1-2-3_几何意义及经典试题_题库教师版

1几何意义及经典试题 题库教师版 0 内容 基本要求 略高要求 较高要求 绝对值 借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值 会利用绝对值的知识解决简单的化简问题 板块 一 ：绝对值几何意义 当 时， 0，此时 a 是 的零点值 零点分段讨论的一般步骤： 找零点、分区间、定符号、去绝对值符号即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值 a 的几何意义： 在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离 的几何意义： 在数轴上，表示数 a 、 b 对应数轴上两点间的距离 【例 1】 （ 2 级） 的 几何意义是 数轴上表示 m 的点与表示 n 的点之间的距离 x 的几何意义是 数轴上表示 的点与 之间的距离； x 0x （ ， ， ）； 21 的 几何意义是 数轴上表示 2 的点与表示 1 的点之间的距离；则 21 ； 3x 的 几何意义是 数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若 31x，则 x 2x 的 几何意义是 数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若 22x ，则 x 当 1x 时，则 22 【解析】 x ，原点； ； 1 ； x ， 3 ， 2 或 4 ； x ， 2 ， 0 或 4 ； 4 【例 2】 （ 4 级） 已知 m 是实数，求 12m m m 的最小值 【解析】 根据绝对值的几何意义，这个问题可以转化为在数轴上找一点 m ，使点 m 到点 0 ，点 1 和点 2 的距离之和最小，显然当 1m 时，原式的最小值为 2 【例 3】 （ 4 级） 已知 m 是实数，求 2 4 6 8m m m m 的最小值 【解析】 根据绝对值的几何意义，这个问题可以转化为在数轴上找一点 m ，使 m 到点 2 ，点 4 ，点 6 和点 8 的例题精讲 中考要求 几何意义及经典试题 1几何意义及经典试题 题库教师版 0 距离和最小，显然当点 m 在点 4 和点 6 之间（包括点 4 和点 6 ）时，原式的值最小为 8 【例 4】 （ 6 级） 设1 2 3 . na a a a， ， ，是常数（ n 是大于 1 的整数），且1 2 3 . na a a a ， m 是任意实数，试探索求1 2 3 . nm a m a m a m a 的最小值的一般方法 【解析】 根据题意，结合数轴，不难得到： 当 n 为奇数时，即当 21（ k 为正整数）时，点 m 应取在点1，原式的值最小，最小值为 2 1 1 2 2 2.k k k ka a a a a a 当 n 为偶数 2k （ k 是正整数）时， m 应取点间的任意位置，原式的值最小，最小值为 2 1 2 1 2 1.k k k ka a a a a a 【例 5】 （ 8 级） 1 2 2 0 0 9x x x L 的最小值为 【解析】 当 1005x 时， 1 2 2 0 0 9x x x L 取到最小值： 1 2 2 0 0 9x x x L 1 0 0 5 1 1 0 0 5 2 1 0 0 5 2 0 0 9 L 1 0 0 4 1 0 0 3 1 0 1 1 0 0 3 1 0 0 4 0 0 4 1 ) 1 0 0 4 1 0 0 9 0 2 0 点评 ：若1 2 2 1na a a L，当1时，1 2 2 1nx a x a x a 若1 2 2 na a a L，当 x 满足1x a 时，1 2 2 nx a x a x a 【巩固】 （ 8 级） 试求 1 2 3 . . . 2 0 0 5x x x x 的值 【解析】 联想 到绝对值的几何意义：表示数轴上数 x 的对应点与数这些绝对值转化为同一数轴上若干条线段之和来研究，发现 12 ，当 12x 时，它有最小值 1 ，对于 1 2 3x x x ，当 2x 时，最小值为 2 ， 猜想当 1003x 时，原式有最小值 最小值为 1 2 3 . . . 2 0 0 5x x x x 1 0 0 3 1 1 0 0 3 2 1 0 0 3 3 . . . 1 0 0 3 2 0 0 5 1 0 0 2 1 0 0 1 1 0 0 0 . . . 2 1 0 1 2 . . . 1 0 0 2 1 0 0 2 1 0 0 2 1221005006 【巩固】 （ 6 级） (2000 年郑州市中考题 )设 ，求当 x 取何值时 x a x b x c 的最小值 【解析】 x a x b x c 实际表示 x 到 ， 三点的距离和，画图可知当 时，原式有最小值为 【巩固】 （ 6 级） （ 2009 年全国初中数学联赛四川初赛试卷）若1x、2x、3x、4x、5x、6 个不同的正整数 ，取值于 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ，记1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 1| | | | | | | | | |S x x x x x x x x x x x x ，则 S 的最小值是 【解析】 利用此题我们充分展示一 下数形结合的优越性： 利用绝对值的几何意义1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 1| | | | | | | | | |x x x x x x x x x x x x 在数轴上表示出来，从1们可以看成是一个圈，故最小值为 10，如下图所示，即使重叠路程最少 654321【例 6】 （ 6 级） （选讲） 正数 a 使得关于 x 的代数式 1 6 2x x x a 的最小值是 8 ，那么 a 的值 1几何意义及经典试题 题库教师版 0 为 【解析】 如果 6a ，那么当 时， 1 6 2 1 6 ( 1 ) ( 6 ) 7x x x a a a a a ， 小于 8 与已知条件矛盾所以 6a ，那么算式 1 6 2x x x a 的几何意义是点 x 到 1 、 6 、a 、 a 的 4 个距离之和，当 6 时取最小值，因此令 6x 可得 7 2 6 8a ，解得 132a 【巩固】 （ 6 级） （第七届“走进美妙的数学花园”） 1 8 2 3 2 4x x a x x 的最小值为 12 ，则 a 的取值范围是 【解析】 最小值一定能在零点处取到，而零点处代数式值为 14 2a 、 5 a 、 12、 19a ，故 12是这四个数中最小的，即 14 2 12a 且 5 12a 且 19 12a ，所以 7a 【例 7】 （ 6 级） （第 18届希望杯培训试题） 已知代数式 3 7 4 ，则下列三条线段一定能构成三角形的是（ ） A 1 ， x ， 5 B 2 ， x ， 5 C 3 ， x ， 5 D 3， x ， 4 【解析】 根据 3 7 4 可得 37x ， 所以选择 C 【巩固】 （ 6 级） 是否存在有理数 x ，使 1 3 2 ？ 是否存在整数 x ，使 4 3 3 4 1 4x x x x ？如果存在，求出所有整数 x ，如果不存在，请说明理由 【解析】 不存在 3 2 1 0x x x x ， ， ， 【巩固】 （ 6 级） （第 17届希望杯培训试题）不等式 1 2 7 的整数解有 个 【解析】 可分类讨论来做，也可以利用绝对值的几何意义来解， 1 2 7 的整数解表示数轴上到 1 和2 的距离之和小于 7 的点集合，利用数轴容易找到满足条件的整数有 2 、 1 、 0 、 1 、 2 、 3 共六个 【例 8】 （ 8 级） 一共有多少个整数 x 适合不等式 2 0 0 0 9 9 9 9 . 【解析】 零点为 2000 和 0，可将数轴分成几段去考虑： （ 1）当 2000x 时，原不等式变形为： 2 0 0 0 9 9 9 9 ， 进而得： ，即 2 0 0 0 5 9 9 9 ，共有 4000 个整数适合； （ 2）当 0 2000x 时，原不等式变形为： 2 0 0 0 9 9 9 9 ，而 2000 9999 恒成立， 所以又有 2000 个整数适合 . （ 3）当 0x 时，原不等式变形为 2 0 0 0 ( ) 9 9 9 9 ， ， 即 x ，共有 3999 个整数适合 . 综上所得共有 9999 个整数适合 不等式 2 0 0 0 9 9 9 9 . 【例 9】 （ 8 级） 已知 11， ，设 1 1 2 4M x y y x ，求 M 的最大值和最小值 【解析】 由已知首先讨论绝对值符号内的代数式的符号 1几何意义及经典试题 题库教师版 0 因为 1x ， 所以 11x ，所以 0 1 2x ，同理可得 0 1 2y 因为 1y ，所以 11y ，所以 2 2 2y 因为 1x ，所以 11x ，所以 11x ，所以 1 4 4 1 4x 即 5 4 3x 与同向相加得 7 2 4 1 化简 M 的表达式： 26M x y 求 M 的取值范围： 因为 11y ，所以 2 2 2x 因为 11y ，所以 11y 所以 3 2 3 所以 3 2 6 9 当 11 ， 时， M 最大值为 9 当 11 ， 时， M 最小值为 3 【例 10】 （ 8 级） (第 12 届希望杯试题 )彼此不等的有理数 ， 在数轴上的对应点分别为 A ， B ， C ，如果a b b c a c ，那么 A ， B ， C 的位置关系是 _ 【解析】 由绝对值的几何意义知 , 表示点 A 与点 B 之间的距离； 表示点 B 与点 C 之间的距离；表示点 A 与点 C 之间的距离；当点 B 位于点 A 与点 C 之间 （ 包括 A ， C 两点 ） 时 , a b b c 取得最小值，为 由题设知， a ， b ， c 相等，以 A ， B ， C 不重合，故点 B 位于点 A 与点 C 之间 (包括 A ,C 两点 ) 【巩固】 （ 4 级） 有理数 a 、 b 、 c 、 d 各自对应着数轴上 X 、 Y 、 Z 、 R 四个点，且 （ 1） 比 ， 、 、 、 都大； （ 2） d a a c d c ； （ 3） c 是 a 、 b 、 c 、 d 中第二大的数 、 Y 、 Z 、 R 从左到右依次是 【解析】 R 、 X 、 Z 、 Y . 【巩固】 （ 6 级） （第 14 届希望杯 1 试）如右图所示，若 a 的绝对值是 b 的绝对值的 3 倍，则数轴的原点在 点（填“ A ”“ B ”“ C ”或“ D ”） 【解析】 因为 a 的绝对值是 b 的绝对值的 3 倍，且 ， 当 0 时，由 3，得原点的坐标在点 D 处； 当 0 时，由 3，得原点的坐标在点 C 处； 当 0 时，由 3，满足条件的点不存在； 综上，知坐标原点在 C 或 D 1几何意义及经典试题 题库教师版 0 【巩固】 （ 6 级） （ 05 年北京市中学生数学竞赛）（第 15 届希望杯培训试题） 如果 1， 1， 2 ，求 2a b c 的值 【解析】 （法 1）：可以去掉绝对值，分类讨论，但非常麻 烦，我们仍可采用数形结合的方法，从绝对值的几何意义出发根据 1， ( ) 1b c b c ， ( ) 2a c a c ，我们可以得到 a 、 b 、 c 三点在数轴上从左到右依次是 c 、 b 、 a 或 a 、 b 、 c ，我们会发现在这两种情况下， () ， ()同号，所以 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 3a b c a c b c a c b c a c b c （法 2）：我们发现 1 1 2a b b c a b b c a c 所以 、 同号，所以有 11 （两式相加可得 2 ） 或 11（两式相加可得 2 ）， 综合上述两种情况，我们可以得到 23a b c a c b c 【巩固】 （ 8 级） （ 15 希 望杯 1 试） （北京市数学竞赛） 已知 a 、 b 、 c 、 d 都是整数，且2a b b c c d d a ，则 【解析】 法 1：四个非负整数和为 2 ， 只可能为 0 、 1 或 2 讨论： 当 0a ， 0b ， 1c ， 0d ，满足条件， 0； 当 1a ， 0b ， 0c ， 0d ，满足条件， 1； 若 2，即 0 且 0 ， 0， 0， 0 ， 0 ， 0，故 0 0 0 0 a b b c c d a d ，这与 0 矛盾所以，0 或 1 法 2：我们希望利用绝对值的几 何意义出发解答问题，所以需要对题干进行适当变形 ( ) ( ) ( ) ( ) 2a b c b c d a d ，那么题目相当于：（渗入换元思想） 已知 a 、 c 、 m 、 n 都是整数，且 2a m c m c n a n ，则 因为 a 、 c 、 m 、 n 都是整数，所以 可能为 2 、 1 、 0 （以下过程教师均须借助数轴讲解） 若 2 ，那么 、 、 均为 0 ，但 2 ， 、 为 0 ， 得 为 2 ，矛盾，所以 2 ； 若 1，当 a 、 m 相同， c 、 n 相同时， 2a m c m c n a n 成立； 若 0 ，当 a 、 c 、 n 相同时， 2a m c m c n a n 成立； 所以 0 或 1 1几何意义及经典试题 题库教师版 0 【例 11】 （ 8 级） （ 2006 年山东竞赛试题 ） 在数轴上把坐标为 1 2 3 . 2 0 0 6， ， ， ， 的点称为标点，一只青蛙从点 1出发，经过 2006 次跳动，且回到出发点，那么该青蛙所跳过的全部路径的最大长度是多少？请说明理由 【解析】 设青蛙依次到达的点为1 2 3 2 0 0 6 1.x x x x x， ， ， ， ，整个跳过的路径长度为 1 2 2 3 3 4 2 0 0 6 1.S x x x x x x x x 22 1 0 0 4 1 0 0 5 . . . 2 0 0 6 2 1 2 3 . . 1 0 0 3 2 1 0 0 3 故青蛙跳过的路径的最大长度为 22 1003 【例 12】 （ 6 级） 如图所示，在一条笔直的公路上有 7 个村庄，其中 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 到 城市的距 离分别为 4 、 10、 15、 17 、 19、 20 千米 ，而村庄 G 正好是 中点现要在某个村庄建一 个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则 活动中心应建在 什么位置？ 城市G 解析】 因为村庄 G 是 中点，所以村庄 G 到城市的距离为 12千米，即村庄 G 在村庄 之间， 7 个村庄依次排列为 A B G C D E F、 、 、 、 、 、设活动中心到城市的距离为 x 千米，各村到活动中心的距离之和为 y 千米，则： 4 1 0 1 2 1 5 1 7 1 9 2 0y x x x x x x x 因为4 1 0 1 2 1 5 1 7 1 9 2 0 ，所以当 15x 时 y 有最小值，所以活动中心应当建在 C 处 【巩固】 （ 6 级 ） 如图所示为一个工厂区的地图，一条公路（粗线）通过这个地区， 7 个工厂1A，2A，7一些小路（细线）与公路相连现在要在公路上设一个长途汽 车站，车站到各工厂（沿公路、小路走）的距离总和越小越好，那么这个车站设在什么地方最好？如果在 P 点又建立了一个工厂，并且沿着图上的虚线修了一条小路，那么这时车站设在什么地方好？ A 6A 5A 4A 3A 2A 1【解析】 每一条小路都是工厂到车站的必经之路，和其他工厂无关但在公路上，有些路段将是一些工厂重复经过的，应使重复路线越短越好要使各工厂到车站的距离之和最小，只要各工厂经小路进入公路的入口处（ B C D E F、 、 、 、 ）到车站的距离之和最小即可，各路段的弯曲程 度是无关紧要的，因此可以把公路看成一条直线，这就和题例题 6 类似了！即车站设在 D 点最好若在 P 处再建一个工厂，则车站建在 D 处、 E 处或它们之间的任何地方都是最佳的 【例 13】 （ 6 级） （山东省烟台中考） 先阅读下面的材料，然后回答问题： 在一条直线上有依次排列的 1台机床在工作，我们要设置一个零件供应站 P ，使这 n 台机床到供应站 P 的距离总和最小，要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形： 如图甲，如果直线上有 2 台机床时，很明显设在1为甲和 乙所走的距离之和等于1 如图乙，如果直线上有 3 台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床2为如 1几何意义及经典试题 题库教师版 0 果 P 放在2和丙所走的距离之和恰好为1如果把 P 放在别处，例如 D 处，那么甲和丙所走的距离之和仍是1是乙还得走从2 的这一段，这是多出来的，因此 P 放在2不难知道，如果直线上有 4 台机床， P 应设在第 2 台与第 3 台之间的任何地方，有 5 台机床， 台位置 问题：有 n 台机床时， P 应设在何处？ 问题：根据问题的结论，求 1 2 3 . . . 6 1 7x x x x 的最小值 【解析】 当 n 为偶数时， P 应设在第2 12n台之间任何地方；当 n 为奇数时， P 应设在第 12n台的位置 根据绝对值的几何意义，求 1 2 . . . 6 1 7x x x 的最小值，就是在数轴上找出表示 x 的点，使它到表示 1 ， 2 ， . 617， 各点的距离之和最小，根据问题 1 的结论，当 309x 时，原式的值最小，最小值是3 0 9 1 3 0 9 2 . . . 3 0 9 3 0 80 3 0 9 3 1 0 3 0 9 3 1 1 . . . 3 0 9 6 1 6 3 0 9 6 1 7 3 0 8 3 0 7 . . . 1 1 2 . . . 3 0 8 9 5 1 7 2 板块 二 ： 绝对值其它重要性质的应用 （ 1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即 ，且 ； （ 2）若 ，则 或 ； （ 3） ab a b ； 0)b ； （ 4） 2 2 2| | | |a a a； （ 5） a b a b a b . 【例 14】 （ 2 级） 填空： 若 a b a b ，则 a ， b 满足的关系 若 a b a b ，则 a ， b 满足的关系 已知 a 、 b 是有理数， 1a ， 2b ，且 3= ，则 【解析】 0 0且 由 33a b a b ， 1a ， 2b ， 12或 12，故 1 【例 15】 （ 6 级） （第 14 届“希望杯”）已知 a 、 b 、 c 、 d 是有理数， 9 ， 16 ， 且 25a b c d ，则 b a d c 【解析】 2 5 2 5a b c d a b c d ， 9， 16 ， 7b a d c 【巩固】 （ 6 级） （第 11届希望杯 2 试） x , 1y , 4z ,9x y z , 4 6x y z 【解析】 9 2 2 3 2 1 4 9x y z x y z ， 所以 3x , 1y , 4z ， 2 4 62 4 6 2 4 63 1 4 3 6 8 6 4x y z x y z . 1几何意义及经典试题 题库教师版 0 【例 16】 （ 6 级） （北京市初中一年级“迎春杯”数学竞赛题）如果 1 , 1 1 ,a a a x a 那么 _x a x a 。 【解析】 由 1 知 0a ，从而 1, 即 12a 1,a x a 得 则 1x a x a . 【巩固】 （ 8 级 ） （第 10届希望杯培训试题） 若 m 是方程 | 2 0 0 0 | 2 0 0 0 | | 的解，则 | 2001|m 等于（ ） A 2001m B 2001m C 2001m D 2001m 【解析】 由绝对值的定义，知 | | 0x ，又 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0x x x ，所以 | ，即 0x 因为 m 是方程 | 2 0 0 0 | 2 0 0 0 | | 的解，所以 0m ， 因此， | 2 0 0 1 | ( 2 0 0 1 ) 2 0 0 1m m m ，故选 D 【例 17】 （ 6 级） 已知 0，求 22 ()a b b a a b a b 的值 . 【解析】 22 ()a b b a a b a b 22 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0a b b a a b a b a b a b a b a ba b a b a b a b a b a b 【巩固】 （ 6 级） 第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛） 已知 a 、 b 是有理数，有以下三个不等式： | | | |a b a b ； 22 | | | | 1 0a b a b ； 22 2 | | 2 | | 1 0a b a b 其中一定不成立的是 _（填写序号） 【解析】 提示：当 1a ， 1b 时，成立；2 2 2 21 1 1 11 ( ) ( ) 02 2 2 2a b a b a b 板块 三 ： 经典试题 （拓展篇，学生版没有） 【例 18】 （ 8 级） 将 200 个数 1200 任意分为两组（每组 100 个），将一组从小到大排列，设为1 2 1 0 0a a a L，另一组从大到小排列，设为1 2 1 0 0b b b L，求代数式1 1 2 2 1 0 0 1 0 0a b a b a b 【解析】 设 k 是 1100 中任意一个数，如果 100且 100，那么在第一组中不大于 100 的数至少有1a、2a、k 个数，在第二组中不大于 100 的数至少有、100101 )k 个数，则不大于 100 的数至少有 101 101 个，这不可能因此所以代数式 1 1 2 2 1 0 0 1 0 0a b a b a b L ( 1 0 1 1 0 2 2 0 0 ) ( 1 2 1 0 0 ) ( 1 0 1 1 ) ( 1 0 2 2 ) ( 2 0 0 1 0 0 ) 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 L L L 【例 19】 （ 10 级） 少年科技组制成一台单项功能计算器，对任意两个整数只能完成求差再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数1x，只显示不运算，接着再输入整数2结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行 求差取绝对值的运算，现小明将从 1 到 1991个整数随意地一个一个地输入，全部输入完毕之后显示的最后结果设为 P ，求出 P 的最大值，并说明理由 1几何意义及经典试题 题库教师版 0 【解析】 当1 0x，2 0x时，12 超过1x，21 0x，2 0x，3 0x，则1 2 3x x x不超过1x、2x、3小明输入这 1991个数的次序是1x、2x、1991x相当于计算：1 2 3 1 9 9 0 1 9 9 1x x x x x P 此 P 的值 1991 另外从运算奇偶性分析，1x、2212偶性相同，因此 P 与1 2 1 9 9 1x x x 1 2 1 9 9 1 1 2 1 9 9 1x x x 是断定 1990P 下面我们来说明一下如何取到 1990 对于连续的四个整数 ( 4 1 ) ( 4 3 ) ( 4 4 ) ( 4 2 ) 0k k k k ， k 为自然数均成立因此，11988 可按上述办法依次输入最后显示结果为 0 ，而后 1 9 8 9 1 9 9 0 1 9 9 1 1 9 9 0 【例 20】 （ 10 级） 试求如下表达式的最大值：1 2 3 2 0 0 2x x x x 中1x、2x、2002 2002的一个排列 【解析】 由于输入的数都是非负数，当1 0x，2 0x时，12超过1x，2此1 2 3 2 0 0 2x x x x x、2002 2002 另外从运算奇偶性分析，1x、2212偶性相同，因此1 2 3 2 0 0 2x x x x 1 9 9 1x x x 1 2 2 0 0 2 1 2 2 0 0 2 1 0 0 1 2 0 0 3x x x 1 2 3 2 0 0 2x x x x 面我们来说明一下如何取到 2001 对于连续的四个整数( 4 1 ) ( 4 3 ) ( 4 4 ) ( 4 2 ) 0k k k k ， k 为自然数均成立因此， 22001 可按上述办法依次输入最后显示结果为 0 ，而后 1 2 0 0 2 2 0 0 1 练习 1 （ 4 级） （山东烟台中考题改编）如图，在一条数轴上有依次排列的 5 台机床在工作，现要设置