高中数学《幂函数》教案2 湘教版必修1

1 幂函数幂函数 一 教学目标 1 了解简单幂函数的概念 巩固画函数图像的方法 培养学生识图和画图的能力 2 会利用定义证明简单函数的奇偶性 提高学生的逻辑思维能力 3 了解利用奇偶性画函数图像和研究函数的方法 培养学生分析问题和解决问题的能 力 二 重难点 重点是奇函数和偶函数的概念及函数奇偶性的判定 难点是幂函数的概念及判断函数的奇偶性 一 新课引入 在初中我们已学过正比例函数 反比例函数 一次函数 二次函数 这一节课我们将再学习一种新的函数 幂函数 引出课题 二 新课讲授 1 先看下面几个具体问题 1 如果张红购买了每千克 1 元的蔬菜 x 千克 那么她需要支付 y x 元 这里 y 是 x 的函数 2 如果正方形的边长为 a 那么正方形的面积 S a2 这里 S 是 a 的函数 3 如果一个正方形场地的面积为 S 那么这个正方形的边长 2 1 Sa 这里 a 是 S 的 函数 4 如果某人 t 秒内骑车行进了 1km 那么他骑车的平均速度 V t 1km S 这里 V 是 t 的函数 请同学们思考 这些函数有什么共同的特征 主要观察函数中的常数和变量的位置 右边解析式的形式 结果 他们有以下共同特点 1 指数为常数 2 均是以自变量为底的幂 3 幂的系数为 1 由此可得 一 般地 函数 y xa叫做幂函数 其中 x 是自变量 a 是常数 注 幂函数中 a 的值可以为任意实数 例 1 判断下列函数是否为幂函数 1 y x4 2 y 2 1 x 3 y x2 4 y 2 1 x 5 y 2x2 6 y x3 2 2 观察下图 思考并讨论以下问题 2 1 这两个函数图象有什么共同特征吗 2 函数中自变量取相反的两个数时对应的两个函数值之间有何关系 f x x2 f x x f 3 9 f 3 f 3 3 f 3 f 2 4 f 2 f 2 2 f 2 f 1 1 f 1 f 1 1 f 1 结论 一般地 图象关于 y 轴对称的函数叫做偶函数 在偶函数中 f x f x 3 观察函数 f x x 和 f x x 1 的图象 下图 你能发现两个函数图象有什么共同 特征吗 f x x f x f 3 3 f 3 f 3 f 3 f 2 2 f 2 f 2 f 2 f 1 1 f 1 f 1 1 f 1 结论 一般地 图象关于原点对称的函数称为奇函数 在奇函数中 有 f x f x 注意 1 若一个函数是奇函数或偶函数则称函数具有奇偶性 函数的奇偶性是函数的整 体性质 2 由函数奇偶性的定义可知 对于定义域内的任意一个 x 则 x 也一定是定义域 内的一个自变量 即定义域关于原点对称 3 f x 定义域内任意的 x 若 f x f x 成立 则 f x 为奇函数 若 f x f x 成立 则 f x 为偶函数 4 若 f x 为奇函数 f 0 要么为 0 要么不存在 即 y f x x A 若 0 A 则 f 0 0 若 0 A 则 f 0 不存在 5 若 f x 为偶函数 则 f x f x f x 6 若 f x 为奇函数 则 f x 在 a b 与 b a 具有相同的单调性 若 f x 为 偶函数 则 f x 在 a b 与 b a 具有相反的单调性 例 2 判断下列函数的奇偶性 1 f x x x 1 2 f x 2 1 x 3 f x x3 1 3 1 2 1 x 1 3 解 1 定义域为 x x 0 又 f x x x 1 x x 1 f x 即 f x f x f x 是奇函数 2 定义域为 x x 0 又 f x 2 1 x 2 1 x f x 即 f x f x f x 是偶函数 3 定义域为 R f x x 3 1 x3 1 x3 1 即 f x f x 又 x3 1 x3 1 即 f x f x f x 既不是奇函数也不是偶函数 一般地 判断函数奇偶性的步骤如下 1 先求定义域 看是否关于原点对称 2 再判断 f x f x 或 f x f x 是否恒成立 三 课堂练习 判断下列函数的奇偶性 1 f x x x 1 2 f x x2 1 3 f x x 1 4 f x x2 x 1 3 四 本课小结 1 幂函数的定义 一般地 函数 y xa叫幂函数 其中 x 是自变量 a 是常数 2 奇偶函数的定义 函数的图象关于原点对称 f x 为奇函数 函数的图象关于 y 轴对称 f x 为偶函数 3 奇 偶函数的性质 对于 f x 定义域内的任意一个 x 如果都有 f x f x f x 为奇函数 如果都有 f x