黑龙江省鹤岗第一中学高考物理复习之五 万有引力定律 人造地球卫星

用心 爱心 专心1 第五章 万有引力定律第五章 万有引力定律 人造地球人造地球 卫星卫星 夯实基础知识夯实基础知识 1 开普勒行星运动三定律简介 轨道 面积 比值 丹麦开文学家开普勒信奉日心说 对天文学家 有极大的兴趣 并有出众的数学才华 开普勒在其 导师弟谷连续 20 年对行星的位置进行观测所记录 的数据研究的基楚上 通过四年多的刻苦计算 最 终发现了三个定律 第一定律 所有行星都在椭圆轨道轨道上运动 太 阳则处在这些椭圆轨道的一个焦点上 第二定律 行星沿椭圆轨道运动的过程中 与 太阳的连线在单位时间内扫过的面积面积相等 第三定律 所有行星的轨道的半长轴的三次方 跟公转周期的二次方的比值都相等比值都相等 即k T r 2 3 开普勒行星运动的定律是在丹麦天文学家弟谷 的大量观测数据的基础上概括出的 给出了行星运 动的规律 2 万有引力定律及其应用 1 内容 宇宙间的一切物体都是相互吸引的 两个物体间的引力大小跟它们的质量成积成正比 跟它们的距离平方成反比 引力方向沿两个物体的 连线方向 1687 年 2 r Mm GF 叫做引力常量 它 2211 1067 6 kgmNG 在数值上等于两个质量都是 1kg 的物体相距 1m 时 的相互作用力 1798 年由英国物理学家卡文迪许利 用扭秤装置测出 万有引力常量的测定 卡文迪许扭秤 实验原理是力矩平衡 实验中的方法有力学放大 借助于力矩将万有 引力的作用效果放大 和光学放大 借助于平面境 将微小的运动效果放大 万有引力常量的测定使卡文迪许成为 能称出 地球质量的人 对于地面附近的物体m 有 式中RE为地球半径或物体到地球 2 E E R mm Gmg 球心间的距离 可得到 G gR m E E 2 2 定律的适用条件 严格地说公式只适用于质 点间的相互作用 当两个物体间的距离远远大于物 体本身的大小时 公式也可近似使用 但此时 r 应 为两物体重心间的距离 对于均匀的球体 r 是两 球心间的距离 当两个物体间的距离无限靠近时 不能再视为 质点 万有引力定律不再适用 不能依公式算出 F 近为无穷大 注意 万有引力定律把地面上的运动与天体运 动统一起来 是自然界中最普遍的规律之一 式中 引力恒量 G 的物理意义是 G 在数值上等于质量均 为 1kg 的两个质点相距 1m 时相互作用的万有引 力 3 地球自转对地表物体重力的影响 重力是万有引力产生的 由于地球的自转 因 而地球表面的物体随地球自转时需要向心力 重力 实际上是万有引力的一个分力 另一个分力就是物 体随地球自转时需要的向心力 如图所示 在纬度 为的地表处 万有引力的一个分力充当物体随地 球一起绕地轴自转所需的向心力 F 向 mRcos 2 方向垂直于地轴指向地轴 而万 有引力的另一个分力就是通常所说的重力 mg 其方 向与支持力 N 反向 应竖直向下 而不是指向地心 由于纬度的变化 物体做圆周运动的向心力 F 向不断变化 因而表面物体的重力随纬度的变化而 变化 即重力加速度 g 随纬度变化而变化 从赤道 到两极 R 逐渐减小 向心力 mRcos 2减小 重 力逐渐增大 相应重力加速度 g 也逐渐增大 O O N F心 m F引mg 甲 在赤道处 物体的万有引力分解为两个分力 F向 和 m2g 刚好在一条直线上 则有 F F向 m2g 所以 用心 爱心 专心2 m2g F 一 F向 G m2R 自2 2 21 r mm 物体在两极时 其受力情况如图丙所示 这时 物体不再做圆周运动 没有向心力 物体受到的万 有引力 F引和支持力 N 是一对平衡力 此时物体的 重力 mg N F引 N o F引 丙 N F引 o 乙 综上所述 重力大小 两个极点处最大 等于万有引力 赤道上最小 其他地方介于两者之间 但差别很小 重力方向 在赤道上和两极点的时候指向地心 其地方都不指向地心 但与万有引力的夹角很小 由于地球自转缓慢 物体需要的向心力很小 所以大量的近似计算中忽略了自转的影响 在此基 础上就有 地球表面处物体所受到的地球引力近似 等于其重力 即 mg 2 R GmM 说明 由于地球自转的影响 从赤道到两极 重力的变化为千分之五 地面到地心的距离每增加 一千米 重力减少不到万分之三 所以 在近似的 计算中 认为重力和万有引力相等 万有引力定律的应用 万有引力定律的应用 基本方法 卫星或天体的运动看成匀速圆周运 动 F万 F心 类似原子模型 方法 轨道上正常转 r T mrm r v m r Mm G 2 2 2 2 2 4 地面附近 G mg GM gR2 黄金代换式 2 R Mm 1 1 天体表面重力加速度问题 天体表面重力加速度问题 通常的计算中因重力和万有引力相差不大 而 认为两者相等 即 m2g G g GM R2常用来 2 21 R mm 计算星球表面重力加速度的大小 在地球的同一纬 度处 g 随物体离地面高度的增大而减小 即 gh GM R h 2 比较得 gh 2 g hR r 设天体表面重力加速度为 g 天体半径为 R 由 mg 得 g 由此推得两个不同天体表面 2 Mm G R 2 M G R 重力加速度的关系为 2 121 2 212 gRM gRM 2 2 计算中心天体的质量 计算中心天体的质量 某星体m围绕中心天体m中做圆周运动的周期为 T 圆周运动的轨道半径为r 则 由得 r T m r mm G 2 2 2 中 2 32 4 GT r m 中 例如 利用月球可以计算地球的质量 利用地 球可以计算太阳的质量 可以注意到 环绕星体本身的质量在此是无法 计算的 3 3 计算中心天体的密度 计算中心天体的密度 V M 3 3 4 R M 32 2 3 RGT r 由上式可知 只要用实验方法测出卫星做圆周 运动的半径 r 及运行周期 T 就可以算出天体的质 量 M 若知道行星的半径则可得行星的密度 4 4 发现未知天体 发现未知天体 用万有引力去分析已经发现的星体的运动 可 以知道在此星体附近是否有其他星体 例如 历史 上海王星是通过对天王星的运动轨迹分析发现的 冥王星是通过对海王星的运动轨迹分析发现的 人造地球卫星 人造地球卫星 这里特指绕地球做匀速圆周运动的人造卫星 实际上大多数卫星轨道是椭圆 而中学阶段对做椭 圆运动的卫星一般不作定量分析 1 卫星的轨道平面 由于地球卫星做圆周运动 的向心力是由万有引力提供的 所以卫星的轨道平 面一定过地球球心 球球心一定在卫星的轨道平面 内 2 原理 由于卫星绕地球做匀速圆周运动 所 以地球对卫星的引力充当卫星所需的向心力 于是 有 用心 爱心 专心3 r T mrm r mma r GmM 22 2 2 2 实际是牛顿第二定律的具体体现 3 表征卫星运动的物理量 线速度 角速度 周期等 1 向心加速度与 r 的平方成反比 向 a 当 r 取其最小值时 取得最大值 向 a 2 r GM 向 a a向 max g 9 8m s2 2 R GM 2 线速度v与 r 的平方根成反比 v 当 h v r GM 当 r 取其最小值地球半径 R 时 v取得最大值 vmax 7 9km s R GM Rg 3 角速度与 r 的三分之三次方成百比 当 h 3 r GM 当 r 取其最小值地球半径 R 时 取得最大值 max 1 23 10 3rad s 3 R GM R g 4 周期 T 与 r 的二分之三次方成正比 T 2 当 h T GM r 3 当 r 取其最小值地球半径 R 时 T 取得最小值 Tmin 2 2 84 min GM R3 g R 卫星的能量 类似原子模型 r 增v 减小 EK减小v1 v4 v3 而v1 v4 是绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的线速度 由 于它们对应的轨道半径r1v4 把以上 不等式连接起来 可得到结论 v2 v1 v4 v3 卫星 沿椭圆轨道由P Q运行时 由于只有重力做负功 卫星机械能守恒 其重力势能逐渐增大 动能逐渐 减小 因此有v2 v3 例题 98 上海 发射地球同步卫星时 先将 卫星发射至近地圆轨道 1 然后经点火 使其沿椭 圆轨道 2 运行 最后再次点火 将卫星送入同步圆 轨道 3 轨道 1 2 相切于Q点 轨道 2 3 相切于 P点 如图 则当卫星分别在 1 2 3 轨道上正 常运行时 以下说法正确的是 Q 1 2 3 P A 卫星在轨道 3 上的速率大于在轨道 上的速 率 B 卫星在轨道 3 上的角速度小于在轨道 上的 角速度 C 卫星在轨道 1 上经过Q点时的加速度大于它 在轨道 2 上经过Q点时的加速度 D 卫星在轨道 2 上经过P点时的加速度等于它 在轨道 3 上经过P点时的加速度 解析 从动力学的角度思考 卫星受到的引 力使卫星产生运动的加速度 所以 nn maF 卫星在轨道 上经过 点时的加速度等于它在轨道 上经过 点时的加速度 卫星在轨道 上经过 点时的加速度等于它在轨道 上经过 点时的加速 度 必须注意 如果从运动学的角度思考 由于卫星在不同的轨道上经过r r v an 2 2 相同点时 不但线速度 角速度不同 而且轨道半 径 曲率半径 不同 所以不能做出判断 案 B D 例题 欧洲航天局用阿里亚娜火箭发射地球 同步卫星 该卫星发射前在赤道附近 北纬 5 左 右 南美洲的法属圭亚那的库卢基地某个发射场上 等待发射时为 1 状态 发射到近地轨道上做匀速圆 周运动时为 2 状态 最后通过转移 调试 定点在 地球同步轨道上时为 3 状态 将下列物理量按从小 到大的顺序用不等号排列 这三个状态下卫星的 线速度大小 向心加速度大小 周期大小 解析 比较 2 3 状态 都是绕地球做匀速 圆周运动 因为r2 r3 所以v3 v2 比较 1 3 状态 周期相同 即角速度相同 而r1 r3由v r 显 用心 爱心 专心9 然有v1 v3 因此v1 v3 v2 比较 2 3 状态 都 是绕地球做匀速圆周运动 因为r2 r3 而向心加速 度就是卫星所在位置处的重力加速度 g GM r2 1 r2 所以a3 a2 比较 1 3 状态 角速 度相同 而r1 r3 由a r 2 r 有a1 a3 所以 a1 a3 a2 比较 1 2 状态 可以认为它们轨道的 周长相同 而v1 v2 所以T2 T1 又由于 3 状态卫 星在同步轨道 周期也是 24h 所以T3 T1 因此有 T2 T1 T3 类型题 类型题 卫星的追及问题卫星的追及问题 例题 如右图所示 有A B 两个行星绕同一恒 星 O 做圆周运动 旋转方向相同 A 行星的周期为 T1 B 行星的周期为T2 在某一时刻两行星第一次相 遇 即两行星距离最近 则 BD A 经过时间t T2 T1 两行星将第二次相遇 B 经过时间 两行星将第二次相遇 12 21 TT TT t 经过时间 两行星第一次相距最 12 21 2 1 TT TT t 远 D 经过时间 两行星第一次相距最远 2 21 TT t 例题 A B 两行星在同一平面内绕同一恒星 做匀速圆周运动 运行方向相同 A 的轨道半径为 r1 B 的轨道半径为r2 已知恒星质量为 恒星 m 对行星的引力远大于得星间的引力 两行星的轨道 半径r1 r2 若在某一时刻两行星相距最近 试求 1 再经过多少时间两行星距离又最近 2 再经过多少时间两行星距离最远 解析 1 A B 两行星如右图所示位置时距 离最近 这时 A B 与恒星在同一条圆半径上 A B 运动方向相同 A 更靠近恒星 A 的转动角度 大 周期短 如果经过时间t A B 与恒星连线半 径转过的角度相差 2 的整数倍 则 A B 与恒星 又位于同一条圆半径上 距离最近 解 1 设 A B 的角速度分别为 1 2 经 过时间t A 转过的角度为 1t B 转过的角度为 2t A B 距离最近的条件是 1t 2t 3 2 1 2 nn 恒星对行星的引力提供向心力 则 32 2 r mG r mmG mr 即 由得得出 3 1 1 r m G 3 2 2 r m G 求得 3 2 1 3 2 3 1 2 nt r mG r mG n 2 如果经过时间 A B 转过的角度相差 t 的奇数倍时 则A B 相距最远 即 3 2 1 12 21 kktt 故 把 1 2代入得 21 12 k t 3 2 1 3 2 3 1 12 kt r mG r mG k 点评 太阳系有九大行星 它们之间有相对运动 如要知道哈雷彗星下次光顾地球是什么时间 就要 分 析两运动间的角速度关系 本题关键是正确写出 两行 星相距离最近和相距最远的条件 类型题 类型题 数学知识的运用数学知识的运用 物理是以数学为基础的 合理运用数学知识 可以使问题简化 甚至在有的问题中 数学知识起 关键作用 1 1 用比值法求解有关问题 用比值法求解有关问题 例题 81 全国高考 假设火星和地球都是球 体 火星的质量为M火和地球质量M地之比M火 M地 p 火星半径 R火和地球半径 R地之比 R火 R地 q 那么火星表面重力加速度 g火和地球表面重力 加速度 g地之比为 A A B C D pq 2 q p 2 pq q p 2 2 割补法的运用 割补法的运用 例题 如图所示 在距一质量为M 半径为 R 密度均匀的球体中心 2R处 有一质量为m的质 点 M对m的万有引力的大小为F 现从M中挖出 一半径为r的球体 如图 OO R 2 求 M 中剩下 的部分对m的万有引力的大小 用心 爱心 专心10 m o o r 解析 根据万有引力定律 2 2 R Mm GF 挖去的球体原来对质点m的引力为 2 5 1 R mM F 而 所以剩下的部分对质点m的引力为 3 3 r R M M F R rR FF 3 33 9 169 答案 F R rR 3 33 9 169 3 3 代数知识的运用 代数知识的运用 例题 99 全国 地球同步卫星到地心的距 离 r 可由求出 已知式中 a 的单位是 2 22 3 4 cba r m b 的单位是 s c 的单位是 m s2 则 A 是地球半径 b 是球自转的周期 是地 球表面处的重力加速度 B 是地球半径 b 是同步卫星绕地心运动的 周期 C 是同步卫星的加速度 C a 是赤道周长 b 是地球自转周期 c 是同步 卫星的加速度 D a 是地球半径 是同步卫星绕地心运动的 周期 c 是地球表面处的重力加速度 解析 同步卫星m圆周运动的向心力由地球 对它的引力提供 设地球自转周期为 物体m 在地球表面的重量约r T m r Mm G 2 2 2 4 等于地球对它的万有引力 所以 2 r mM Ggm 由上两式可得 其中 也可以认为 2 22 3 4 gTR r 是同步卫星运动的周期 答案 A D 类型题 类型题 会求解卫星运动与光学问题的综合题会求解卫星运动与光学问题的综合题 例题 2004 年广西物理试题 某颗地球同步 卫星正下方的地球表面上有一观察者 他用天文望 远镜观察被太阳光照射的此卫星 试问 春分那天 太阳光直射赤道 在日落 12 小时内有多长时间该 观察者看不见此卫星 已知地球半径为 R 地球表 面处的重力加速度为 g 地