辽宁省锦州市2016届高考数学二模文科试卷含答案解析

第 1 页（共 30 页） 2016 年辽宁省锦州市高考数学二模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知集合 M=x|x 1， N=x|2x 1，则 MN=（ ） A B x|x 0 C x|x 1 D x|0 x 1 2已知（ a+i）（ 1 =2i（其中 a， b 均为实数， i 为虚数单位），则 |a+于（ ） A 2 B C 1 D 1 或 3下列有关命题的说法正确的是（ ） A命题 “若 ，则 x=1”的否命题为： “若 ，则 x1” B “m=1”是 “直线 x 和直线 x+ 互相垂直 ”的充要条件 C命题 “xR，使得 x2+x+1 0”的否定是： “xR，均有 x2+x+1 0” D命题 “已知 x， y 为一个三角形的两内角，若 x=y，则 逆命题为真命题 4某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个面中，最大的面积是（ ）A B 1 C D 5如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的 S 为（ ） 第 2 页（共 30 页） A a1+a3+a0+的值 B a3+a2+a1+的值 C a0+a1+a2+的值 D a2+a0+a3+的值 6已知变量 x， y 满足约 束条件 ，则 z=x 2y 的最大值为（ ） A 3 B 0 C 1 D 3 7某餐厅的原料费支出 x 与销售额 y（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出 y 与 x 的线性回归方程为 =表中的 m 的值为（ ） x 2 4 5 6 8 y 25 35 m 55 75 A 50 B 55 C 60 D 65 8已知函数 f（ x） = ， g（ x） =x|，则函数 F（ x） =f（ x） g（ x）的大致图象为（ ） A B C D 9已知四棱锥 S 所有顶点在同一球面上，底面 正方形且球心 O 在此平面内，当四棱锥体积取得最大值时，其面积等于 16+16 ，则球 O 的体积等于（ ） A B C D 10双曲线 C 的中心在原点，焦点在 y 轴上，离心率为 ，双曲线 C 与抛物线 x 的准线交于 A，B 两点， |4，则双曲线 C 的实轴长为（ ） 第 3 页（共 30 页） A 2 B C 4 D 11设函数 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，对任意 xR，都有 f（ x） =f（ x+4），且当 x 2， 0时， f（ x） =（ ） x 1，若在区间（ 2， 6内关于 x 的方程 f（ x） x+2） =0（ a 1）恰有三个不同的实数根，则 a 的取值范围是（ ） A（ ， 2） B（ ， 2） C ， 2） D（ ， 2 12不等式 x 解集为 P，且 0， 2P，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， e 1） B（ e 1， +） C（ ， e+1） D（ e+1， +） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13已知函数 f（ x） = ，则 f（ = 14若 三边 a， b， c 及面积 S 满足 S= b c） 2，则 15已知向量 与 的夹角为 120，且 ， 若 ，且 ，则实数 = 16 在 ，内角 A， B， C 的所对边分别是 a， b， c，有如下下列命题： 若 A B C，则 若 ，则 等边三角形； 若 等腰三角形； 若（ 1+ 1+=2，则 钝角三角形； 存在 A， B， C，使得 立 其中正确的命题为 （写出所有正确命题的序号） 三、解答题：解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤 . 17已知数列 前 n 项和为 Sn=n（ n+1）（ nN*） （ ）求数列 通项公式； （ ）若数列 足： ，求数列 通项公式； （ ）令 （ nN*），求数列 前 n 项和 第 4 页（共 30 页） 18某班同学利用国庆节进行社会实践，对 25， 55岁的人群随机抽取 n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为 “低碳族 ”，否则称 为 “非低碳族 ”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图： 组数 分组 低碳族的人数 占本组的频率 第一组 25， 30） 120 二组 30， 35） 195 p 第三组 35， 40） 100 四组 40， 45） a 五组 45， 50） 30 六组 50， 55） 15 ）补全频率分布直方图并求 n、 a、 p 的值； （ ）从年龄段在 40， 50）的 “低碳族 ”中采用分层抽样法抽取 6 人参加户外低碳体验活动，其中选取 2 人作为领队，求选取的 2 名 领队中恰有 1 人年龄在 40， 45）岁的概率 19如图，在四棱锥 P ，底面 直角梯形， 0，平面 面 Q 为 中点， M 是棱 中点， D=2， ， （ ）求证：平面 平面 （ ）求四面体 C 体积 第 5 页（共 30 页） 20椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，且过其右焦点 F 与长轴垂直的直线被椭圆 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）设点 P 是椭圆 C 的一个动点，直线 l： y= x+ 与椭圆 C 交于 A， B 两点，求 积的最大值 21已知函数 f（ x） =g（ x） = +x， mR 令 F（ x） =f（ x） +g（ x） （ ）当 m= 时，求函数 f（ x）的单调递增区间； （ ）若关于 x 的不等式 F（ x） 1 恒成立，求整数 m 的最小值； （ ）若 m= 2，正实数 足 F（ +F（ +，证明： x1+ 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 22如图，圆周角 平分线与圆交于点 D，过点 D 的切线与弦 延长线交于点 E， C 于点 F （ ）求证： （ ）若 D， E， C， F 四点共圆，且 = ，求 选修 4标系与参数方程 第 6 页（共 30 页） 23已知直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） （ ）已知在极坐标系（与直角坐标系 相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，点 P 的极坐标为（ 4， ），判断点 P 与直线 l 的位置关系； （ ）设点 Q 是曲线 C 上的一个动点，求点 Q 到直线 l 的距离的最小值与最大值 选 修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|x 2| （ 1）解不等式： f（ x+1） +f（ x+2） 4； （ 2）已知 a 2，求证： xR， f（ +x） 2 恒成立 第 7 页（共 30 页） 2016 年辽宁省锦州市高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知集合 M=x|x 1， N=x|2x 1，则 MN=（ ） A B x|x 0 C x|x 1 D x|0 x 1 【考点】 交集及其运算 【专题】 计算题 【分析】 利用指数函数的单调性求出集合 N 中的解集；利用交集的定义求出 MN 【解答】 解： N=x|2x 1=x|x 0 M=x|x 1， MN=X|0 X 1 故选 D 【点评】 本题考查利用指数函数的单调性解指数不等式、考查利用交集的定义求两个集合的交集 2已知（ a+i）（ 1 =2i（其中 a， b 均为实数， i 为虚数单位），则 |a+于（ ） A 2 B C 1 D 1 或 【考点】 复数求模 【专题】 数系的扩充和复数 【分析】 首先将已知不等式展开，利用复数相等求出 a， b，然后求模 【解答】 解：由（ a+i）（ 1 =2i 得（ a+b） +（ 1 i=2i，所以 ，解得 或者 ， 所以 |a+ = ； 故选： B 【点评】 本题考查了复数相等以及复数的模，属于基础题 第 8 页（共 30 页） 3下列有关命题的说法正确的是（ ） A命题 “若 ，则 x=1”的否命题为： “若 ，则 x1” B “m=1”是 “直线 x 和直线 x+ 互相垂直 ”的充要条件 C命题 “xR，使得 x2+x+1 0”的否定是： “xR，均有 x2+x+1 0” D命题 “已知 x， y 为一个三角形的两内角，若 x=y，则 逆命题为真命题 【考点】 命题的真 假判断与应用 【专题】 简易逻辑 【分析】 对于 A 根据否命题的意义即可得出； 对于 B 按照垂直的条件判断； 对于 C 按照含有一个量词的命题的否定形式判断； 对于 D 按照正弦定理和大角对大边原理判断 【解答】 解：对于 A，根据否命题的意义可得：命题 “若 ，则 x=1”的否命题为： “若 ，则 x1”，因此原命题不正确，违背否命题的形式； 对于 B， “m=1”是 “直线 x 和直线 x+ 互相垂直 ”的充要条件不准确，因为 “直线 x 和直线 x+ 互相垂直 ”的充要条件是 ，即 m=1 对 于命题 C： “xR，使得 x2+x+1 0”的否定的写法应该是： “xR，均有 x2+x+10”，故原结论不正确 对于 D，根据正弦定理， x=y所以逆命题为真命题是正确的 故答案选： D 【点评】 本题考查了四种命题之间的关系、命题的否定，属于基础题 4某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个面中，最大的面积是（ ）A B 1 C D 【考点】 由三视图求面积、体积 第 9 页（共 30 页） 【专题】 计算题；空间位置关系与距离 【分析】 根据几何体的三视图，得出该几何体是直三棱锥，根据图中的数据，求出该三棱锥的 4 个面的面积，得出面积最大的三角形的面积 【解答】 解：根据几何体的三视图，得； 该几何体是如图所示的直三棱锥， 且侧棱 底面 ， ，点 B 到 距离为 1； 底面 面积为 21=1， 侧面 面积为 1= ， 侧面 面积为 21=1， 在侧面 ， ， = ， = ， 面积为 = ； 三棱锥 P 所有面中，面积最大的是 故选： A 【点评】 本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间中的位置关系与距离的计算问题，是基础题目 5如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的 S 为（ ） 第 10 页（共 30 页） A a1+a3+a0+的值 B a3+a2+a1+的值 C a0+a1+a2+的值 D a2+a0+a3+的值 【考点】 程序框图 【专题】 图表型；算法和 程序框图 【分析】 模拟执行程序框图，根据秦九韶算法即可得解 【解答】 解：由秦九韶算法， S=a0+a1+a2+， 故选： C 【点评】 本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力，同时考查学生对算法思想的理解与剖析，本题特殊利用秦九韶算法，使学生更加深刻地认识中国优秀的传统文化，属于基础题 6已知变量 x， y 满足约束条件 ，则 z=x 2y 的最大值为（ ） A 3 B 0 C 1 D 3 【考点】 简单线性规划 【 专题】 计算题；不等式的解法及应用 【分析】 作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的 其内部，再将目标函数 z=x 2y 对应的直线进行平移，可得当 x=1， y=0 时， z 取得最大值 1 第 11 页（共 30 页） 【解答】 解：作出不等式组 表示的平面区域， 得到如图的 其内部，其中 A（ 1， 1）， B（ 2， 1）， C（ 1， 0） 设 z=F（ x， y） =x 2y，将直线 l： z=x 2y 进行平移， 当 l 经过点 C 时，目标函数 z 达到最大值 z 最大值 =F（ 1， 0） =1 故选： C 【点评】 本题给出二元一次不等式组，求目标函数 z=x 2y 的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题 7某餐厅的原料费支出 x 与销售额 y（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出 y 与 x 的线性回归方程为 =表中的 m 的值为（ ） x 2 4 5 6 8 y 25 35 m 55 75 A 50 B 55 C 60 D 65 【考点】 线性回归方程 【专题】 应用题；概率与统计 【分析】 计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，列出方程，求解即可得到结论 【解答】 解：由题意， = =5， = =38+ ， y 关于 x 的线性回归方程为 = 根据线性回归方程必过样本的中心， 38+ =+ m=60 第 12 页（共 30 页） 故选： C 【点评】 本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，这是线性回归方程中最常考的知识点属于基础题 8已知函数 f（ x） = ， g（ x） =x|，则函数 F（ x） =f（ x） g（ x）的大致图象为（ ） A B C D 【考点】 函数的图象 【专题】 应用题；数形结合；函数思想；定义法；函数的性质及应用 【分析】 根据函数的奇偶性和函数值的变化趋势，即可判断 【解答】 解： f（ x） = =f（ x）， g（ x） =x|=g（ x）， F（ x） =f（ x） g（ x） =f（ x） g（ x） =F（ x）， 函数 F（ x）为偶函数，其图象关于 y 轴对称， 当 x+时， f（ x） ， g（ x） +， 当 x+时， F（ x） ， 故选： B 【点评】 本题考查了函数图象的识别，关键是判断函数的奇偶性和函数值的变化趋势，属于基础题 9已知四棱锥 S 所有顶点在同一球面上，底面 正方形且球心 O 在此平面内，当四棱锥体积取得最大值时，其面积等于 16+16 ，则球 O 的体积等于（ ） A B C D 【考点】 球的体积和表面积 【专题】 计算题；空间位置关系与距离 【分析】 当此四棱锥体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥，根据该四棱锥的表面积等于 16+16 ，确定该四棱锥的底面边长和高，进而可求球的半径为 R，从而可求球的体积 【解答】 解：由题意，当此四棱锥体积取得最大值时， 四棱锥为正四棱锥， 该四棱锥的表面积等于 16+16 ， 设球 O 的半径为 R，则 R， ，如图， 该四棱锥的底面边长为 R， 第 13 页（共 30 页） 则有（ R） 2+4 R =16+16 ， 解得 R=2 球 O 的体积是 故选： D 【点评】 本题考查球内接多面体，球的体积，解题的关键是确定球的半径，再利用公式求解 10双曲线 C 的中心在原点，焦点在 y 轴上，离心率为 ，双曲线 C 与抛物线 x 的准线交于 A，B 两点， |4，则双曲线 C 的实轴长为（ ） A 2 B C 4 D 【考点】 双曲线的简单性质 【专题】 圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】 设出双曲线方程，求出抛物线的准线方程，利用 |4 求得一交点坐标，代入双曲线方程求得 ，则双曲线 C 的实轴长可求 【解答】 解：由题意可知，双曲线为焦点在 y 轴上的等轴双曲线， 设等轴 双曲线 C 的方程为 ，（ 1） 抛物线 x，则 2p=4， p=2， ， 抛物线的准线方程为 x= 1 设等轴双曲线与抛物线的准线 x= 1 的两个交点 A（ 1， y）， B（ 1， y）（ y 0）， 则 |y（ y） |=2y=4， y=2 将 x= 1， y=2 代入（ 1），得 22（ 1） 2=， =3， 等轴双曲线 C 的方程为 ， 即 ， 第 14 页（共 30 页） C 的实轴长为 故选： D 【点评】 本题考查抛物线，双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题 11设函数 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，对任意 xR，都有 f（ x） =f（ x+4），且当 x 2， 0时， f（ x） =（ ） x 1，若在区间（ 2， 6内关于 x 的方程 f（ x） x+2） =0（ a 1）恰有三个不同的实数根，则 a 的取值范围是（ ） A（ ， 2） B（ ， 2） C ， 2） D（ ， 2 【考点】 函数的周期性；函数奇偶性的性质 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 由已知中 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，对于任意的 xR，都有 f（ x 2） =f（ 2+x），我们可以得到函数 f（ x）是一个周期函数，且周期为 4，则不难画出函数 f（ x）在区间（ 2， 6上的图象，结合方程的解与函数的零点之间的 关系，我们可将方程 f（ x） =0 恰有 3 个不同的实数解，转化为函数 f（ x）的与函数 y= 的图象恰有 3 个不同的交点，数形结合即可得到实数a 的取值范围 【解答】 解：设 x0， 2，则 x 2， 0， f（ x） =（ ） x 1=2x 1， f（ x）是定义在 R 上的偶函数， f（ x） =f（ x） =2x 1 对任意 xR，都有 f（ x） =f（ x+4）， 当 x2， 4时，（ x 4） 2， 0， f（ x） =f（ x 4） =4 1； 当 x4， 6时，（ x 4） 0， 2， f（ x） =f（ x 4） =2x 4 1 若在区间（ 2， 6内关于 x 的方程 f（ x） x+2） =0（ a 1）恰有三个不同的实数根， 函数 y=f（ x）与函数 y=x+2）在区间（ 2， 6上恰有三个交点， 通过画图可知：恰有三个交点的条件是 ，解得： a 2， 第 15 页（共 30 页） 即 a 2，因此所求的 a 的取值范围为（ ， 2） 故选： B 【点评】 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，指数函数与对数函数的图象与性质，其中根据方程的解与函数的零点之间的关系，将方程根的问题转化为函数零点问题，是解答本题的关键，体现了转化和数形结合的数学思想，属于中档题 12不等式 x 解集为 P，且 0， 2P，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， e 1） B（ e 1， +） C（ ， e+1） D（ e+1， +） 【考点】 一元二次不等式的解法；集合的包含关系判断及应用 【专题】 不等式的解法及应用 【分析】 由不等式 x 解集为 P，且 0， 2P ， x0， 2，利用导数求出即可 【解答】 解： 当 x=0 时，不等式 0 0 对任意实数 x 恒成立； 当 x 0 时，不等式 x 变形为 ， 由不等式 x 解集为 P，且 0， 2P ， x0， 2 设 ， x（ 0， 2 g（ x） = = ，令 g（ x） =0，解得 x=1 当 0 x 1 时， g（ x） 0，函数 g（ x）单调递减；当 1 x2 时， g（ x） 0，函数 g（ x）单调递增 由此可知：当 x=1 时，函数 f（ x）取得极小值，也即最小值，且 f（ 1） =e 1+a e， a e 1 故选 A 【点评】 把问题正确等价转化并熟练掌握利用导数研究函数的极值是解题的关键 第 16 页（共 30 页） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13已知函数 f（ x） = ，则 f（ = 【考点】 抽象函数及其应用 【专题】 计算题；函数的性质及应用 【分析】 注意分段函数各段的范围，由对数的性质和运算法则，结合对数恒等式 =N，计算即可得到 【解答】 解：由于函数 f（ x） = ， 则 f（ =f（ 1） 1 =f（ 1=f（ 1） 2=f（ 2 =f（ 1） 3=f（ 3=f（ 1） 4=f（ 4 = 4= 4= 故答案为： 【点评】 本题考查分段函数的运用：求函数值，注意各段的 范围，考查对数的性质和运算法则及对数恒等式，属于中档题 14若 三边 a， b， c 及面积 S 满足 S= b c） 2，则 【考点】 余弦定理 【专题】 解三角形 【分析】 由条件利用余弦定理求得 4 4利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式求得 值，可得 的值 【解答】 解： ，由于面积 S= b c） 2 =b2+2bc b2+2=22bc 第 17 页（共 30 页） 而 S= bc 22bcbc得 4 4 4 4（ 1 2 ） =2 ， = = = ， 故答案为： 【点评】 本题主要考查余弦定理、同角三 角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于中档题 15已知向量 与 的夹角为 120，且 ， 若 ，且 ，则实数 = 【考点】 数量积表示两个向量的夹角；向量的模 【专题】 平面向量及应用 【分析】 利用 ， ，表示 向量，通过数量积为 0，求出 的值即可 【解答】 解：由题意可知： ， 因为 ， 所以 ， 所以 = = = 12+7=0 解得 = 故答案为： 【点评】 本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直，考查转化数学与计算能力 16在 ，内角 A， B， C 的所对边分别是 a， b， c，有如下下列命题： 若 A B C， 则 第 18 页（共 30 页） 若 ，则 等边三角形； 若 等腰三角形； 若（ 1+ 1+=2，则 钝角三角形； 存在 A， B， C，使得 立 其中正确的命题为 （写出所有正确命题的序号） 【考点】 同角三角函数基本关系的运用 【专题】 三角函数的求值 【分析】 已知不等式利用正弦定理化简，整理得到结果，即可做出判断； 已知等式利用正弦定理化简，整理得到结果，即可做出判断； 已知等式利用正弦函数的性质化简，整理得到结果，即可做出判断； 已知等式整理后，利用两角和与差的正切函数公式化简，求出 C 的度数，即可做出判断； 由 A， B， C 为三角形内角，得到 A+B） = C） = 用两角和与差的正切函数公式化简，整理得到 本选项错误 【解答】 解： A B C， a b c， 又 = = =2R， ， ， ， 2R 为定值， 选项正确； = = ， 由正弦定理得： a=2Rb=2Rc=2R入，得 = = ， = = ，即 A=B=C， 则 等边三角形，本选项正确； 2A=2B 或 2A+2B=， 即 A=B 或 A+B= ， 则 等腰三角形或直角三角形，本选项错误； 第 19 页（共 30 页） （ 1+ 1+=2，即 1+， ，即 =1，即 A+B） =1， A+B= ，即 C= ， 则 钝角三角形，本选项正确； 若 A、 B、 C 有一个为直角时不成立， 若 A、 B、 C 都不为直角， A+B= C， A+B） = C），即 = 则 即 错误， 故答案为： 【点评】 此题考查了同角三角函数间的基本关系，正弦定理，两角和与差的正切函数公式，熟练掌握基本关系是解本题的关键 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17已知数列 前 n 项和为 Sn=n（ n+1）（ nN*） （ ）求数列 通项公式； （ ）若数列 足： ，求数列 通项公式； （ ）令 （ nN*），求数列 前 n 项 和 【考点】 数列的求和；数列的函数特性；等差数列的通项公式 【专题】 综合题 【分析】 （ ）当 n=1 时， 1=2，当 n2 时， n 1=n（ n+1）（ n 1） n=2n，由此能求出数列 通项公式 第 20 页（共 30 页） （ ）由 （ n1），知，所以 ，由此能求出 （ ） =n（ 3n+1） =n3n+n，所以 Tn=c1+c2+ 13+232+333+n3n） +（ 1+2+n），令 3+232+333+n3n，由错位相减法能求出 ，由此能求出数列前 n 项和 【解答】 解：（ ）当 n=1 时， 1=2， 当 n2 时， n 1=n（ n+1）（ n 1） n=2n， 知 满足该式， 数列 通项公式为 n （ ） （ n1） 得： ， =2（ 3n+1+1）， 故 （ 3n+1）（ nN*） （ ） =n（ 3n+1） =n3n+n， Tn=c1+c2+ 13+232+333+n3n） +（ 1+2+n） 令 3+232+333+n3n， 则 332+233+334+n3n+1 得： 2+32+33+3n n3n+1= ， 第 21 页（共 30 页） 数列 前 n 项和 【点评】 本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，要求学生理解 “存在 ”、 “恒成立 ”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性综 合性强，难度大，易出错解题时要认真审题，注意错位相减法的灵活运用 18某班同学利用国庆节进行社会实践，对 25， 55岁的人群随机抽取 n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为 “低碳族 ”，否则称为 “非低碳族 ”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图： 组数 分组 低碳族的人数 占本组的频率 第一组 25， 30） 120 二组 30， 35） 195 p 第三组 35， 40） 100 四组 40， 45） a 五组 45， 50） 30 六组 50， 55） 15 ）补全频率分布直方图并求 n、 a、 p 的值； （ ）从年龄段在 40， 50）的 “低碳族 ”中采用分层抽样法抽取 6 人参加户外低碳体验活动，其中选取 2 人作为领队，求选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在 40， 45）岁的概率 【考点】 随机抽样和样本估计总体的实际应用；频率分布直方图 【专题】 计算题 第 22 页（共 30 页） 【分析】 （ I）根据频率分步直方图的面积是这组数据的频率，做出频率，除以组距得到高，画出频率分步 直方图的剩余部分，根据频率，频数和样本容量之间的关系，做出 n、 a、 p 的值 （ 据分层抽样方法做出两个部分的人数，列举出所有试验发生包含的事件和满足条件的事件，根据等可能事件的概率公式，得到结果 【解答】 解：（ ） 第二组的频率为 1（ 5= 高为 频率直方图如下： 第一组的人数为 ，频率为 = 由题可知，第二组的频率为 第二组的人数为 100000， 第四组的频率为 = 第四组的人数为 100050， a=1500 （ ） 40， 45）岁年龄段的 “低碳族 ”与 45， 50）岁年龄段的 “低碳族 ”的比值为 60： 30=2： 1， 所以采用分层抽样法抽取 6 人， 40， 45）岁中 有 4 人， 45， 50）岁中有 2 人 设 40， 45）岁中的 4 人为 a、 b、 c、 d， 45， 50）岁中的 2 人为 m、 n，则选取 2 人作为领队的有 （ a， b）、（ a， c）、（ a， d）、（ a， m）、（ a， n）、（ b， c）、（ b， d）、（ b， m）、 （ b， n）、（ c， d）、（ c， m）、（ c， n）、（ d， m）、（ d， n）、（ m， n），共 15 种； 其中恰有 1 人年龄在 40， 45）岁的有（ a， m）、（ a， n）、（ b， m）、（ b， n）、 第 23 页（共 30 页） （ c， m）、（ c， n）、（ d， m）、（ d， n），共 8 种 选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在 40， 45）岁的概率为 【点评】 本题考查频率分步直方图，考查频数，频率和样本容量之间的关系，考查等可能事件的概率，考查利用列举法来得到题目要求的事件数，本题是一个概率与统计的综合题目 19如图，在四棱锥 P ，底面 直角梯形， 0，平面 面 Q 为 中点， M 是棱 中点， D=2， ， （ ）求证：平面 平面 （ ）求四面体 C 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定 【专题】 空间位置关系与距离 【分析】 （ I）由已知可得：四边形 平行四边形得到 用面面垂直的性质可得：平面 而得到平面平面 平面 （ 用 M ，即可得出 【解答】 （ I）证明： ， Q 为 点， 四边形 平行四边形 0， 0，即 又 平面 平面 平面 面 D， 面 平面 面 平面平面 平面 （ ： M ， 由（ I）可知：四边形 矩形， S = 第 24 页（共 30 页） D， Q 为 中点， 平面 平面 平面 面 D， 平面 ， = = 【点评】 本题考查了梯形平行四边形与矩形的性质、线面面面垂直的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 20椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，且过其右焦点 F 与长轴垂直的直线被椭圆 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）设点 P 是椭圆 C 的一个动点，直线 l： y= x+ 与椭圆 C 交于 A， B 两点，求 积的最大值 【考点】 椭圆的简单性质 【专题】 圆锥曲线的定义、性质与方 程 【分析】 （ ）通过题意及 b2=得 、 6，从而得到椭圆 C 的方程； （ ）设过 P 点且与 行的直线 L 方程为 ， L 与 离就是 P 点到 距离，也就是 上的高，只要 L 与椭圆相切，就可得 L 与 A 的 B 最大距离，从而可得最大面积 【解答】 解：（ ） 椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ， ， ，即 4 第 25 页（共 30 页） 又 过椭圆右焦点 F 与长轴垂直的直线被椭圆 C 截得的弦长为 2， ， ，即 ， 又 b2=以 a2=b2+ ，即 6， 所以椭圆 C 的方 程为： ； （ ）联立直线直线 l： y= x+ 与椭圆 C 的方程，得 ，消去 y，整理可得 72x 52=0， 即（ 7x+26）（ x 2） =0，解得 x=2 或 ， 所以不妨设 A（ 2， ）， B（ ， ）， 则 = ， 设过 P 点且与直线 l 平行的直线 L 的方程为： ， L 与 l 的距离就是 P 点到 距离，即 边 上的高， 只要 L 与椭圆相切，就有 L 与 最大距离，即得最大面积， 将 代入 ， 消元、整理，可得： ， 令判别式 = = 256864 =0，解得 c= = ， L 与 最大距离为 = ， 积的最大值为： = 第 26 页（共 30 页） 【点评】 本题考查椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，解题的关键是求出L 与 大距离，属于中档题 21已知函数 f（ x） =g（ x） = +x， mR 令 F（ x） =f（ x） +g（ x） （ ）当 m= 时，求函数 f（ x）的单调递增区间； （ ）若关于 x 的不等式 F（ x） 1 恒成立，求整数 m 的最小值； （ ）若 m= 2，正实数 足 F（ +F（ +，证明： x1+ 【考点】 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性 【专题】 函数的性质及应用；导数的综合应用 【分析】 （ 1）先求函数的定义域， 然后求导，通过导数大于零得到增区间； （ 2）不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，应先求导数，研究函数的单调性，然后求函数的最值； （ 3）联系函数的 F（ x）的单调性，然后证明即可注意对函数的构造 【解答】 解：（ 1） 由 f（ x） 0 得 1 0 又 x 0，所以 0 x 1所以 f（ x）的单增区间为（ 0， 1） （ 2）令 x+1 所以 = 当 m0 时，因为 x 0，所以 G（ x） 0 所以 G（ x）在（ 0， +）上是递增函数， 又因为 G（ 1） = 所以关于 x 的不等式 G（ x） 0 不能恒成立 当 m 0 时， 令 G（ x） =0 得 x= ，所以当 时， G（ x） 0；当 时， G（ x） 0 因此函数 G（ x）在 是增函数，在 是减函数 故函数 G（ x）的最大值为 第 27 页（共 30 页） 令 h（ m） = ，因为 h（ 1） = ， h（ 2） = 又因为 h（ m）在 m（ 0， +）上是减函数，所以当 m2 时， h（ m） 0 所以整数 m 的最小值为 2 （ 3）当 m= 2 时， F（ x） =x2+x， x 0 由 F（ +F（ +，即 x1+x2+ 化简得 令 t=由 （ t） =t （ t） = 可知 （ t）在区间（ 0， 1）上单调递减，在区间（ 1， +）上单调递增所以 （ t） （ 1） =1 所以 ，即 成立 【点评】 本题考查了利用导数研究函数的单调性的基本思路，不等式恒成立问题转化为函数最值问题来解的方法属于中档题，难度不大 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 22如图，圆周角 平分线与圆交于点 D，过点 D