（江苏专用）2013高考数学总复习 （基础达标演练+综合创新备选）第六篇 数列、推理与证明《第37讲　直接证明与间接证明》理（含解析） 苏教版

1 20132013 高考总复习江苏专用 理科 第六篇高考总复习江苏专用 理科 第六篇 数列 推理与证明数列 推理与证明 第第 3737 讲讲 直接证明与间接证明直接证明与间接证明 基础达标演练 基础达标演练 综合创新备选 综合创新备选 含解析 含解析 A 级 基础达标演练 时间 45 分钟 满分 80 分 一 填空题 每小题 5 分 共 35 分 1 下列各式中对x R R 都成立的序号是 lg x2 1 lg 2x x2 1 2x 1 x 2 1 x2 1 1 x 解析 中x必须大于 0 故 排除 中应x2 1 2x 故 不正确 答案 2 用反证法证明命题 已知a b N N 若ab可被 5 整除 则a b中至少有一个能被 5 整除 时 反设是 解析 由反证法的定义得 反设即否定结论 答案 a b都不能被 5 整除 3 下列命题 三角形中至少有一个内角不小于 60 四面体的三组对棱都是异面直线 闭区间 a b 上的单调函数f x 至多有一个零点 设a b Z Z 若a b是奇数 则a b中至少有一个为奇数 其中假命题的序号是 解析 a b为奇数 a b中有一个为奇数 另一个为偶数 故 错误 答案 4 命题 如果数列 an 的前n项和Sn 2n2 3n 那么数列 an 一定是等差数列 是 命题 填 真 假 解析 Sn 2n2 3n Sn 1 2 n 1 2 3 n 1 n 2 an Sn Sn 1 4n 5 n 1 时 a1 S1 1 符合上式 又 an 1 an 4 n 1 an 是等差数列 答案 真 5 设a b c均为正实数 则三个数a b c 则下列关于a b c三个数的 1 b 1 c 1 a 结论 正确的序号是 2 都大于 2 都小于 2 至少有一个不大于 2 至少有一个不小于 2 解析 a 0 b 0 c 0 6 a 1 b b 1 c c 1 a a 1 a b 1 b c 1 c 当且仅当a b c时 成立 故三者不能都小于 2 即至少有一个不小于 2 答案 6 要证明 2 可选择的方法有以下几种 其中最合理的是 填序号 375 反证法 分析法 综合法 答案 7 2011 广东韶关模拟 下列条件 ab 0 ab 0 a 0 b 0 a 0 b 0 其中能使 2 成立的条件的个数是 b a a b 解析 要使 2 只要 0 且 0 即a b不为 0 且同号即可 故有 3 个 b a a b b a a b 答案 3 二 解答题 每小题 15 分 共 45 8 已知a b c是互不相等的实数 求证 由y ax2 2bx c y bx2 2cx a和y cx2 2ax b确定的三条抛物线至少有一 条与x轴有两个不同的交点 证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点 即任何一条抛物 线与x轴没有两个不同的交点 由y ax2 2bx c y bx2 2cx a y cx2 2ax b 得 1 2b 2 4ac 0 2 2c 2 4ab 0 3 2a 2 4ac 0 上述三个同向不等式相加得 4b2 4c2 4a2 4ac 4ab 4bc 0 2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca 0 a b 2 b c 2 c a 2 0 a b c 这与题设a b c互不相等矛盾 因此假设不成立 从而命题得证 3 9 设a 0 b 0 a b 1 求证 8 1 a 1 b 1 ab 证明 a b 1 1 a 1 b 1 ab a b a a b b a b ab 1 1 2 2 2 2 4 8 b a a b a b ab b a a b a b a b 2 2 10 已知非零向量a a b b 且a a b b 求证 a a b b a a b b 2 证明 a a b b a a b b 0 要证 a a b b a a b b 2 只需证 a a b b a a b b 2 只需证 a a 2 2 a a b b b b 2 2 a a2 2a a b b b b2 只需证 a a 2 2 a a b b b b 2 2a a2 2b b2 只需证 a a 2 b b 2 2 a a b b 0 即 a a b b 2 0 上式显然成立 故原不等式得证 B 级 综合创新备选 时间 30 分钟 满分 60 分 一 填空题 每小题 5 分 共 30 分 1 已知函数f x x a b是正实数 A f B f C f 则 1 2 a b 2 ab 2ab a b A B C的大小关系为 解析 又f x x在 R R 上是减函数 f f f a b 2ab 2ab a b 1 2 a b 2 ab 2ab a b 答案 A B C 2 定义一种运算 对于自然数n满足以下运算性质 答案 n 3 用反证法证明命题 三角形的三个内角中至少有一个不大于 60 时 假设应该是 4 解析 用反证法证明命题时 假设结论不成立 即否定命题 答案 三角形的三个内角都大于 60 4 设x y z是空间的不同直线或不同平面 且直线不在平面内 下列条件中能保证 若x z 且y z 则x y 为真命题的是 填写所有正确条件的代号 x为直线 y z为平面 x y z为平面 x y为直线 z为平面 x y为平面 z为直线 x y z为直线 解析 中x 平面z 平面y 平面z x 平面y或x 平面y 又 x 平面y x y成立 中若x y z均为平面 则x可与y相交 故 不成立 x z y z x y为不同直线 故x y成立 z x z y z为直线 x y为平面可得x y 成立 x y z均为直线x y可平行 异面 相交 故 不成立 答案 5 如果a b a b 则a b应满足的条件是 abba 解析 首先a 0 b 0 且a与b不同为 0 要使a b a b 只需 a b 2 a b 2 即a3 b3 a2b ab2 只需 abbaabba a b a2 ab b2 ab a b 只需a2 ab b2 ab 即 a b 2 0 只需a b 故 a b应满足a 0 b 0 且a b 答案 a 0 b 0 且a b 6 已知函数f x 满足f p q f p f q f 1 3 则 f2 1 f 2 f 1 f2 2 f 4 f 3 f2 3 f 6 f 5 f2 4 f 8 f 7 解析 由f p q f p f q 令p q n 得f2 n f 2n 原式 2f2 1 f 1 2f 4 f 3 2f 6 f 5 2f 8 f 7 2f 1 2f 1 f 3 f 3 2f 1 f 5 f 5 2f 1 f 7 f 7 8f 1 24 答案 24 二 解答题 每小题 15 分 共 30 分 7 在数列 an 中 a1 an 1 n N N 3 5 3an 2an 1 5 1 求证 数列为等比数列 1 an 1 2 设Sn 若Sn 100 求最大的正整数n 1 a1 1 a2 1 an 3 是否存在互不相等的正整数m t n 使m t n成等差数列 且 am 1 at 1 an 1 成等比数列 如果存在 请给出证明 如果不存在 请说明理由 1 证明 因为 所以 1 且 1 0 所以 1 an 1 2 3 1 3an 1 an 1 1 3an 1 3 1 3 1 an 1 1 a1 2 3 数列为等比数列 1 an 1 2 解 由 1 得 1 n 1 所以 2 n 1 1 an 2 3 1 3 1 an 1 3 于是由Sn n 2 1 a1 1 a2 1 an 1 3 1 32 1 3n n 2 n 1 100 得nmax 99 1 3 1 3n 1 1 1 3 1 3n 3 解 假设存在 则有m n 2t am 1 an 1 at 1 2 因为an 所以 3n 3n 2 2 整理得 3m 3n 2 3t 即 3m 3t 3n成等差数列 又 3n 3n 2 1 3m 3m 2 1 3t 3t 2 1 m t n成等差数列 所以 3m 3t 3n又成等比数列 所以 3m 3t 3n m t n 这与 m t n互不相等矛盾 故不存在满足题意的m t n 8 2011 南通模拟 设等差数列 an 的前n项和为Sn 且a5 a13 34 S3 9 1 求数列 an 的通项公式及前n项和公式 2 设数列 bn 的通项公式为bn 问是否存在正整数t 使得 an an t b1 b2 bm m 3 m N N 成等差数列 若存在 求出t和m的值 若不存在 请说明理 由 解 1 设等差数列 an 的公差为d 则由Error 得