（江西版）2013年高考数学总复习 第四章4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数教案 理 北师大版

1 20132013 年高考第一轮复习数学北师年高考第一轮复习数学北师 江西版江西版 理第四章理第四章 4 14 1 任意角和弧任意角和弧 度制及任意角的三角函数度制及任意角的三角函数 考纲要求考纲要求 1 了解任意角的概念 2 了解弧度制的概念 能进行弧度与角度的互化 3 理解任意角三角函数 正弦 余弦 正切 的定义 知识梳理知识梳理 1 任意角 1 角的分类 任意角可按旋转方向分为 2 象限角 第一象限角的集合 第二象限角的集合 第三象限角的集合 第四象限角的集合 2 弧度制 1 弧度制 在以单位长为半径的圆中 的弧所对的圆心角为 1 弧度的角 以 作为单位来度量角的单位制 叫作弧度制 2 角度与弧度之间的换算 360 rad 180 rad 1 rad 1 rad 180 3 弧长 扇形面积公式 设扇形的弧长为l 圆心角为 弧度 半径为r 则l S扇形 3 任意角的三角函数 三角函数正弦余弦正切 设 是一个任意角 它的终边与单位圆交于点P x y 定义 叫作 的正 弦 即y sin 叫作 的余 弦 即x cos 叫作 的正 切 即 tan y x x 0 各象限 符号 口诀一全正 二正弦 三正切 四余弦 终边相同 的角的三 角函数值 k Z Z 公式一 sin k 2 cos k 2 tan k 2 2 三角函 数线 有向线段MP叫作角 的正弦线 有向线段OM叫作角 的余弦线 有向线段AT叫作角 的正切线 基础自测基础自测 1 终边与坐标轴重合的角 的集合为 A k 360 k Z Z B k 180 k Z Z C k 90 k Z Z D k 180 90 k Z Z 2 设角 终边上一点P 4a 3a a 0 则 sin 的值为 A B C D 3 5 3 5 4 5 4 5 3 已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2 则这个圆心角所对的弧长是 A 2 B sin 2 C D 2sin 1 2 sin 1 4 已知 sin 0 tan 0 那么 是 A 第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角 5 若点P在角 的终边上 且 OP 2 则点P的坐标为 2 3 思维拓思维拓展展 1 第一象限内的角是否都为锐角 提示 提示 不是 锐角是大于 0 且小于 90 的角 第一象限内的角还有大于 90 和小于 0 的角 2 终边相同的角相等吗 提示 提示 相等的角终边一定相同 终边相同的角不一定相等 终边相同的角有无数个 它 们相差 360 的整数倍 3 如何用三角函数线比较三角函数值的大小 提示提示 三角函数线的长度表示三角函数值的绝对值 方向表示三角函数值的正负 一 象限角及终边相同的角 例 1 1 若 是第三象限的角 则 是 1 2 A 第一或第二象限的角 B 第一或第三象限的角 C 第二或第三象限的角 D 第二或第四象限的角 例 1 2 已知角 是第一象限角 确定 2 的终边所在的位置 2 方法提炼方法提炼 1 对与角 终边相同的角的一般形式 k 360 的理解 1 k Z Z 2 是任意角 3 终边相同的角不一定相等 但相等的角终边一定相同 终边相同的角有无穷多个 它们相差 360 的整数倍 2 已知 的终边位置 确定k k N N 的终边的方法 先用终边相同角的形式表 k 示出角 的范围 再写出k 或的范围 然后就k的可能取值讨论k 或的终边所在 k k 位置 请做请做 针对训练针对训练 1 1 3 二 弧长与扇形的面积 例 2 1 一个半径为r的扇形 若它的周长等于弧所在的半圆的长 那么扇形的圆心 角是多少弧度 是多少度 扇形的面积是多少 取 3 14 2 一扇形的周长为 20 当扇形的圆心角 等于多少弧度时 这个扇形的面积最大 方法提炼方法提炼在弧度制下 弧长公式为l r 扇形面积公式为S lr r2 为圆心 1 2 1 2 角 0 2 r为半径 l为弧长 提醒 提醒 应用上述公式时 要先把角统一为用弧度制表示 弧长公式l 扇形面积 n r 180 公式为S 其中n为 的角度数 r为半径 n r2 360 请做请做 针对训练针对训练 2 2 三 三角函数的定义 例 3 1 已知角 的终边过点P 3cos 4cos 其中 求 2 的三角函数值 例 3 2 已知角 的顶点与平面直角坐标系的原点重合 始边在x轴的非负半轴上 终边经过点P 1 2 求 sin的值 2 2 3 方法提炼方法提炼定义法求三角函数值的两种情况 1 已知角 终边上一点P的坐标 则可先求出点P到原点的距离r 然后用三角函数 的定义求解 2 已知角 的终边所在的直线方程 则可先设出终边上一点的坐标 求出此点到原点 的距离 然后用三角函数的定义来求相关问题 若直线的倾斜角为特殊角 也可直接写出角 的三角函数值 请做请做 针对训练针对训练 3 3 考情分析考情分析 从近两年的高考试题来看 三角函数的定义 由定义求得三角函数 再利用一些知识进 行化简求值是高考的热点 既有小题 也有大题 预测 2013 年高考仍会考查三角函数定义及符号判定 重点考查运算能力与恒等变形能 力 针对训练针对训练 1 若 k 180 45 k Z Z 则 在 A 第一或第三象限 B 第一或第二象限 C 第二或第四象限 D 第三或第四象限 2 已知扇形的周长是 6 cm 面积是 2 cm2 则扇形的圆心角的弧度数是 A 1 B 4 C 1 或 4 D 2 或 4 3 角 的终边上有一点P 3t 4t t R R 且t 0 则 sin 的值是 4 已知角 的终边在直线 3x 4y 0 上 求 sin cos tan 的值 4 参考答案参考答案 基础梳理自测基础梳理自测 知识梳理知识梳理 1 1 正角 负角 零角 2 Error Error Error Error 2 1 单位长度 弧度 2 2 180 3 r lr r2 1 2 1 2 3 y x 正 正 正 正 负 负 负 负 正 负 正 负 sin cos y x tan 基础自测基础自测 1 C 解析 解析 当角 的终边在x轴上时 可表示为k 180 k Z Z 当角 的终边在 y轴上时 可表示为k 180 90 k Z Z 当角 的终边在坐标轴上时 可表示为k 90 k Z Z 2 B 解析 解析 设P与原点的距离为r P 4a 3a a 0 r 5a 5a 4a 2 3a 2 sin 3a r 3 5 3 C 解析 解析 由已知可得该圆的半径为 2 弧度的圆心角所对的弧长为 1 sin 1 2 1 sin 1 2 sin 1 4 C 解析 解析 sin 0 在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上 又 tan 0 在第一或第三象限 在第三象限 5 1 解析 解析 根据三角函数的定义 3 x OP cos 2 1 y OP sin 2 2 3 1 2 2 3 3 23 P点的坐标为 1 3 考点探究突破考点探究突破 例 1 1 B 解析 解析 由已知 得 2k 2k k Z Z 3 2 k k k Z Z 是第一或第三象限的角 4 2 2 2 例 1 2 解 解 是第一象限的角 k 2 k 2 k Z Z 2 1 k 4 2 k 4 k Z Z 即 2k 2 2 2k 2 k Z Z 2 的终边在第一象限或第二象限或y轴的非负半轴上 2 k k k Z Z 当k 2n n Z Z 时 2n 2n n Z Z 2 4 2 4 的终边在第一象限 当k 2n 1 n Z Z 时 2n 1 2n 1 n Z Z 2 2 4 5 即 2n 2n n Z Z 2 5 4 的终边在第三象限 2 综上 的终边在第一象限或第三象限 2 例 2 解 解 1 设扇形的圆心角是 rad 因为扇形的弧长是r 所以扇形的周长是 2r r 依题意 得 2r r r 2 2 180 1 14 57 32 65 35 扇形的面积为S r2 2 r2 1 2 1 2 2 设扇形的半径为r 弧长为l 则l 2r 20 即l 20 2r 0 r 10 扇形的面积S lr 将 代入 得S 20 2r r r2 10r r 5 2 25 1 2 1 2 所以当且仅当r 5 时 S有最大值 25 此时l 20 2 5 10 2 l r 所以当 2 rad 时 扇形的面积取最大值 例 3 1 解 解 设P与原点的距离为r 1 cos 0 2 r 5cos 9cos2 16cos2 故 sin cos tan 4 5 3 5 4 3 例 3 2 解 解 P 1 2 是角 终边上一点 由此求得r OP 1 2 225 sin cos 2 5 2 5 5 1 5 5 5 sin 2 2sin cos 2 2 5 5 5 5 4 5 cos 2 cos2 sin2 2 2 5 5 2 5 5 3 5 sin sin 2 cos 2 2 3 2 3 cos 2 sin 2 3 4 5 1 2 3 5 3 2 4 3 3 10 演练巩固提升演练巩固提升 针对训练针对训练 1 A 解析 解析 当k为奇数时 在第三象限 当k为偶数时 在第一象限 2 C 解析 解析 设扇形的半径为r 弧长为l 则由题意得Error 解得r 1 l 4 或r 2 l 2 3 解析 解析 P 3t 4t 原点O到P点的距离 OP 5 t 4 5 sin 4t 5 t 4 5 4 解 解 角 的终边在直线 3x 4y