北大附中高三数学(理)零模

北大附中北大附中 2016 届高三阶段性检测届高三阶段性检测 数学 理 2016 3 10 本试卷 150 分 考试时间 120 分钟 请考生务必将试题的答案填涂 作答在答题卡规定区 域内 在试卷上作答无效 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目要求的一项 1 若集合 则 2Mx x 2 log11Nxx MN A B 12xx 13xx C D 03xx 02xx 2 若为实数 且 则 a 224aiaii a A B C D 1 012 3 执行如图所示的程序框图 输出的结果为 A 511 B 512 C 1022 D 1024 4 设为非零向量 是 的 a b a ba b ab A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 5 已知正项数列中 则等于 n a 1 1a 2 2a 222 11 2 nnn aaa 2n 6 a A B C D 1682 24 6 如图为某几何体的三视图 则该几何体的表面积为 A B C D 105 102 62 26 626 7 实数满足 则的最大值是 x y 22 20 2 yx xy x zxy A 2 B 4 C 6 D 8 8 在股票买卖过程中 经常用到两条曲线 一种是即时价格曲线 一种是平均 yf x 价格曲线 例如 表示一只股票开始交易后第 2 小时的即时价格为 3 元 yg x 23f 表示这只股票开始交易两个小时内的平均价格为 4 元 下面所给出的四个图象中 24g 实线表示 虚线表示 其中可能正确表示某只股票交易情况的是 yf x yg x 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 9 双曲线的渐近线方程为 离心率为 22 41xy 10 在直角坐标系中 直线 为参数 在以原点为极点 轴正半轴为l 2 14 xt yt tx 极轴的极坐标系中 圆 则圆的圆心到直线 的距离为 2cosC Cl 11 在中 则的长为 ABC 3AC 45A 75C BC 12 用组成没有重复数字的五位数 其中比 30000 小的偶数共有 个 0 1 2 3 4 5 结果用数值表示 13 函数在一个周期内的图象如图所示 为 2 6cos3sin30 2 x f xx A 图象的最高点 为图象与轴的交点 且为正三角形 则的值为BC xABC 的值为 2016f 14 已知二次函数 为非零整数 甲 乙 丙 丁四位同学给出下 2 f xaxbxc a 列四个结论 甲 是的极值点 乙 3 是的极值点 1 f x f x 丙 点在曲线上 丁 点在曲线上 0 3 yf x 2 8 yf x 这四个结论中有且只有一个是错误的 则非零整数的值为 a 二 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 15 本小题满分 13 分 设函数 1 sin sincos2 332 f xxxx xR I 求的值 3 f II 求函数的最大值和最小值 f x 16 本小题共 13 分 下表为某班学生理科综合能力测试成绩 百分制 的频率分布表 已知在分数 80 90 段内的学生数为人 21 分数段 65 70 70 75 75 80 80 85 85 90 90 95 95 100 频率0 10 150 20 20 150 1 I 求测试成绩在分数段内的人数 95 100 II 现欲从分数段内的学生中抽出 2 人参加物理兴趣小组 若其中至少有 95 100 一名男生的概率为 求分数段内男生的人数 3 5 95 100 III 若在分数段的女生为 4 人 现欲从分数段内的学生中抽出 3 65 70 65 70 人参加培优小组 为分配到此组的 3 名学生中男生的人数 求的分布列及 期望 E 17 本小题满分 14 分 如图 菱形中 平面 平面 ABCD60ABC AE ABCDCF ABCD 2ABAE 3CF I 求证 EFBD II 求二面角的余弦值 BDFE III 棱上是否存在一点 使 如果存在 求的长 如果BFM AMDEF平面FM 不存在 请说明理由 D C B A E F 18 本小题满分 13 分 已知函数 sin x f xex 0 x I 求证 1f x II 若 判断曲线与直线在上公共点 cos x g xex yg x 2yax 0 的个数 并说明理由 19 本小题满分 14 分 已知椭圆 的左焦点为 过点 W 22 2 1 2102 xy mm 0F m 0m 作 3 0M 斜率不为零的直线 与椭圆交于不同的两点 设点关于轴的对称点为 lWAB AxC I 求椭圆的长轴长及离心率 W II 设的面积为 的面积为 求证 BMF 1 SCMF 2 S 1 2 BFS SCF 20 本小题满分 13 分 在的数表中 第 行列的数即为 记表示第 行中最大值与最小值的n n Mij a i j i Ri 比 表示第 列中最大值与最小值的比 表示 i Ci T m 121 nn R RRR 中的最小值 已知 121 nn C CCC 22 1 2 3 1 nn 1 1a i jinjn I 若如右表所示 求 M 23 R C T m II 若如右表所示 求的最大值 M T m III 若 直接给出的最大值 并在表格中举例说明 4n T m 北大附中北大附中 2016 届高三阶段性检测届高三阶段性检测 数学数学 理理 参考答案参考答案 一 一 选择题 本大题共选择题 本大题共 8 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 40 分 分 题号题号12345678 答案答案ABCADCBC 二 二 选择题 本大题共选择题 本大题共 6 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 30 分 分 9 10 1 2 yx 6 2 3 5 5 11 12 722 13 14 4 35 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 80 分分 15 解 I 依题意有 12 sinsincos 3333323 f 212 sincos 323 312 31 244 II 13131 sincossincoscos2 22222 f xxxxxx 1 sincos2 2 xx 2 2 1 sin1 2sin 2 1 sinsin 2 xx xx 2 13 sin 24 x 故当即 时 取得最大值为 1 sin 2 x 2 6 xk kZ f x max 3 4 f x 当即 时 取得最小值为 sin1x 2 2 xk kZ f x min 1 4 f x 16 解 I 由频率分布直方表可知 在分数段内的频率为 80 900 20 150 35 又根据题中条件分数段内的学生数为人可得 80 9021 该班学生总人数为人 21 60 0 35 而测试成绩在分数段内的频率为 95 1001 0 1 0 150 20 20 15 0 10 1 故试成绩在分数段内的人数为人 95 10060 0 16 II 设测试成绩在分数段内男生的人数为 95 100m 从中抽取的 2 人中至少有一名男生为事件 A 依题意可得 211 6 22 66 163 30155 mmm m mmmCC C P A CC 即 2 11180mm 解得 或 2m 9m 又因且为正整数06m m 故 2m 即测试成绩在分数段内男生的人数为 2 人 95 100 III 已知测试成绩在分数段的人数为人 65 7060 0 16 由题意可知 可取 且有 0 1 2 3 4 3 6 1 0 5 C P C 21 42 3 6 3 1 5 C C P C 12 42 3 6 1 2 5 C C P C 故的分布列如下表 012 P 1 5 3 5 1 5 数学期望 131 0121 555 E 17 解 I 证明 由底面为菱形 可知 ABCDACBD 由得 AEABCD CFABCD 平面平面 AECF 又 BDABCD 平面 故由线面垂直的性质定理可得 AEBD 而 ACAEA AC AEACFE 平面 于是由线面垂直的判定定理可得 BDACFE 平面 又 EFACFE 平面 从而有 EFBD II 如图所示 设与的交点为 过作交于点 ACBDOO OGAEEFG 以菱形对角线 交点为坐标原点 ACBDO 以所在直线为轴 以所在直线为轴 以所在直线为轴OAxOByOGz 建立如图所示的空间直角坐标系 可知 点坐标为 点坐标为B 0 3 0D 0 3 0 点坐标为 点坐标为 E 1 0 2F 1 0 3 则 0 2 3 0DB 1 3 2DE 1 3 3DF 设平面的法向量为 平面的法向量 BDF 1111 nx y z DEF 2222 nxyz 则有 11 1111 2 30 330 n DBy n DFxyz 2222 2222 320 330 nDExyz nDFxyz 可取 1 3 0 1n 2 5 1 3 2 3 n 设二面角的平面角大小为 由图可知 BDFE 2 故有 12 12 53 cos 2 4 1030 3 n n n n III 设棱上存在满足条件的点使得 平面 BFM AMDEF 设点坐标为 M 000 xyz 由可得 BMBF 000 3 1 3 3xyz 01 于是有 0 x 0 33y 0 3z 则 点坐标为 1 33 3AM A 1 0 0 又平面的法向量为 DEF 2 5 1 3 2 3 n 由平面可得 AMDEF 2 0AMn 于是有 2 5 133361060 3 AM n 解得 点坐标为 3 5 0 1 M 8 29 3 5 55 故棱上存在满足条件的点使得 BFM AMDEF平面 此时线段的长为 FM 22 13 55 FMBF 18 解 I 证明 的导函数为 f x cos x fxex 当时 而 0 x 1 x e cos1x 故 即在上恒成立cos0 x ex 0fx 0 x 因此 函数在区间上单调递增 f x 0 于是 不等式得证 min 01f xf xf II 令 2cos2 x h xg xaxexax 则的导函数 h x sin x hxf xaexa 由 I 可得 在上恒成立 sin1 x gxf xex 0 x 当时 在恒成立 1a sin0 x hxexa 0 x 故函数在区间上为增函数 其最小值为 h x 0 00h 因此 函数在区间上有唯一零点 h x 0 即曲线与直线在上有唯一公共点 yg x 2yax 0 当时 令可得 1a 0hx sin0 x exa 设 易知 在区间上为增函数且 0 0hx 0 0 x hx 0 00h 令可得 令可得 0hx 0 xx 0hx 0 0 xx 故函数在区间上为减函数 在区间上为增函数 h x 0 0 x 0 x 而 在区间上的最小值为 00h h x 0 0 min 0h xh x 于是函数在区间上有两个不同零点 h x 0 即曲线与直线有两个公共点 yg x 2yax 19 解 I 由题意可知 椭圆的焦点在轴上 有 x 22 2102mmm 化简整理可得 2 60mm 0m 解得 2m 故椭圆的方程为 W 22 1 62 xy 椭圆的长轴长为 离心率 W22 6a 26 36 c e a II 依题意可设直线 的斜率为 则其方程为 lk 0k 3yk x 将其与椭圆的方程联立W 22 1 62 3 xy yk x 化简整理可得 2222 31182760kxk xk 设两点坐标分别为 由韦达定理可得 A B 11 x y 22 xy 2 12 2 2 12 2 18 31 276