高考数学复习点拨 例析四类特征函数的求解

用心 爱心 专心 例析四类特征函数的求解例析四类特征函数的求解 所谓 特征函数 是指依据基本初等函数的特征产生的抽象函数问题 由于这类问题 的函数解析式不明确 因此 往往很难下手 求解难度较大 本文例析四种常见的特征函 数的求解 试图揭示求解规律 希望对你求解此类题的思路有所启发 例 1 若函数 xf满足 yfxfyxf 且0 x时 0 xf 求使 1 3 fxf0 2 x成立的x的范围 分析 令0 yx得0 0 f 再令xy 得 xfxf 那么 xfyxf yfxfyfxfy 设 21 xx 则0 12 xx 此时0 1212 xfxfxxf即 12 xfxf 因此 xf单调递减 由 1 3 fxf 12 3 21 3 0 2xfxfxfxfx 123 xx得 4 x为所求范围 点评 本题是以axxf 为特征的抽象函数问题 求解时 可参照原函数的性质 如 1 单调性 2 奇偶性 3 xfyxf yf 与 yfxfyxf 同时成立等 例 2 若函数0 xf且满足 yfxfxyf 试证 若1 x时 1 xf 则 xf在 0 上单调递增 分析 令1 yx得1 1 f 又 1 1 1 x fxf x xff 得 1 1 xfx f 那么 1 1 yf xf y fxf y xf y x f 设 21 0 xx 则1 1 2 x x 由已知得1 1 2 x x f 即1 1 2 xf xf 也就是 12 xfxf 用心 爱心 专心 故 xf在 0 上单调递增 点评 本题是以 n xxf 为特征的抽象函数问题 求解时 可参照此函数的性质 如 1 0 n时 函数在 0 上单调递增 2 yfxfxyf 与 yf xf y x f 同时成立 例 3 若函数 xf满足 当0 xy时 yfxfxyf 且 xf不恒为零 当 1 x时 0 xf 求使0 3 2 x fxf成立的x的范围 分析 令1 yx得0 1 f 又0 1 2 1 1 1 fff得0 1 f 再令1 y 得 1 fxfxf即 xfxf xf 为偶函数 那么原不等式可变为 1 3 2 f x xf 即 1 32 fxf 由 1 2 1 1 22 x fxf x fxf x xfxf 得 1 xf x f 那么 1 yfxf y fxf y x f 于是设 21 0 xx 则1 1 2 x x 得0 1 2 x x f 即0 12 xfxf也就是 12 xfxf xf 在 0 上为增函数 032 1 32 x x 得 2 3 1 x或2 2 3 x为所求的范围 点评 本题是以0 log axxf a 且 1 a为特征的抽象函数问题 求解时 可参 照此函数的性质 如 1 单调性 由1 x时 0 xf可想到1 a 2 xfxyf yf 与 yfxf y x f 同时成立 当然 也有不同之处 对数函数是非奇 非偶函数 而此抽象函数却是偶函数 例 4 若函数 xf满足 yf xf yxf 且0 x时 1 xf 当 16 1 4 f时 求使 4 1 32 32 xfxf成立的x的范围 用心 爱心 专心 分析 令xy 得1 0 f 1 0 0 yfyf f yfyf 那么 yfxf yf xf yxfyxf 又由0 2 22 2 x f xx fxf 4 1 2 16 1 2 4 2 fff 于是原不等式变为 4 1 32 32 xxf即 2 1 fxf 设 21 xx 则0 21 xx 此时1 2 1 21 xf xf xxf即 21 xfxf 因此 xf单调递减 由 2 1 fxf 得21 x即3 x为所求范围 点评 本题是以0 aaxf x 且 1 a为特征的抽象函数问题 求解时 可参照 此函数的性质 如 1 单调性 由0 x时 1 xf可想到10 a 2 函数值 域的特征 0 y 3 yf xf yxf 与 yfxfyxf 同时成立 上述是仿正比例函数 或一次函数 幂函数