2007年数学四考研试题和答案

1 2007 年研究生入学考试数学四试题年研究生入学考试数学四试题 一 选择题 一 选择题 1 10 小题 每小题 4 分 共 40 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项 符合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内 1 当时 与等价的无穷小量是0 x x A B C D 1 e x 1 ln 1 x x 11x 1 cosx 2 设函数在处连续 下列命题错误的是 f x0 x A 若存在 则 B 若存在 则 0 lim x f x x 0 0f 0 lim x f xfx x 0 0f B 若存在 则 D 若存在 则 0 lim x f x x 0 0 f 0 lim x f xfx x 0 0 f 3 如图 连续函数在区间上的图形分别是直径为 1 的上 下半 yf x 3 2 2 3 圆周 在区间的图形分别是直径为 2 的下 上半圆周 设 2 0 0 2 则下列结论正确的是 0 d x F xf tt A B 3 3 2 4 FF 5 3 2 4 FF C D 3 3 2 4 FF 5 3 2 4 FF 4 设函数连续 则二次积分等于 f x y 1 sin 2 d d x xf x yy A B 1 0arcsin d d y yf x yx 1 0arcsin d d y yf x yx C D 1arcsin 0 2 d d y yf x yx 1arcsin 0 2 d d y yf x yx 5 设某商品的需求函数为 其中分别表示需要量和价格 如果该商1602QP Q P 2 品需求弹性的绝对值等于 1 则商品的价格是 A 10 B 20 C 30 D 40 6 曲线的渐近线的条数为 1 ln 1 exy x A 0 B 1 C 2 D 3 7 设向量组线性无关 则下列向量组线性相关的是 123 线性相关 则 A B 122331 122331 C D 122331 2 2 2 122331 2 2 2 8 设矩阵 则与 211100 121 010 112000 AB AB A 合同且相似 B 合同 但不相似 C 不合同 但相似 D 既不合同也不相似 9 某人向同一目标独立重复射击 每次射击命中目标的概率为 则此人第 01 pp 4 次射击恰好第 2 次击中目标的概率为 A B 2 3 1 pp 2 6 1 pp C D 22 3 1 pp 22 6 1 pp 10 设随机变量服从二维正态分布 且与不相关 分别表示 X YXY XY fxfy 的概率密度 则在的条件下 的条件概率密度为 X YYy X X Y fx y A B X fx Y fy C D XY fx fy X Y fx fy 二 填空题二 填空题 11 16 小题 每小题 4 分 共 24 分 把答案填在题中横线上 11 32 3 1 lim sincos 2x x xx xx x 12 设函数 则 1 23 y x 0 n y 13 设是二元可微函数 则 f u v y x zf x y zz xy xy 3 14 微分方程满足的特解为 3 d1 d2 yyy xxx 1 1 x y y 15 设矩阵 则的秩为 0100 0010 0001 0000 A 3 A 16 在区间中随机地取两个数 则这两个数之差的绝对值小于的概率为 0 1 1 2 三 解答题 三 解答题 17 24 小题 共 86 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本题满分 10 分 设函数由方程确定 试判断曲线在点附近的 yy x ln0yyxy yy x 1 1 凹凸性 18 本题满分 11 分 设二元函数 计算二重积分 2 22 1 1 1 2 xxy f x y xy xy D df x y 其中 2Dx yxy 19 本题满分 11 分 设函数在上连续 在内具有二阶导数且存在相等的最大值 f x g x a b a b 证明 存在 使得 f ag af bg b a b fg 20 本题满分 10 分 设函数具有连续的一阶导数 且满足 求 f x 222 0 d x f xxtf ttx 的表达式 f x 21 本题满分 11 分 设线性方程组与方程有公共解 求的值及 123 123 2 123 0 20 40 xxx xxax xxa x 123 21xxxa a 所有公共解 22 本题满分 11 分 设三阶对称矩阵的特征向量值 是的属于A 123 1 2 2 T 1 1 1 1 A 的一个特征向量 记 其中为 3 阶单位矩阵 1 53 4BAAE E 4 I 验证是矩阵的特征向量 并求的全部特征值与特征向量 1 BB II 求矩阵 B 23 本题满分 11 分 设二维随机变量的概率密度为 X Y 2 01 01 0 xyxy f x y 其他 I 求 2P XY II 求的概率密度 ZXY 5 1 分析分析 本题为等价无穷小的判定 利用定义或等价无穷小代换即可 详解详解 当时 0 x 1 e x x 1 11 2 xx 2 11 1 cos 22 xxx 故用排除法可得正确选项为 B 事实上 000 1111 ln ln 1 ln 1 1 112 limlimlim1 1 2 xxx x xxx xxx xx x 或 1 lnln 1 ln 1 1 x xxxo xxoxxoxx x 所以应选 B 评注评注 本题为关于无穷小量比较的基本题型 利用等价无穷小代换可简化计算 类似例题见类似例题见 数学复习指南数学复习指南 经济类 第一篇 经济类 第一篇 例例 1 54 例例 1 55 2 分析分析 本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系 由于题设条件含有抽象函 数 本题最简便的方法是用赋值法求解 即取符合题设条件的特殊函数去进 f x 行判断 然后选择正确选项 详解详解 取 则 但在不可导 故选 D f xx 0 lim0 x f xfx x f x0 x 事实上 在 A B 两项中 因为分母的极限为 0 所以分子的极限也必须为 0 则可推得 0 0f 在 C 中 存在 则 0 lim x f x x 所以 C 项正确 故选 D 00 0 0 0 0 limlim0 0 xx f xff x ff xx 评注评注 对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题 用赋值法求解往往能收到奇效 完全类似例题见文登强化班笔记完全类似例题见文登强化班笔记 高等数学高等数学 第第 2 讲讲 例例 2 文登 文登 07 考研模拟试考研模拟试 题数学二第一套 题数学二第一套 2 3 分析分析 本题实质上是求分段函数的定积分 详解详解 利用定积分的几何意义 可得 2 2 1113 3 1 2228 F 2 11 2 2 22 F 6 202 2 020 11 2 d d d1 22 Ff xxf xxf xx 所以 故选 C 33 3 2 2 44 FFF 评注评注 本题属基本题型 本题利用定积分的几何意义比较简便 类似例题见文登强化班笔记类似例题见文登强化班笔记 高等数学高等数学 第第 5 讲讲 例例 17 和和 例例 18 数学复习数学复习 指南指南 经济类 第一篇 经济类 第一篇 例例 3 38 例例 3 40 4 分析分析 本题更换二次积分的积分次序 先根据二次积分确定积分区域 然后写出 新的二次积分 详解详解 由题设可知 则 sin1 2 xxy 01 arcsinyyx 故应选 B 评注评注 本题为基础题型 画图更易看出 完全类似例题见文登强化班笔记完全类似例题见文登强化班笔记 高等数学高等数学 第第 10 讲讲 例例 5 数学复习指南数学复习指南 经济类 第一篇 经济类 第一篇 例例 7 5 例例 7 6 5 分析分析 本题考查需求弹性的概念 详解详解 选 D 商品需求弹性的绝对值等于 d2 140 d1602 Q PP P P QP 故选 D 评注评注 需掌握经济中的边际 弹性等概念 相关公式及例题见相关公式及例题见 数学复习指南数学复习指南 经济类 第一篇 经济类 第一篇 例例 11 2 6 分析分析 利用曲线的渐近线的求解公式求出水平渐近线 垂直渐近线和斜渐近线 然 后判断 详解详解 11 limlimln 1 e limlimln 1 e0 xx xxxx yy xx 所以 是曲线的水平渐近线 0y 所以是曲线的垂直渐近线 00 1 limlimln 1 ex xx y x 0 x 1e ln 1 e ln 1 e 1 e limlim0limlim1 1 x x x x xxxx y x xxx 所以是曲线的斜渐近线 1 limlimln 1 e0 x xx byxx x yx 故选 D 7 评注评注 本题为基本题型 应熟练掌握曲线的水平渐近线 垂直渐近线和斜渐近线的求法 注意当曲线存在水平渐近线时 斜渐近线不存在 本题要注意当ex 时的极限不同 xx 类似例题见文登强化班笔记类似例题见文登强化班笔记 高等数学高等数学 第第 6 讲第讲第 4 节节 例例 12 数学复习指南数学复习指南 经济类 第一篇 经济类 第一篇 例例 5 30 例例 5 31 7 分析分析 本题考查由线性无关的向量组构造的另一向量组的线 123 123 性相关性 一般令 若 则线性相关 123123 A 0A 123 若 则线性无关 但考虑到本题备选项的特征 可通过简单的线0A 123 性运算得到正确选项 详解详解 由可知应选 A 122331 0 或者因为 而 122331123 101 110 011 101 1100 011 所以线性相关 故选 A 122331 评注评注 本题也可用赋值法求解 如取 以此 TTT 123 1 0 0 0 1 0 0 0 1 求出 A B C D 中的向量并分别组成一个矩阵 然后利用矩阵的秩 或行列式是否为零可立即得到正确选项 完全类似例题见文登强化班笔记完全类似例题见文登强化班笔记 线性代数线性代数 第第 3 讲讲 例例 3 数学复习指南数学复习指南 经济类 经济类 线性代数线性代数 例例 3 3 8 分析分析 本题考查矩阵的合同关系与相似关系及其之间的联系 只要求得的特征A 值 并考虑到实对称矩阵必可经正交变换使之相似于对角阵 便可得到答案 A 详解详解 由可得 2 211 121 3 112 EA 123 3 0 所以的特征值为 3 3 0 而的特征值为 1 1 0 AB 所以与不相似 但是与的秩均为 2 且正惯性指数都为 2 所以与ABABA 合同 故选 B B 评注评注 若矩阵与相似 则与具有相同的行列式 相同的秩和相同的特征值 ABAB 所以通过计算与的特征值可立即排除 A C AB 完全类似例题见完全类似例题见 数学复习指南数学复习指南 经济类 第二篇 经济类 第二篇 例例 5 17 8 9 分析分析 本题计算贝努里概型 即二项分布的概率 关键要搞清所求事件中的成功 次数 详解详解 p 前三次仅有一次击中目标 第 4 次击中目标 1222 3 1 3 1 C ppppp 故选 C 评注评注 本题属基本题型 类似例题见类似例题见 数学复习指南数学复习指南 经济类 第三篇 经济类 第三篇 例例 1 29 例例 1 30 10 分析分析 本题求随机变量的条件概率密度 利用与的独立性和公式XY 可求解 X Y Y f x y fx y fy 详解详解 因为服从二维正态分布 且与不相关 所以与独立 所以 X YXYXY XY f x yfx fy 故 应选 A XY X YX YY fx fyf x y fx yfx fyfy 评注评注 若服从二维正态分布 则与不相关与与独立是等价的 X YXYXY 完全类似例题和求法见文登强化班笔记完全类似例题和求法见文登强化班笔记 概率论与数理统计概率论与数理统计 第第 3 讲讲 例例 3 数数 学复习指南学复习指南 经济类 第三篇第二章知识点精讲中的一 经济类 第三篇第二章知识点精讲中的一 4 二 二 3 和 和 例例 2 38 11 分析分析 本题求类未定式 可利用 抓大头法 和无穷小乘以有界量仍为无 穷小的结论 详解详解 因为 32 32 33 1 10 222 limlim0 sincos 2 21 1 2 xxx x xx x xx xx xx xx 所以 32 3 1 lim sincos 0 2x x xx xx x 评注评注 无穷小的相关性质 1 有限个无穷小的代数和为无穷小 2 有限个无穷小的乘积为无穷小 3 无穷小与有界变量的乘积为无穷小 完全类似例题和求法见文登强化班笔记完全类似例题和求法见文登强化班笔记 高等数学高等数学 第第 1 讲讲 例例 1 数学复习指数学复习指 南南 经济类 第一篇 经济类 第一篇 例例 1 43 12 分析分析 本题求函数的高阶导数 利用递推法或函数的麦克老林展开式 9 详解详解 则 故 2 12 23 23 yy x x 1 1 2 23 nn n n n yx x 1 1 2 0 3 nn n n n y 评注评注 本题为基础题型 完全类似例题见文登强化班笔记完全类似例题见文登强化班笔记 高等数学高等数学 第第 2 讲讲 例例 21 数学复习指南数学复习指南 经济类 第一篇 经济类 第一篇 2 20 例例 2 21 13 分析分析 本题为二元复合函数求偏导 直接利用公式即可 详解详解 利用求导公式可得 12 2 1zy ff xxy 12 2 1zx ff yxy 所以 12 2 zzyx xyff xyxy 评注评注 二元复合函数求偏导时 最好设出中间变量 注意计算的正确性 完全类似例题见文登强化班笔记完全类似例题见文登强化班笔记 高等数学高等数学 第第 9 讲讲 例例 8 例例 9 数学复数学复 习指南习指南 经济类 第一篇 经济类 第一篇 例例 6 16 例例 6 17 例例 6 18 14 分析分析 本题为齐次方程的求解 可令 y u x 详解详解 令 则原方程变为 y u x 3 3 d1dd d22 uux uxuu xux 两边积分得 2 111 lnln 222 xC u 即 将代入左式得 2 22 1 11 ee y ux xx CC 1 1 x y eC 故满足条件的方程的特解为 即 2 2 ee x y x ln1 x y x 1 ex 评注评注 本题为基础题型 完全类似例题见文登强化班笔记完全类似例题见文登强化班笔记 高等数学高等数学 第第 7 讲讲 例例 2 例例 3 数学复数学复 习指南习指南 经济类 第一篇 经济类 第一篇 例例 9 3 15 分析分析 先将求出 然后利用定义判断其秩 3 A 10 详解详解 3 01000001 00100000 1 00010000 00000000 AAr A 评注评注 本题为基础题型 矩阵相关运算公式见矩阵相关运算公式见 数学复习指南数学复习指南 经济类 第二篇第二章第 经济类 第二篇第二章第 1 节中的知识点节中的知识点 精讲精讲 16 分析分析 根据题意可得两个随机变量服从区间上的均匀分布 利用几何概 0 1 型计算较为简便 详解详解 利用几何概型计算 图如下 A 1 21 1 1 2 1O y x 所求概率 2 1 1 32 14 A D S S 评注评注 本题也可先写出两个随机变量的概率密度 然后利用它们的独立性求得所求概率 完全类似例题见文登强化班笔记完全类似例题见文登强化班笔记 概率论与数理统计概率论与数理统计 第第 3 讲讲 例例 11 数学数学 复习指南复习指南 经济类 第三篇 经济类 第三篇 例例 2 29 例例 2 47 17 分析分析 由凹凸性判别方法和隐函数的求导可得 详解详解 方程 两边对求导得ln0yyxy x ln10 y yyyy y 即 则 2ln 1yy 1 1 2 y 上式两边再对求导得x 2 2ln 0 y yy y 11 则 所以曲线在点附近是凸的 1 1 8 y yy x 1 1 评注评注 本题为基础题型 类似例题见文登强化班笔记类似例题见文登强化班笔记 高等数学高等数学 第第 6 讲讲 例例 10 数学复习指南数学复习指南 经 经 济类 第一篇济类 第一篇 例例 5 29 18 分析分析 由于积分区域关于轴均对称 所以利用二重积分的对称性结论简化所 x y 求积分 详解详解 因为被积函数关于均为偶函数 且积分区域关于轴均对称 所以 x y x y 其中为在第一象限内的部分 1 DD d df x yf x y 1 DD 而 1 2 22 D1 0 012 0 0 1 ddd x yxyx yxy f x yx xy 11222 2 2222000110 11 dddddd xxx x xxyxyxy xyxy 1 2ln 12 12 所以 D 1 d4 2ln 12 3 f x y 评注评注 被积函数包含时 可考虑用极坐标 解答如下 22 yx 22 1212 0 00 0 1 dd x yx y xyxy f x y xy 2 2sincos 1 0 sincos ddr 2ln 12 完全类似例题见文登强化班笔记完全类似例题见文登强化班笔记 高等数学高等数学 第第 10 讲讲 例例 1 数学复习指南数学复习指南 经济类 第一篇 经济类 第一篇 例例 7 3 例 例 7 4 19 分析分析 由所证结论可联想到构造辅助函数 然 fg F xf xg x 后根据题设条件利用罗尔定理证明 详解详解 令 则在上连续 在内具有二阶导数且 F xf xg x F x a b a b 0F aF b 12 1 若在内同一点取得最大值 则 f x g x a bc 0f cg cF c 于是由罗尔定理可得 存在 使得 12 a cc b 12 0FF 再利用罗尔定理 可得 存在 使得 即 12 0F fg 2 若在内不同点取得最大值 则 于是 f x g x a b 12 c c 12 f cg cM 111222 0 0F cf cg cF cf cg c 于是由零值定理可得 存在 使得 312 cc c 3 0F c 于是由罗尔定理可得 存在 使得 1323 a cc b 12 0FF 再利用罗尔定理 可得 存在 使得 即 12 0F fg 评注评注 对命题为的证明 一般利用以下两种方法 0 n f 方法一 验证为的最值或极值点 利用极值存在的必要条件或费尔马 1 n fx 定理可得证 方法二 验证在包含于其内的区间上满足罗尔定理条件 1 n fx x 类似例题见文登强化班笔记类似例题见文登强化班笔记 高等数学高等数学 第第 4 讲讲 例例 7 数学复习指南数学复习指南 经济 经济 类 第一篇类 第一篇 例例 4 5 例例 4 6 20 分析分析 对含变上限积分的函数方程 一般先对 x 求导 再积分即可 详解详解 由方程可得 方程两边对求导得 0 0f x 此为一阶线性方程 解之得 0 2 d2 2 2 x fxxf ttxfxxf xx 22 d2 d e2 ede1 x xx x x f xxxCC 将代入上式得 故 0 0f 1C 2 e1 x f x 评注评注 利用变限积分的可导性是解函数方程的方法之一 完全类似例题见文登强化班笔记完全类似例题见文登强化班笔记 高等数学高等数学 第第 8 讲讲 例例 6 数学复习指南数学复习指南 13 经济类 第一篇 经济类 第一篇 例例 10 8 例 例 10 10 21 分析分析 将方程组和方程合并 然后利用非齐次线性方程有解的判定条件求得 a 详解详解 将方程组和方程合并 后可得线性方程组 123 123 2 123 123 0 20 40 21 xxx xxax xxa x xxxa 其系数矩阵 22 11101110 1200110 1400310 12110101 aa A aa aa 2 11101110 01100110 003200011 001100 1 2 0 aa aaaa aaaa 显然 当时无公共解 1 2aa 当时 可求得公共解为 为任意常数 1a T 1 0 1k k 当时 可求得公共解为 2a T 0 1 1 评注评注 本题为基础题型 考查非齐次线性方程组解的判定和结构 完全类似例题见文登强化班笔记完全类似例题见文登强化班笔记 线性代数线性代数 第第 4 讲讲 例例 8 数学复习指南数学复习指南 经济类 第二篇 经济类 第二篇 例例 4 12 例例 4 15 22 分析分析 本题考查实对称矩阵特征值和特征向量的概念和性质 详解详解 I 535353 11111111111 44412BAAE 则是矩阵的属于 2 的特征向量 1 B 同理可得 53 22222 41B 53 33333 41B 所以的全部特征值为 2 1 1B 设的属于 1 的特征向量为 显然为对称矩阵 所以根据B T 2123 x x x B 不同特征值所对应的特征向量正交 可得 T 12 0 14 即 解方程组可得的属于 1 的特征向量 123 0 xxx B 其中为不全为零的任意常数 TT 212 1 0 1 0 1 0 kk 12 k k 由前可知的属于 2 的特征向量为 其中不为零 B T 3 1 1 1 k 3 k II 令 由 可得 则 101 011 101 P 1 100 010 002 P BP 011 101 110 B 评注评注 本题主要考查求抽象矩阵的特征值和特征向量 此类问题一般用定义求解 要想方设法将题设条件转化为的形式 请记住以下结论 Axx 1 设是方阵的特征值 则