空间向量及其运算 导学目标 1 了解空间向量的概念 了解空间向量的基本定理及其意义 掌握空间向 量的正交分解及其坐标表示 2 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示 3 掌握空间向量的 数量积及其坐标表示 能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直 自主梳理 1 空间向量的有关概念 1 空间向量 在空间中 具有 和 的量叫做空间向量 2 相等向量 方向 且模 的向量 3 共线向量定理 对空间任意两个向量a b b 0 a b的充要条件是 推论 如图所示 点P在l上的充要条件是 ta OP OA 其中a叫直线l的方向向量 t R 在l上取 a 则 可化为 AB 或 1 t t OP OP OA OB 4 共面向量定理 如果两个向量a b不共线 那么向量p与向量a b共面的充要条件是存在惟一的有 序实数对 x y 使p xa yb 推论的表达式为 x y或对空间任意一点O有 MP MA MB 或 x y z 其中x y z OP OP OA OB OM 2 空间向量基本定理 如果三个向量a b c不共面 那么对空间任一向量p 存在有序实数组 x y z 使得p 把 a b c 叫做空间的一个基底 3 空间向量的数量积及运算律 1 数量积及相关概念 两向量的夹角 已知两个非零向量a b 在空间任取一点O 作 a b 则 叫做向量 OA OB a与b的夹角 记作 其范围是 若 a b 则称a与 2 b 记作a b 两向量的数量积 已知两个非零向量a b 则 叫做向量a b的数量积 记作 即 2 空间向量数量积的运算律 结合律 a b 交换律 a b 2 分配律 a b c 4 空间向量的坐标表示及应用 1 数量积的坐标运算 若a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 则a b 2 共线与垂直的坐标表示 设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 则a b b 0 a b a b均为非零向量 3 模 夹角和距离公式 设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 则 a a a cos a b a b a b 若A a1 b1 c1 B a2 b2 c2 则 AB 自我检测 1 若a 2x 1 3 b 1 2y 9 且a b 则 A x 1 y 1 B x y 1 2 1 2 C x y D x y 1 6 3 2 1 6 3 2 2 2011 青岛月考 如图所示 在平行六面体ABCD A1B1C1D1中 M为AC与BD的交点 若 a b c 则下列向量中与相等的向量是 A1B1 A1D1 A1A B1M A a b c B a b c 1 2 1 2 1 2 1 2 C a b c D a b c 1 2 1 2 1 2 1 2 3 2011 广州调研 在平行六面体ABCD A B C D 中 已知 BAD A AB A AD 60 AB 3 AD 4 AA 5 则 AC 4 有下列 4 个命题 若p xa yb 则p与a b共面 若p与a b共面 则p xa yb 若 x y 则P M A B共面 MP MA MB 若P M A B共面 则 x y MP MA MB 其中真命题的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 5 A 1 0 1 B 4 4 6 C 2 2 3 D 10 14 17 这四个点 填共面或不共面 3 探究点一 空间基向量的应用 例 1 已知空间四边形OABC中 M为BC的中点 N为AC的中点 P为OA的中点 Q 为OB的中点 若AB OC 求证 PM QN 变式迁移 1 如图 在正四面体ABCD中 E F分别为棱AD BC的中点 则异面直线AF和CE所成 角的余弦值为 探究点二 利用向量法判断平行或垂直 例 2 2011 合肥调研 两个边长为 1 的正方形ABCD与正方形ABEF相交于 AB EBC 90 点M N分别在BD AE上 且AN DM 1 求证 MN 平面EBC 2 求MN长度的最小值 变式迁移 2 4 如图所示 已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直 AB AF 1 M是 2 线段EF的中点 求证 1 AM 平面BDE 2 AM 面BDF 探究点三 利用向量法解探索性问题 例 3 2011 泉州月考 如图 平面PAC 平面ABC ABC是以AC为斜边的等腰直角 三角形 E F O分别 为PA PB AC的中点 AC 16 PA PC 10 1 设G是OC的中点 证明FG 平面BOE 2 在 AOB内是否存在一点M 使FM 平面BOE 若存在 求出点M到OA OB的距离 若不存在 说明理由 变式迁移 3 已知在直三棱柱ABC A1B1C1中 底面是以 ABC为直角的等腰直角三角 形 AC 2a BB1 3a D为A1C1的中点 E为B1C的中点 1 求直线BE与A1C所成的角的余弦值 2 在线段AA1上是否存在点F 使CF 平面B1DF 若存在 求出AF 若不存在 请 说明理由 5 1 向量法解立体几何问题有两种基本思路 一种是利用基向量表示几何量 简称基向 量法 另一种是建立空间直角坐标系 利用坐标法表示几何量 简称坐标法 2 利用坐标法解几何问题的基本步骤是 1 建立适当的空间直角坐标系 用坐标准 确表示涉及到的几何量 2 通过向量的坐标运算 研究点 线 面之间的位置关 系 3 根据运算结果解释相关几何问题 满分 75 分 一 选择题 每小题 5 分 共 25 分 1 下列命题 若A B C D是空间任意四点 则有 0 AB BC CD DA a b a b 是a b共线的充要条件 若a b共线 则a与b所在直线平行 对空间任意一点O与不共线的三点A B C 若 x y z 其中 OP OA OB OC x y z R 则P A B C四点共面 其中假命题的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 2 如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 O是底面ABCD的中心 M N分别是棱 DD1 D1C1的中点 则直线OM A 既垂直于AC 又垂直于MN B 垂直于AC 但不垂直于MN C 垂直于MN 但不垂直于AC D 与AC MN都不垂直 3 2011 绍兴月考 如图所示 在三棱柱ABC A1B1C1中 AA1 底面ABC AB BC AA1 ABC 90 点 E F分别是棱AB BB1的中点 则直线EF和BC1所成的角是 A 45 B 60 C 90 D 120 6 4 设点C 2a 1 a 1 2 在点P 2 0 0 A 1 3 2 B 8 1 4 确定的平面上 则a等于 A 16 B 4 C 2 D 8 5 在直角坐标系中 A 2 3 B 3 2 沿x轴把直角坐标系折成 120 的二面 角 则AB的长度为 A B 2 C 3 D 4 21122 二 填空题 每小题 4 分 共 12 分 6 2011 信阳模拟 如图所示 已知空间四边形ABCD F为BC的中点 E为AD的中点 若 则 EF AB DC 7 2011 铜川模拟 在正方体ABCD A1B1C1D1中 给出以下向量表达式 A1D1 A1A AB BC BB1 D1C1 2 AD AB DD1 B1D1 A1A DD1 其中能够化简为向量的是 填所有正确的序号 BD1 8 2011 丽水模拟 如图所示 PD垂直于正方形ABCD所在平面 AB 2 E为PB的中点 cos DP AE 若以DA DC DP所在直线分别为x y z轴建立空间直角坐标系 则点E的坐标为 3 3 三 解答题 共 38 分 9 12 分 如图所示 已知ABCD A1B1C1D1是棱长为 3 的正方体 点E在AA1上 点F在CC1上 且AE FC1 1 1 求证 E B F D1四点共面 2 若点G在BC上 BG 点M在BB1上 GM BF 垂足为H 求证 EM 平面 2 3 BCC1B1 7 10 12 分 2009 福建 如图 四边形ABCD是边长为 1 的正方形 MD 平面ABCD NB 平面ABCD 且MD NB 1 E 为BC的中点 1 求异面直线NE与AM所成角的余弦值 2 在线段AN上是否存在点S 使得ES 平面AMN 若存在 求线段AS的长 若不存 在 请说明理由 11 14 分 2011 汕头月考 如图所示 已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a 点M N分别是 AB CD的中点 1 求证 MN AB MN CD 2 求MN的长 3 求异面直线AN与CM所成角的余弦值 8 45 空间向量及其运算 自主梳理 1 1 大小 方向 2 相同 相等 3 存在实数 使得a b t 4 OA AB x y 1 2 xa yb zc 3 1 AOB a b 0 a b 互相垂 OM MA MB 直 a b cos a b a b a b a b cos a b 2 a b b a a b a c 4 1 a1b1 a2b2 a3b3 2 a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 R a b 0 a1b1 a2b2 a3b3 0 3 a2 1 a2 2 a2 3 a1b1 a2b2 a3b3 a2 1 a2 2 a2 3 b2 1 b2 2 b2 3 a2 a1 2 b2 b1 2 c2 c1 2 自我检测 1 C a b 2x 1 1 2y 3 9 x y 1 6 3 2 2 A B1M B1A1 A1A AM A1B1 A1A 1 2AB 1 2AD a c a b a b c 1 2 1 2 1 2 3 97 解析 AC AB BC CC AB AD AA 2 2 2 2 2 2 2 32 42 52 2 3 AC AB AD AA AB AD AD AA AA AB 4 cos 60 2 4 5 cos 60 2 3 5 cos 60 97 AC 97 4 B 正确 中若a b共线 p与a不共线 则p xa yb就不成立 正 确 中若M A B共线 点P不在此直线上 则 x y不正确 MP MA MB 5 共面 解析 3 4 5 1 2 2 9 14 16 设 x y AB AC AD AD AB AC 即 9 14 16 3x y 4x 2y 5x 2y Error 从而A B C D四点共面 课堂活动区 例 1 解题导引 欲证a b 只要把a b用相同的几个向量表示 然后利用向量的数 量积证明a b 0 即可 这是基向量证明线线垂直的基本方法 证明 如图所示 设 a b c OA OB OC 9 b c OM 1 2 OB OC 1 2 a c ON 1 2 OA OC 1 2 a b c PM PO OM 1 2 1 2 b c a 1 2 b a c a c b QN QO ON 1 2 1 2 1 2 c a b c a b PM QN 1 4 c2 a b 2 2 2 1 4 1 4 OC BA 0 AB OC PM QN 即 故PM QN PM QN 变式迁移 1 2 3 解析 设 为空间一组基底 AB AC AD 则 AF 1 2AB 1 2AC CE 1 2CA 1 2CD 1 2CA 1 2 AD AC AC 1 2AD AF CE 1 2AB 1 2AC AC 1 2AD 2 1 2AB AC 1 2AC 1 4AB AD 1 4AC AD 2 2 2 2 1 4AB 1 2AC 1 8AB 1 8AC 2 1 2AC 又 2 AF CE 3 2 AC AF CE 3 4 AC cos AF CE AF CE AF CE 1 2AC 2 3 4 AC 2 2 3 异面直线AF与CE所成角的余弦值为 2 3 例 2 解题导引 10 如图所示 建立坐标系后 要证MN平行于平面EBC 只要证的横坐标为 0 即可 MN 1 证明 如图所示 以 为单位正交基底建立空间直角坐标系 BA BC BE 则A 1 0 0 D 1 1 0 E 0 0 1 B 0 0 0 设 则 AN AE DM DB MN MD DA AN BD DA AE 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 且的横坐标为 0 MN 平行于平面yBz 即MN 平面EBC MN 2 解 由 1 知 MN 1 2 22 2 2 1 2 1 2 2 1 2 当 时 MN取得长度的最小值为 1 2 2 2 变式迁移 2 证明 1 建立如图所示的空间直角坐标系 设AC BD N 连接NE 则点N E的坐标分别为 0 0 1 2 2 2 2 0 NE 2 2 2 2 1 又点A M的坐标分别为 0 22 2 2 2 2 1 AM 2 2 2 2 1 且NE与AM不共线 NE AM NE AM 又 NE 平面BDE AM 平面BDE AM 平面BDE 2 由 1 得 AM 2 2 2 2 1 D 0 0 F 1 B 0 0 2222 0 1 0 1 DF 2 BF 2 0 0 AM DF AM BF AM DF AM BF 即AM DF AM BF 又DF BF F AM 平面BDF 例 3 解题导引 建立适当的空间直角坐标系后 写出各点坐标 第 1 题证明与平 FG 面BOE的法向量n垂直 即 n 0 即可 第 2 题设出点M的坐标 利用 n即可解出 FG MF 然后检验解的合理性 11 1 证明 如图 连接OP 以点O为坐标原点 分别以OB OC OP所在直线为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系O xyz 则O 0 0 0 A 0 8 0 B 8 0 0 C 0 8 0 P 0 0 6 E 0 4 3 F 4 0 3 由题意 得G 0 4 0 因为 8 0 0 0 4 3 OB OE 所以平面BOE的法向量n 0 3 4 由 4 4 3 得n 0 FG FG 又直线FG不在平面BOE内 所以FG 平面BOE 2 解 设点M的坐标为 x0 y0 0 则 x0 4 y0 3 FM 因为FM 平面BOE 所以 n FM 因此x0 4 y0 9 4 即点M的坐标是 4 9 4 0 在平面直角坐标系xOy中 AOB的内部区域可表示为不等式组Error 经检验 点M的坐标满足上述不等式组 所以 在 AOB内存在一点M 使PM 平面BOE 由点M的坐标 得点M到OA OB的距离分别为 4 9 4 变式迁移 3 解 1 以点B为原点 以BA BC BB1所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立如图所示的 空间直角坐标系 则B 0 0 0 B1 0 0 3a ABC为等腰直角三角形 AB BC AC a 2 22 A a 0 0 C 0 a 0 C1 0 a 3a 222 E A1 a 0 3a 0 2 2 a 3 2a 2 a a 3a BE 0 2 2 a 3 2a A1C 22 12 cos BE A1C BE A1C BE A1C 7 2a2 11 2 a 13a 7 143 143 直线BE与A1C所成的角的余弦值为 7 143 143 2 假设存在点F 使CF 平面B1DF 并设 0 0 3a 0 0 3 a 0 0 则A 2 0 0 B 2 2 0 P 0 0 y E 0 0 y 1 1 y 2 DP AE 1 1 y 2 cos DP AE DP AE DP AE 1 2y2 y 2 y2 4 y 8 y2 3 3 解得y 2 E 1 1 1 9 证明 1 建立如图所示的空间直角坐标系 则 3 0 1 0 3 2 BE BF 3 3 3 2 分 BD1 所以 BD1 BE BF 14 故 共面 BD1 BE BF 又它们有公共点B E B F D1四点共面 6 分 2 设M 0 0 z 则 GM 0 2 3 z 而 0 3 2 BF 由题设 得 3 z 2 0 得z 1 8 分 GM BF 2 3 M 0 0 1 E 3 0 1 3 0 0 ME 又 0 0 3 0 3 0 0 BB1 BC ME BB1 0 从而ME BB1 ME BC ME BC 又 BB1 BC B ME 平面BCC1B1 12 分 10 解 1 如图所示 以点D为坐标原点 建立空间直角坐标系D xyz 依题意 得D 0 0 0 A 1 0 0 M 0 0 1 C 0 1 0 B 1 1 0 N 1 1 1 E 2 分 1 2 1 0 NE 1 2 0 1 1 0 1 AM cos NE AM NE AM NE AM 1 2 5 2 2 10 10 异面直线NE与AM所成角的余弦值为 10 10 6 分 2 假设在线段AN上存在点S 使得ES 平面AMN 0 1 1 可设 0 AN AS AN 又 EA 1 2 1 0 8 分 ES EA AS 1 2 1 由ES 平面AMN 得Error 即Error 10 分 故 此时 1 2 AS 0 1 2 1 2 AS 2 2 经检验 当AS 时