新人教高中物理必修二-5.5-向心加速度教案

55 向心加速度向心加速度 精讲精练 知识精讲 知识点 1 速度变化量 1 速度变化量是指运动的物体在一段时间内的末速度与初速度之差 2 速度变化量是矢量 因为速度是矢量 有大小 有方向 故末速度与初速度之差也 有大小和方向 例如 小球向正东方向做直线运动 初速度为 v1 5m s 10s 后 末速度变为 v2 10m s 方向向西 取正东为正方向 则有 v v2 v1 10m s 5m s 15m s 即速度变化量的大小为 15m s 它的方向是向西 3 用矢量图表示速度变化量 作法 从同一点作出物体在一段时间的始末两个速度矢量 v1和 v2 从初速 度矢量 v1的末端作一个矢量 v 至末速度矢量 v2的末端 所作的矢量 v 就等于速度的变化量 直线运动中的速度变化量 如果速度是增加的 它的变化量与初速度方向相同 图甲 如果速度是减小的 其速度变化量就与初速度的方向相反 图乙 曲线运动中的速度变化量 物体沿曲线运动时 初末速度 v1和 v2不在同一直线上 速度的变化量 v 同样 可以用上述方法求得 例如 物体沿曲线由 A 向 B 运动 在 A B 两点的速度分 别为 v1 v2 如图 1 在此过程中速度的变化量如图 2 所示 可以这样理解 物体由 A 运动到 B 时 速度获得一个增量 v 因此 v1与 v 的 矢量和即为 v2 我们知道 求力 F1和 F2的合力 F 时 可以以 F1和 F2为邻边作 平行四边形 则 F1和 F2 所夹的对角线就表示合力 F 与次类似 以 v1和 v 为邻边作平行四边形 两 者所夹的对角线就是 v1和 v 的矢量和 即 v2 如图 3 所示 因为 AB 与 CD 平 行且相等 故可以把 v1 v v2放在同一个三角形中 就得到如图 2 所示的情 形 这种方法叫矢量的三角形法 v1 v v2 甲 v1 v2 v 乙 A B v2 v1 图 1 v v2 v1 图 2 v v1 v2A B C D 图 3 例 1 物体做匀速圆周运动的速度大小为 v 则该物体从 A 运动到 B 转过 90 角过 程中 速度变化的大小为 方向为 思路分析 做 A B 两点的速度矢量 并将 B 的速度矢量移到 A 点 如图所示 则 v 为速度变化 由 Rt 得 v v2 v 与 A 点速度方向夹角 135 斜向上方 答案 速度变化的方向与 A 点速度方向成 135 角斜向上方 v2 方法总结 速度矢量变化量 v v末 v初 用作图法求 v 的方法 从同一点作出 初 末速度矢量 不在同一点的 平移至同一点 从 v初矢量末端至 v末矢量末端作 有向线段 v v 即速度的变化量 变式训练 1 如图所示 设支点沿半径为 r 的圆周做匀速云周运动 在某时刻 t 位 于 A 点 速度为 vA 经过很短时间 t 运动到 B 点 速度为 vB 做图求出速度改变 量 v vA vB 答案 知识点 向心加速度 1 探究向心加速度的大小和方向 做匀速圆周运动的物体 其速度的大小 速率 不变 方向不断改变 所以加速 度 a 没有与 v 同方向的分量 它只是反映了速度 v 方向的不断改变 如图甲所示 设质点沿半径为 r 的圆周做匀速圆周运动 在某时刻 t 位于 A 点 速度为 vA 经过很短的时间 t 运动到 B 点 速度为 vB 把速度矢量 vA和 vB的始 端移至一点 求出速度矢量的改变量 v vB vA 如图乙所示 A B vA v vB A A B O vA vB vA vB 比值 v t 是质点在 t 时间内的平均加速度 方向与 v 方向相同 当 t 足够短 或者说 t 趋近于零时 v t 就表示出质点在 A 点的瞬时加速度 在图乙所示矢量三角形中 vA和 vB大小相等 当 t 趋近于零时 也趋近于 零 v 的方向趋近于跟 vA垂直而指向圆心 这就是说 做匀速圆周运动的质点 在任一点的瞬时加速度方向都沿半径指向圆心 图乙中的矢量三角形与图甲的三角形 OAB 是相似形 用 v 表示 vA和 vB的大 小 用 l 表示弦 AB 的长度 则有 v v l r 或 v lv r 用 t 除上式得 v t l t v r 当 t 趋近于零时 v t 表示向心加速度 a 的大小 l t 表示线速度 的大小 v 于是得到 a v2 r 这就是向心加速度的公式 再由 v r 得 a r 2 v 2 向心加速度 定义 做匀速圆周运动的物体 加速度指向圆心 这个加速度称为向心加速度 大小 an v2 r 或 an r 2 方向 总是沿半径指向圆心 即方向始终于运动方向垂直 注意 an方向时刻改变 不论大小是否变化 所以圆周运动是变加速运动 相同 a 1 r 向心加速度描述的是速度方向变化的快慢 向心加速度 a v2 r 是在匀速圆周运动中推导出来的 对非匀速圆周运动同样适 用 只要将公式中的速度 v 改为瞬时速度即可 利用 v r 向心加速度公式可写成 a v 利用 2 T 向心加速度公式可写成 a 2 T 2R 例 2 关于向心加速度 下面说法正确的是 A 向心加速度是描述线速度变化的物理量 B 向心加速度只改变线速度的方向 不改变线速度的大小 C 向心加速度大小恒定 方向时刻改变 vB vA A B 甲 v vB vA 乙 D 向心加速度的大小也可用 a vt v0 t 来计算 思路分析 加速度是描述速度变化快慢的物理量 向心加速度是描述线速度方向 快慢的物理量 因此 A 错 B 对 只有匀速圆周运动的向心加速度大小恒定 C 错 公 式 a vt v0 t 适用于匀变速运动 圆周运动是变速运动 D 错 答案 B 方法总结 向心加速度是矢量 方向始终指向圆心 变式训练 物体做半径为 R 的匀速圆周运动 它的向心加速度 角速度 线速度 和周期分别为 a v 和 T 下列关系正确的是 A B C a v D R a aRv a R T 2 答案 ABCD 难点精析 1 圆周运动中的速度和加速度 例 3 关于匀速圆周运动 下列说法中正确的是 A 匀速圆周运动是匀速运动 B 匀速圆周运动是匀变速曲线运动 C 物体做匀速圆周运动是变速曲线运动 D 做匀速圆周运动的物体必处于平衡状态 思路分析 做匀速圆周运动的速度和加速度大小不变 方向时刻在变 因此匀速圆 周运动不是匀速运动 也不是匀变速运动 选项 A B 错 做匀速圆周运动物体的合 外力即向心力 提供向心加速度 当然物体不是处于平衡状态 选项 D 错 答案 C 方法总结 速度和加速度均是矢量 矢量的变化不仅考虑大小的变化 还要考虑 方向的变化 匀速圆周运动应该理解为匀速率圆周运动 变式训练 3 如右图所示 圆轨道 AB 是在竖直平面内的 1 4 圆周 在 B 点轨道的 切线是水平的 一质点自 A 点从静止开始下滑 不计摩擦和空气阻力 则在质点刚要 到达 B 点时的加速度大小为 滑过 B 点时的加速度大小为 答案 2g g 难点精析 2 例 4 关于质点做匀速圆周运动的说法正确的是 A 由 a v2 r 知 a 与 r 成反比 B 由 a r 2知 a 与 r 成正比 A B C 由 v r 知 与 r 成反比 D 由 2 n 知 与转速 n 成正比 思路分析 由 a v2 r 只有在 v 一定时 a 才与 r 成反比 如 v 不一定 a 与 r 不 一定成反比 同理 只有当 一定 a 才与 r 成正比 v 一定时 与 r 成正比 因 2 是定值 故 与 n 成正比 答案 D 方法总结 公式 a v2 r r 2 2 T 2R 中有三个量时 在某一个量不变时 剩余的两个量的关系才能明确 即在 v 一定时 a 与 r 成反比 在 一定时 a 与 r 成正比 公式 v r 在 v 一定时 与 r 成反比 2 n 知 与转速 n 成正比 变式训练 4 如图所示 A B 两点做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图象 其中 A 为双曲线的一个分支 由图可知 A A 物体运动的线速度大小不变 B A 物体运动的角速度大小不变 C B 物体运动的角速度大小不变 D B 物体运动的线速度大小不变 答案 A C 难点精析 3 传动装置中物理量的联系 例 5 如图为一皮带传动装置 右轮的半径为 r a 是它边缘上的一点 左侧是一 轮轴 大轮半径为 4r 小轮半径为 2r b 点在小轮上 到小轮中心距离为 r c 点和 d 点分别位于小轮和大轮的边缘上 若在传动过程中 皮带不打滑 则 A a 点与 b 点线速度大小相等 B a 点与 c 点 C a 点与 d 点向心加速度大小相等 E a b c d 四点中 加速度最小的是 b 点 思路分析 皮带轮传动的是线速度 所以 ac 两点线速度大小相等 所以 A B 错 a d 两点加速度由 a v2 r 有 aa vc2 r ad 2vc2 2 4r 所以 aa ad 在 b c d 中 由 a 2r 有 b 点 加速度最小 所以 C D 正确 答案 CD 方法总结 1 在传动装置中要抓住两个基本关系 皮带 或齿轮 带动的接触面上线 速度大小相等 同一转轴上的各部分角速度相等 O A B a r a r d 4r 2r c b r 2 在线速度相等的情况下 比较向心加速度的大小 用公式 a vc2 r 在角速度相等 的情况下 用公式 a 2r 则较为方便 变式训练 5 如下图 一个大轮通过皮带拉着小轮转动 皮带和两轮之间无滑动 大 轮的半径是小轮的 2 倍 大轮上的一点 S 与转动轴的距离是半径的 1 3 当大轮边上 P 点的向心加速度是 12cm s2时 大轮上的 S 点和小轮边缘上的 Q 点的向心加速度 多大 答案 as 4cm s2 aQ 24 cm s2 综合拓展 向心加速度大小 a v2 r r 2 2 T 2R 向心加速度方向时刻指向圆 心 与速度方向垂直 圆周运动知识与其他力学知识相结合解决问题 例 6 如图所示 定滑轮的半径 r 2cm 绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物 由静止 开始释放 测得重物以加速度 a 2m s2做匀加速运动在重物由静止下落距离为 1m 的瞬间 滑轮边缘上的点的角速度 rad s 向心加速度 a m s2 思路分析 重物下落 1m 时 瞬时速度为 vsmax 22 显然 滑轮边缘上每一点的线速度也都是 2m s 故滑轮转动的角速度 即滑轮边缘 上每一点的转动角速度为 v r 2 0 02 rad s 100rad s 向心加速度为 a r 2 1002 0 02m s2 200m s2 答案 100rad s a 200m s2 方法总结 本题讨论的是变速运动问题 重物落下的过程中滑轮运动的角速度 轮上各点的线速度都在不断增加 但在任何时刻角速度与线速度的关系 v r 向心加速度与角速度 线速度的关系 a r 2 v2 r 仍然成立 活学活练 基础达标 Q P S 1 关于向心加速度的物理意义 下列说法正确的是 A 它描述的是线速度方向变化的快慢 B 它描述的是线速度大小变化的快慢 C 它描述的是向心力变化的快慢 D 它描述的是角速度变化的快慢 2 由于地球的自转 下列关于向心加速度的说法正确的是 A 在地球表面各处的向心加速度都指向地心 B 在赤道和北极上的物体的角速度相同 但赤道上物体的向心加速度大 C 赤道和北极上物体的向心加速度一样大 D 赤道和地球内部物体的向心加速度一样大 3 做匀速圆周运动的两物体甲和乙 它们的向心加速度分别为 a1和 a2 且 a1 a2 下列判断正确的是 A 甲的线速度大与乙的线速度 B 甲的角速度比乙的角速度小 C 甲的轨道半径比乙的轨道半径小 D 甲的速度方向比乙的速度方向变化得快 4 月球勘探号 空间探测器绕月球飞行可以看作为匀速圆周运动 关于该探测 器的运动 下列说法正确的是 A 匀速运动 B 匀变速曲线运动 C 变加速曲线运动 D 加速度大小不变的运动 5 如图所示 两轮用皮带传动 皮带不打滑 图中有 A B C 三点 这三点所在 处半径 rA rB rC则这三点的向心加速度 aA aB aC的关系是 A aA aB aC B aC aA aB C aC aA aA 6 小球 m 用长为 L 的悬线固定在 O 点 在 O 点正下放 L 2 处有一光滑钉 C 如图所 示 今把小球拉到悬线呈水平后无初速度地释放 当悬线呈竖直状态且与钉相碰时 A 小球的速度突然增大 B 小球的角速度突然增大 C 小球的向心加速度突然增大 O A B C L O C m D 小球的速度突然变小 7 做匀速圆周运动的物体 其角速度为 6rad s 线速度为 3m s 则在 0 1s 内 该 物体通过的圆弧长度为 m 物体连接圆心的半径转过的角度为 rad 运动的 轨道半径为 m 8 质量相等的 A B 两质点分别做匀速圆周运动 若在相等的时间内通过的弧长之 比为 2 3 而转过角度之比为 3 2 则 A B 两质点周期之比为 TA TB 向心加速 度之比 aA aB 9 一列火车以 72km h 的速率在半径是 400m 的弧形轨道上飞快的行驶 此时列车的 向心加速度是 m s 10 如图所示 长度 L 0 5m 的轻杆 一端上固定着质量为 m 1 0kg 的小球 另一端固 定在转动轴 O 上 小球绕轴在水平面上匀速转动 杆子每 0 1s 转过 30 角 试求 小球运动的向心加速度 11 一物体以 4m s 的线速度做匀速圆周运动 转动周期为 2s 则物体在运动过程的 任一时刻 速度变化率的大小为多少 基础达标答案 1 A 2 B 3 D 4 CD 5 C 6 BC 7 0 3 0 6 0 5 8 2 3 1 1 9 1 10 25 2 m s2 18 11 4 m s2 能力提